2017-2018学年高中数学 2. 变换的复合与矩阵的乘法 2..2 矩阵乘法的简单性质教学案选修-2

1、学必求其心得，业必贵于专精23。2矩阵乘法的简单性质1矩阵的乘法只具有结合律，即(ab）ca(bc），不满足交换律和消去律，即abba,若abac，则一般情况下bc。2二阶矩阵的幂mn矩阵乘法的性质例1（1)设a，b，验证：若abba，则(ab）2a2b2；(2）求证：当abba时,（ab)2a2b2,（其中a、b均为二阶矩阵）思路点拨(1)利用矩阵乘法法则直接验证；(2）依据条件,利用矩阵的乘法具有结合律进行验证精解详析（1）ab ，ba ，abba。a2 ，b2 ，a2b2 .又(ab)2 ，（ab)2a2b2.故若abba,则（ab)2a2b2.(2）abba，（ab)2(ab)（ab)

2、a(ba)ba(ab)b（aa）（bb)a2b2.（1)矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律（2）根据矩阵乘法满足结合律可知,多个矩阵相乘时,无论先进行哪两个相邻矩阵的乘积均不影响最终结果1计算 .解：原式 。2设a，b，c，求a(bc）和（ab）c,并判断它们是否满足结合律解：因为bc ,ab ，所以a(bc） ,（ab)c 。显然,有a(bc）（ab）c。因此满足结合律.二阶矩阵的幂运算例2设a,求a2，a3,猜想an(nn*)并证明你的猜想思路点拨先利用矩阵乘法法则求a2、a3，猜想an，然后用数学归纳法证明精解详析a2 ，a3a2a ，猜想an其中nn*，n2。下面用数学归纳法证

3、之：（1)当n2时，由以上计算可知猜想成立（2）假设nk时猜想成立，即ak。当nk1时，ak1aka ，故nk1时猜想也成立由（1）和(2)可知，对任意nn*（n2)，都有an。求矩阵具体数幂的运算可依据mn求解若求矩阵一般字母幂的运算可利用数学归纳法求之3计算4。解:4 。4已知a,求a2，a3，并据此猜想an(n2，nn），并加以证明解:a2 。a3a2a .据此猜想an。下面用数学归纳法证明:(1)由以上可知当n2时，猜想成立（2)假设nk（k2)时,猜想成立即ak。当nk1时，ak1aka .即nk1时，命题也成立由(1)（2)可知对一切n2，nn*都有an.1已知a，b，c，计算ab

4、，ac。解：ab ，ac .2已知矩阵a，求a4，a5,a9。解:因为a2 ,所以a4a2a2 ，a5aa4 .a9a4a5 。3求使等式m成立的二阶矩阵m.解：设m,则m .a1,b2，c3，d5.m。4(1）构造两个矩阵a，b，使它们不满足abba；(2)构造两个矩阵a,b(a，b均不为零矩阵）,使ab成立；（3)构造一个矩阵a（a既不是零矩阵，也不是单位矩阵）,使a2a成立；(4)构造一个矩阵b(b不是零矩阵)，使得b2成立解：(1）如a，b；(2)如a，b；（3)如a；(4)如b。5设数列an,bn满足an12an3bn,bn12bn，且满足m，试求二阶矩阵m。解：由题意得 ，令a,则

5、 a2.a4，ma4.a2 ，ma4（a2）2 .6设m，求mn（nn)解：m2 .m3mm2 .由此猜想mn.下面用数学归纳法证明(1）n1时显然成立（2)假设nk(k1，kn)时成立，即k。则当nk1时，mk1mmk .故nk1时也成立n为正整数时,结论都成立故mn(nn*)7矩阵m，n,向量.(1）验证:（mn)m（n);(2）验证这两个矩阵不满足:mnnm.证明：（1)因为mn ，所以（mn) 。因为n ，所以m（n) .故（mn）m（n）(2)因为nm ，又mn，所以mnnm.8求满足a2a的一切的二阶矩阵解：设a，a2a，。a2bcaabbdbaccdcbcd2d由得(cd1）b0，(ad1）c0。（1)当ad10时，由得a，由得d。故a如下或其中b、c为任意实数且bc.(2)当ad10时，则c0且b0，再由得a0或1，d0或1,但又由ad10，ad0或ad1.此时有a或a.故满足a2a的二阶方阵为或及或(其中b、c为任意实数且bc）攀