2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1. 导数的几何意义教学案 2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精11。3导数的几何意义预习课本p68，思考并完成下列问题（1)导数的几何意义是什么?(2）导函数的概念是什么？怎样求导函数?（3)怎么求过一点的曲线的切线方程？1导数的几何意义(1）切线的概念：如图,对于割线ppn，当点pn趋近于点p时，割线ppn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线pt称为点p处的切线(2)导数的几何意义：函数f（x）在xx0处的导数就是切线pt的斜率k，即k f（x0)2导函数的概念（1）定义：当x变化时，f(x）便是x的一个函数，我们称它为f（x)的导函数（简称导数)（2)记法：f(x)或y,即f(x)y 。点睛曲线的切线并不一定与曲线只有一个交

2、点,可以有多个，甚至可以无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线1判断(正确的打“”，错误的打“”）(1)导函数f（x）的定义域与函数f(x)的定义域相同（)（2）直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点（）（3)函数f(x)0没有导函数（）答案：（1)(2)(3)2设f（x0)0,则曲线yf（x）在点(x0，f(x0）)处的切线（)a不存在b与x轴平行或重合c与x轴垂直 d与x轴斜交答案：b3已知曲线yf（x）在点（1，f（1)处的切线方程为2xy20，则f（1）()a4b4c2d2答案：d4抛物线y2x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中,只有_是它的切

3、线，而_不是它的切线答案：y轴x轴求曲线的切线方程典例已知曲线c:yx3，求曲线c上的横坐标为2的点处的切线方程解 将x2代入曲线c的方程得y4，切点p(2,4)yx2 42x(x）24. kyx24.曲线在点p(2,4)处的切线方程为y44(x2）,即4xy40。1过曲线上一点求切线方程的三个步骤2求过曲线yf（x)外一点p(x1，y1)的切线方程的六个步骤（1）设切点（x0，f（x0)（2）利用所设切点求斜率kf(x0）li 。(3)用（x0,f（x0）,p(x1，y1)表示斜率（4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根据点斜式写出切线方程(6）将切线方程化为一般式活学活用过点（

4、1，1)且与曲线yx32x相切的直线方程为()axy20或5x4y10bxy20cxy20或4x5y10dxy20解析:选a显然点（1，1）在曲线yx32x上，若切点为（1，1)，则由f（1)li （x)23x11，切线方程为y（1）1（x1），即xy20。若切点不是(1,1)，设切点为(x0，y0)，则kxx01，又由导数的几何意义知kf（x0） 3x2，xx013x2，2xx010,x01,x0.kxx01,切线方程为y（1)(x1)，即5x4y10，故选a。求切点坐标典例 已知抛物线y2x21分别满足下列条件，请求出切点的坐标(1）切线的倾斜角为45。（2)切线平行于直线4xy20。（3

5、)切线垂直于直线x8y30。解设切点坐标为（x0，y0),则y2（x0x)212x14x0x2(x)2，4x02x，当x0时，4x0，即f(x0)4x0.（1)抛物线的切线的倾斜角为45,斜率为tan 451。即f（x0)4x01，得x0，切点的坐标为.(2）抛物线的切线平行于直线4xy20，k4，即f(x0）4x04，得x01，切点坐标为(1，3)（3）抛物线的切线与直线x8y30垂直,则k1，即k8,故f(x0)4x08，得x02，切点坐标为(2，9）求切点坐标可以按以下步骤进行(1）设出切点坐标；（2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4）把横坐标

6、代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标活学活用直线l：yxa（a0）和曲线c：yx3x21相切，则a的值为_，切点坐标为_解析：设直线l与曲线c的切点为(x0，y0），因为y 3x22x，则yxx03x2x01，解得x01或x0，当x01时，y0xx11，又(x0,y0）在直线yxa上，将x01,y01代入得a0与已知条件矛盾舍去当x0时，y0321,则切点坐标为，将代入直线yxa中得a。答案：层级一学业水平达标1下面说法正确的是（）a若f(x0）不存在，则曲线yf（x)在点(x0，f(x0）处没有切线b若曲线yf(x）在点（x0，f(x0）处有切线，则f(x0)必存在c若f（x0)不存在，则曲线

