高中数学 2.2 直线的方程 2.2.2. 直线的点斜式方程和两点式方程教案 新人教B版必修2

1、学必求其心得，业必贵于专精2.2.2。1 直线的点斜式方程和两点式方程示范教案教学分析教材利用斜率公式推导出了直线的点斜式方程,利用直线的点斜式方程推导出了直线的斜截式方程，让学生讨论得出直线的两点式方程，在练习b中给出了直线的截距式方程值得注意的是本节所讨论直线方程的四种形式中,点斜式方程是基础是一个“母方程，其他方程都可以看成是点斜式方程的“子方程”因此在教学中要突出点斜式方程的教学，其他三种方程形式可以让学生自己完成推导三维目标1掌握直线的点斜式方程和斜截式方程;了解直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，培养普遍联系的辩证思维能力2理解直线的两点式方程和截距式方程，并能探讨直线方程不同形式

2、的适用范围，提高学生思维的严密性3会求直线方程，提高学生分析问题和解决问题的能力重点难点教学重点：直线方程的四种形式及应用教学难点：求直线方程课时安排1课时导入新课设计1.我们知道两点确定一条直线，除此之外，在平面直角坐标系中，一个定点和斜率也能确定一条直线，那么怎样求由一点和斜率确定的直线方程呢?教师引出课题设计2.上一节我们已经学习了直线方程的概念，其中直线ykxb就是我们本节所要进一步学习的内容，教师引出课题推进新课（1)如左下图所示，已知直线l过p0（x0,y0)，且斜率为k，求直线l的方程(2)已知直线l过点p(0,b),且斜率为k(如右上图），求直线l的方程(3)已知两点a(x1，

3、y1)，b(x2，y2)，且x1x2，y1y2，求直线ab的方程（4)已知直线l在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b,且a0,b0.求证直线l的方程可写为1。（这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程)讨论结果:(1)设点p（x，y)为直线l上不同于p0（x0,y0）的任意一点，则直线l的斜率k可由p和p0两点的坐标表示为k.即yy0k(xx0）方程就是点p（x，y)在直线l上的条件在l上的点的坐标都满足这个方程，坐标满足方程的点也一定在直线l上方程是由直线上一点p0(x0,y0)和斜率k所确定的直线方程,我们把这个方程叫做直线的点斜式方程特别地，当k0时，直线方程变为yy0。这时，直线平行

4、于x轴或与x轴重合(2)直线l的点斜式方程为ybk（x0)整理，得ykxb。这个方程叫做直线的斜截式方程其中k为斜率，b叫做直线ykxb在y轴上的截距,简称为直线的截距这种形式的方程，当k不等于0时,就是我们熟知的一次函数的解析式（3)设p(x，y）是直线ab上任一点,则kab,所以直线ab的点斜式方程为yy1（xx1)，整理得(x1x2，y1y2），这种形式的方程叫做直线的两点式方程(4)直线l过点（a,0)，(0，b），则直线l的两点式方程为，整理得1。这种形式的直线方程,叫做直线的截距式方程思路1例1求下列直线的方程：（1)直线l1：过点（2，1),k1；(2)直线l2：过点(2，1)和

5、点(3，3)解：(1）直线l1过点(2,1）,斜率k1。由直线的点斜式方程，得y11(x2),整理，得l1的方程为xy30.（2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程直线l2的斜率k，又因为过点(2，1），由直线的点斜式方程,得y1x(2)，整理,得l2的方程4x5y30.另解：直线l2的两点式方程为，整理，得4x5y30.点评:为了统一答案的形式,如没有特别要求，直线方程都化为axbyc0的形式变式训练分别求出通过点p(3,4）且满足下列条件的直线方程，并画出图形：（1)斜率k2;（2)与x轴平行；(3）与x轴垂直解：（1）这条直线经过点p(3,4)，斜率k2，点斜式方程为y42（x

