结构动力学振动分析的矩阵迭代法

1、2015200049 学院：土木工程学院 班级：学硕结构一班 姓名：张桂斌 学号：2015200049 振动分析的矩阵迭代法 （克拉夫书-第13章） 1.引言 结构动力学求解实际问题的数学模型，从几个自 由度的体系，到几百甚至几千个自由度的有限元模 型，其中可能多达五十到一百个振型对反应有不可 忽略的影响。为有效地处理这些实际问题，需要较 行列式求解方法更有效的振动分析方法。 问题如何获得结构的无阻尼振型？ Stodola法以迭代为基础，先假设初始振型并迭 代调整至实际振型的适当近似，再由运动方程确定 震动频率。 2.基本（第一）振型分析 这个方法列式的起点是无阻尼自由振动方程（11-33）：

2、 nnn mk 2 nn mf n 2 （13-1） n fk n 1 （13-2） nnn mk 12 （13-3） mk 1 D （动力矩阵） （13-4） nnn D 2 （13-5） 先假定试探位移向量 ，使它尽可能接近第一振型 的形状，而振幅是任意的。即： ）0（ 1 ）0（ 1 2）1（ 1 D n （13-5a） 下标“1”表示第一振型，上标“（1）”表示第一次迭 代的结果。 ）0（ 1 ）1（ 1 D 振型幅值依赖于未知频率，但在迭代过程中只需 要振型形状，省去频率后的改进形状表示为： （13-7） 该向量除以向量中最大的元素 来进行规格 化，得到改进的迭代向量： ）（max

3、）1（ 1 ）（max ）1（ 1 ）1（ 1 ）1（ 1 （13-8） 设 k 为向量中任一自由度，频率近似值为： )1( 1 )0( 1 2 1 k k （13-9） 一般来说，所得的 和 是不一样的，在这种情 形下，真正的第一振型频率介于式（13-9）求得的最大 值与最小值之间： )1( 1 )0( 1 max )1( 1 )0( 1 2 1 min )1( 1 )0( 1 k k k k （13-10） 把质量分布作为一个加权系数，取平均值 求频率的近似值。 )1( 1 T ）1（ 1 )0( 1 T )1( 1 2 1 m m （13-11） 当迭代过程收敛，s 次循环后的频率为：

4、）（max 1 ）（max ）（max ）（ 1 ）（ 1 ）1（ 1 2 1 ss s （13-13） 克拉夫书P205 例题E13-1 通过计算图E11-1的三层建筑框架的第一振型和频率来说 明矩阵迭代法。虽然用例题E11-1中导得的刚度矩阵求逆可以很容易 求得该结构的柔度矩阵，但是为了说明柔度矩阵的求法，这里对每 一个自由度相继施加单位荷载进行推导。根据定义，由这些单位荷 载所产生的位移表示柔度影响系数。 该结构柔度矩阵为： 动力矩阵为： kipsin/ 222 255 2511 3600 1 1 k kf f 2 432 45.75 45.711 3600 1 s m mf fD D

5、用如下所示的表格形式表示迭代过程： 00.9 50.16 50.22 1 1 1 432 45.75 45.711 3600 1 D D ）0（ 1 ）1（ 1 287.5320.0 296.11669.0 296.17000.1 80.5400.0 10.12733.0 10.18000.1 ）1（ 1 ）2（ 1 ）3（ 1 ）2（ 1 ）3（ 1 ）4（ 1 ）5（ 1 ）4（ 1 159.5303.0 082.11650.0 082.17000.1 182.5306.0 121.11653.0 121.17000.1 四次迭代以后，形状已收敛到足够的精度。 按式（13-13）求第一振型

6、频率： srad/52.14 77.210 082.173600/1 000.1 ）（max ）（max 1 ）5（ 1 ）4（ 1 2 1 3.收敛性的证明 最初假定的形状可用正规坐标表示为 ）0（ 33 ）0（ 22 ）0（ 11 )0(）0（ 1 YYY （13-14） 第一振动频率的振动形状所对应的惯性力为 )0(2 1 )0( 1 2 1 )0( mmf（13-15） 2 3 1 ）0（ 33 2 2 1 ）0（ 2 2 22 ）0（ 1 2 11 )0( )()(m YYYf 记 ，展开得 2 1 22 1 )/( nn （13-16） 由这些惯性力产生的挠度为 2 3 1 ）0（

7、 33 2 2 1 ）0（ 2 2 22 ）0（ 1 2 11 1)0(1）1（ 1 )()(m YYYkfk 或 2 1 )0(2 1n ）1（ 1 )( n nn N Y n n D D （13-17） n nn n D D 2 n （13-18） 将其代入式（13-17）得 2 1 )0( 1n ）1（ 1 )( n n N Y n n （13-19） ）（max )( ）（max )1( 1 2 1 )0( 1n )1( 1 )1( 1 ）1（ 1 n n N Y n n （13-20） 用最大的基准元素 去除 ，使之规格化， 从而得到最后改进的第一次迭代循环的形状 ，因此 )max(

8、 )1( 1 )1( 1 )1( 1 用同样的方法做下一次迭代循环得到第二次循环产生的 形状 ）（max )( ）（max )2( 1 4 1 )0( 1n )2( 1 )2( 1 ）2（ 1 n n N Y n n （13-21） s ss s s YY 2 2 1 ）0（ 22 ）0（ 11 )( 1 )( 1 )( 1 ）（ 1 )( ）（max 1 ）（max （13-22） 按此方式继续进行，经过s次循环后得到结果 ss2 3 1 2 2 1 1 最终结果可视为 1 )0( 11 )0( 11 ）（ 1 ）（max Y Y s 证毕！ （13-23） （13-24） 4.高阶振型分析

9、 第二振型分析 假设任意第二振型 ）0（）0（ 2 前乘 ，导得 ）0（ 22 T 1 ）0（ 11 T 1 ）0（ 2 T 1 YYm mm mm m m m T 1 由于振型的正交特性，第一振型分量幅值为 1 ）0（ 2 T 1 ）0（ 1 Y M m m （13-25） （13-26） （13-27） 不包含第一振型的试探形状为 )0( 11 ）0（ 2 ）0（ 2 -Y（13-28） 在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是应用滤型 矩阵 )0( 21 )0( 2 T 11 1 ）0（ 2 ）0（ 2 M 1 -S Sm m 1 S S （13-29） 其中 m mS S T 11 1 1 M 1 - （13-30） 在这种情况下，式（13-5）可以写成 ）0（ 2 ）1（ 2 2 2 1 D D （13-31） 将式（13-29）代入式（13-31），得到 ）0（ 22 ）0（ 21 ）1（ 2 2 2 1 D DD DS S （13-32） 其中 12 D DS SD D （13-33） 此时，可用下式近似计算频率 )1( 2 ）1（ 2 )0( 2 T）1（ 2 2 2 ）（ m m