7、yf(x)在点(x0，f（x0）处的切线斜率不存在d若曲线yf（x）在点（x0,f（x0）处没有切线，则f(x0）有可能存在解析：选cf（x0）的几何意义是曲线yf(x）在点（x0，f（x0)）处切线的斜率，当切线垂直于x轴时,切线的斜率不存在，但存在切线2曲线f（x)在点m（1，2）处的切线方程为(）ay2x4by2x4cy2x4 dy2x4解析:选c，所以当x0时,f（1)2，即k2.所以直线方程为y22(x1)即y2x4.故选c.3曲线yx32在点处切线的倾斜角为(）a1 b。c。 d解析：选by x2，切线的斜率kyx11。切线的倾斜角为，故应选b.4曲线yax2在点(1,a)处的切线

8、与直线2xy60平行,则a等于(）a1 b.c d1解析：选ayx1 li (2aax）2a，2a2，a1.5过正弦曲线ysin x上的点的切线与ysin x的图象的交点个数为(）a0个 b1个c2个 d无数个解析：选d由题意,yf(x）sin x，则f .当x0时，cos x1，f0.曲线ysin x的切线方程为y1，且与ysin x的图象有无数个交点6已知函数yf(x）的图象在点m(1,f(1)）处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_。解析:由导数的几何意义得f（1),由点m在切线上得f(1)12，所以f（1)f（1）3。答案:37已知曲线f(x)，g(x)过两曲线交点作两条曲线的切线

9、，则曲线f(x）在交点处的切线方程为_解析：由,得两曲线的交点坐标为(1,1）由f（x),得f(x）li ，yf（x)在点(1,1）处的切线方程为y1（x1)即x2y10，答案：x2y108曲线yx23x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为_解析:设f(x)yx23x，切点坐标为（x0，y0),f（x0） 2x031,故x02，y0x3x0462，故切点坐标为（2，2）答案：(2，2)9已知抛物线yx2,直线xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解：根据题意可知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线对应的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0,x），则y|xx0 2x01，所以x0,

10、所以切点坐标为，切点到直线xy20的距离d,所以抛物线上的点到直线xy20的最短距离为。10已知直线l：y4xa和曲线c：yx32x23相切，求a的值及切点的坐标解:设直线l与曲线c相切于点p（x0,y0），（x）2(3x02)x3x4x0。当x0时,3x4x0,即f（x0）3x4x0，由导数的几何意义，得3x4x04，解得x0或x02.切点的坐标为或（2,3)，当切点为时，有4a，a，当切点为(2，3)时,有342a，a5，当a时,切点为；a5时，切点为（2,3)层级二应试能力达标1.已知yf（x）的图象如图，则f（xa）与f（xb)的大小关系是（)af（xa）f(xb)bf（xa）f(xb

11、)cf（xa)f(xb）d不能确定解析：选b由图可知，曲线在点a处的切线的斜率比曲线在点b处的切线的斜率小,结合导数的几何意义知f（xa）0。所以2。答案：27已知函数f（x）ax21（a0)，g(x)x3bx,若曲线yf（x）与曲线yg（x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值解：f(x） 2ax，f（1)2a,即切线斜率k12a。g(x) 3x2b，g(1）3b，即切线斜率k23b.在交点(1，c）处有公共切线，2a3b。又a11b，即ab，故可得8已知曲线yx21,是否存在实数a，使得经过点(1，a）能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由解：2xx，y (2xx）2x.设切点为p（x0，y0）,则切线的斜率为kyxx02x0，由点斜式可得所求切线方程为yy02x0（xx0）又切线过点（1，a)，且