6、3)，可化为2xy20.如图(1）所示（2）由于直线经过点p(3,4）且与x轴平行，即斜率k0，所以直线方程为y4.如图(2）所示（3)由于直线经过点p（3,4）且与x轴垂直，所以直线方程为x3。如图(3)所示图（1）图(2）图（3）例2已知三角形三个顶点分别是a(3,0），b(2，2）,c(0，1），求这个三角形三边各自所在直线的方程解：如下图，因为直线ab过a（3，0)，b（2,2)两点，由两点式，得，整理，得2x5y60,这就是直线ab的方程;直线ac过a（3，0），c（0,1）两点，由两点式,得,整理,得x3y30，这就是直线ac的方程；直线bc的斜率是k，过点c（0,1），由点斜式，

7、得y1（x0），整理得3x2y20,这就是直线bc的方程例3求过点（0，1),斜率为的直线的方程解：直线过点(0，1)，表明直线在y轴上的截距为1，又直线斜率为，由直线的斜截式方程，得yx1。即x2y20。变式训练1直线l：y4x2在y轴上的截距是_，斜率k_.答案：242已知直线l：ykxb经过第二、三、四象限,试判断k和b的符号解:如下图所示因为直线l与x轴的正方向的夹角是钝角，与y轴交点位于y轴的负半轴上，所以k0，b0.思路2例4过两点（1，1)和（3,9）的直线l在x轴上的截距是_，在y轴上的截距是_解析：直线l的两点式方程是，当x0时,y3；当y0时，x。即直线l在x轴上的截距等于

8、，在y轴上的截距等于3.答案：3点评:已知直线的截距式方程，可以直接观察得出在两坐标轴上的截距；已知直线的非截距式方程时，令x0，解得y的值即是在y轴上的截距，令y0，解得x的值即是在x轴上的截距变式训练已知直线过点p（2,3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程解：因为直线与x轴不垂直，所以可设直线的方程为y3k（x2)令x0，得y2k3；令y0，得x2。由题意,得（2k3）(2）4。若（2k3）（2）8，无解;若（2k3）（2）8，解得k，k。所求直线的方程为y3(x2)和y3（x2)，即x2y40和 9x2y120.例5 设abc的顶点a(1，3)，边ab、ac上的中线所在直

9、线的方程分别为x2y10，y1，求abc中ab、ac各边所在直线的方程分析:为了搞清abc中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件,画出图形，帮助思考问题解:如下图，设ac的中点为f，则ac边上的中线bf为y1.ab边的中点为e，则ab边上中线ce为x2y10。设c点坐标为（m，n)在a、c、f三点中a点已知，c点未知,f虽然为未知但其在中线bf上，满足y1这一条件这样用中点公式解出n1.又c点在中线ce上，应当满足ce的方程，则m2n10.m3。c点为（3,1)用同样的思路去求b点设b点为（a，b），显然b1.又b点、a点、e点中，e为中点，b点为(a,1），e点坐标为（,),即（,2)

10、e点在ce上,应当满足ce的方程410，解出a5。b点为(5,1）由两点式，即可得到ab，ac所在直线的方程lac:xy20。lab：x2y70.点评：此题思路较为复杂,应从中领悟到两点：（1）中点公式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程,这一观念必须牢牢地树立起来变式训练已知点m（1，0)，n(1,0)，点p为直线2xy10上的动点，则pm2|pn2的最小值为多少？解:p点在直线2xy10上，设p（x0，2x01)|pm2|pn|2（2x01）2(x01）2(2x01）2（x01)22（2x01）22x210x8x0410(x0）2.最小值为。例6 经过点a（

11、1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程解：当截距为0时，设ykx，过点a(1,2），则得k2，即y2x。当截距不为0时，设1或1,过点a(1,2），则得a3，或a1，即xy30或xy10。综上，所求的直线共有3条：y2x，xy30或xy10.点评:本题易漏掉直线y2x,其原因是忽视了直线方程的截距式满足的条件之一:在两坐标轴上的截距均不为零变式训练过点p（4，3)的直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程解：直线l在两坐标轴上的截距相等都为0时，直线过(0，0）、（4，3），由两点式得直线方程为yx；当直线l在两坐标轴上的截距相等且不为0时，可以设截

12、距为a，直线方程为1,过点(4，3），解得直线的方程为xy1.1经过点(，2）,倾斜角是30的直线的方程是（)ay(x2） by2(x)cy2（x) dy2(x）答案：c2已知直线方程y3(x4），则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是()a(4,3),60 b(3，4），30c(4，3),30 d（4,3），60答案：a3直线方程可表示成点斜式方程的条件是()a直线的斜率存在 b直线的斜率不存在c直线不过原点 d不同于上述答案答案：a4直线y（x2)绕点（2,0）按顺时针方向旋转30所得的直线方程是_解析:直线y（x2)的倾斜角为120,绕点(2,0）按顺时针方向旋转30后，倾斜角为12030

13、90，则所得直线方程是x2，即x20。答案：x205已知abc的顶点坐标为a（1，5）、b(2,1)、c(4，3),m是bc边上的中点(1）求ab边所在的直线方程；（2)求中线am的长；解：(1）由两点式写方程,得，即6xy110.(2）设m的坐标为（x0，y0)，则由中点坐标公式，得x01，y01，故m（1,1)，am2。6已知如下图，正方形边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程分析：由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程而正方形的对称轴pq、mn、x轴、y轴则不能用截距式，其中pq、mn应选用斜截式,x轴，y轴的方程可以

14、直接写出解：因为ab4，所以|oa|ob|2.因此a、b、c、d的坐标分别为(2,0）、(0,2）、（2，0)、（0,2）所以ab所在直线的方程是1，即xy20。bc所在直线的方程是1，即xy20.cd所在直线的方程是1，即xy20.da所在直线的方程是1，即xy20.对称轴方程分别为xy0，x0，y0.如左下图，要在土地abcde上划出一块长方形地面（不改变方向）,问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（单位：m)解：如右上图，建立直角坐标系，在线段ab上任取一点p分别向cd、de作垂线，划得一矩形土地ab方程为1，p（x,20)（0x30)，则s矩形（100x)80(20）(x5)2

15、6 000（0x30），当x5，y,即p（5，)时,（s矩形）max(m2）本节课学习了：1直线方程的四种形式;2会求直线方程；3注意直线方程的使用条件，尤其关注直线的斜率是否存在从而分类讨论本节练习b2，3题本节教学设计,以课程标准为指南，对直线方程的四种形式放在一起集中学习,这样有利于对比方程的适用范围,比教材中分散学习效果要好，特别是应用示例思路2的总体难度较大，适用于基础扎实、学习有余力的同学解析几何的应用解析几何又分为平面解析几何和空间解析几何在平面解析几何中，除了研究直线的有关性质外,主要是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质在空间解析几何中，除了研究平面、直线的有关

16、性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面、椭圆、双曲线、抛物线的有关性质,在生产或生活中被广泛应用比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面,灯丝在一个焦点上,影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的总的来说,解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹,通过坐标系建立它的方程;另一类是通过方程的讨论,研究方程所表示的曲线性质运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程;然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案

17、备选习题1求与两坐标轴正向围成面积为2的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程解:设直线方程为1,则由题意知ab2，ab4。又|ab3，解得a4,b1或a1，b4.则直线方程是1或1，即x4y40或4xy40.2已知直线l1：y4x和点p（6,4)，过点p引一直线l与l1交于点q,与x轴正半轴交于点r,当oqr的面积最小时，求直线l的方程分析：因为直线l过定点p（6,4），所以只要求出点q的坐标,就能由直线方程的两点式写出直线l的方程解：因为过点p(6,4)的直线方程为x6和y4k（x6）,当l的方程为x6时，oqr的面积为s72;当l的方程为y4k（x6）时，点r的坐标为r（，0)，点q的坐标为q(,）,此时oqr的面积s。s0，r(r4）0,r4或r0。变形为（s72）k2（964s)k320(s72）因为上述方程根的判别式0，所以（964s）2432(s72）0，解得16s（s40）0，即s40。此时k1，所以，当且仅当k1时，s有最小值40.此时,直线l的方程为y4（x6)，即xy100。点评:此题是一道