晶体的宏观对称性

1、 Solid state physics School of Physics, Northwest University Solid state physics School of Physics, Northwest University Solid state physics School of Physics, Northwest University Solid state physics School of Physics, Northwest University Solid state physics School of Physics, Northwest University

2、 一、一、 晶体的对称性晶体的对称性（crystal symmetry） 一个晶格，在平移格矢一个晶格，在平移格矢 （ 为整数）之后，结果与原来晶格完全一样，特性也完全相同，这为整数）之后，结果与原来晶格完全一样，特性也完全相同，这 种性质称为晶体的平移对称性。种性质称为晶体的平移对称性。 1 12233l Rl al al a 123 , ,l l l （一）晶体的平移对称性（一）晶体的平移对称性（ crystal translation symmetry ） 晶体的平移对称性，概括了晶体的周期性，也就是说，在晶格中，位晶体的平移对称性，概括了晶体的周期性，也就是说，在晶格中，位 置矢量置矢

3、量 表示的格点和位置矢量表示的格点和位置矢量 表示的格点情况完全相同，相表示的格点情况完全相同，相 应的物理性质也完全相同。应的物理性质也完全相同。 r rR 如果用如果用 表示晶格的某一个物理量，则有表示晶格的某一个物理量，则有 ( )()rrR Solid state physics School of Physics, Northwest University 晶体的对称性晶体的对称性就是指晶体经过某些特定的操作之后，能够回复到原来就是指晶体经过某些特定的操作之后，能够回复到原来 状态的性质。这些特定的操作，称为对称操作。状态的性质。这些特定的操作，称为对称操作。 （二）晶体的对称性与对

4、称操作（二）晶体的对称性与对称操作（crystal symmetry and operation） 晶体对称性可以分为晶体对称性可以分为宏观对称性宏观对称性（指操作时，晶体至少有一点保持（指操作时，晶体至少有一点保持 不变）和不变）和微观对称操作微观对称操作（对称操作中包括平移操作，或者是有平移操作（对称操作中包括平移操作，或者是有平移操作 的复合操作）。的复合操作）。 晶体的宏观对称性，归根结底是由于晶体中原子规则排列的结果，晶体的宏观对称性，归根结底是由于晶体中原子规则排列的结果， 它必然受到平移对称性的制约。对称操作所依赖的几何要素，如点、线它必然受到平移对称性的制约。对称操作所依赖的几

5、何要素，如点、线 和面等，称为对称元素。和面等，称为对称元素。 （三）晶体对称性的分类（三）晶体对称性的分类 Solid state physics School of Physics, Northwest University 比如，立方体结构的对称操作共有比如，立方体结构的对称操作共有4848个，金刚石结构个，金刚石结构 共有共有2424个对称操作，所以，立方结构的对称性比金刚个对称操作，所以，立方结构的对称性比金刚 石结构的对称性高。石结构的对称性高。 对称操作对称操作 一个物体在某一个正交变换下保持不变一个物体在某一个正交变换下保持不变 物体的对称操作越多，其对称性越高物体的对称操作越

6、多，其对称性越高 Solid state physics School of Physics, Northwest University 立方体的对称操作立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 9个对称操作个对称操作 2 3 , 2 Solid state physics School of Physics, Northwest University 共有共有6个对称操作个对称操作2) 绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动 Solid state physics School of Physics, Northwest University 8个对称操作个对称操作 3) 绕

7、绕4个立方体对角线个立方体对角线 轴转动轴转动 3 4 , 3 2 4) 正交变换正交变换 1个对称操作个对称操作 100 010 001 Solid state physics School of Physics, Northwest University 立方体的对称操作共有立方体的对称操作共有48个个 5) 以上以上24个对称操作个对称操作 加中心反演仍是对称操作加中心反演仍是对称操作 Solid state physics School of Physics, Northwest University 正四面体的对称操作正四面体的对称操作 四个原子位于正四个原子位于正 四面体的四个顶角

8、上四面体的四个顶角上 金刚石晶格金刚石晶格 对称操作包含在对称操作包含在 立方体操作之中立方体操作之中 Solid state physics School of Physics, Northwest University 共有共有3个对称操作个对称操作1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 8个对称操作个对称操作 2) 绕绕4个立方体对角线轴转动个立方体对角线轴转动 3 4 , 3 2 3) 正交变换正交变换 1个对称操作个对称操作 100 010 001 Solid state physics School of Physics, Northwest University 6个对称操作个对

9、称操作 4) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 2 3 , 2 加中心反演加中心反演 6个对称操作个对称操作 5) 绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动 加上中心反演加上中心反演 正四面体正四面体 对称操作共有对称操作共有24个个 Solid state physics School of Physics, Northwest University 正六面柱的对称操作正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动绕中心轴线转动 3 5 , 3 4 , 3 2 , 3 5个个 3个个 3) 绕相对面中心连线转动绕相对面中心连线转动 3个个 4) 正交变换正交变换 5) 12个对称操作加中心反演个对称

10、操作加中心反演 正六面柱的对称操作有正六面柱的对称操作有24个个 2) 绕对棱中点连线转动绕对棱中点连线转动 1个个 Solid state physics School of Physics, Northwest University 二、二、 晶体的对称操作和对称元素晶体的对称操作和对称元素 （symmetrical operation and basic symmetry elements ） （一）对称操作（一）对称操作（symmetrical operation） 从对称性的角度概括和区别不同晶体的宏观对称性，就是要考查这些晶体所从对称性的角度概括和区别不同晶体的宏观对称性，就是要考

11、查这些晶体所 具有的刚性对称操作。这些对称操作包括：具有的刚性对称操作。这些对称操作包括： 绕某一个轴的转动操作绕某一个轴的转动操作 对某一个面的镜像操作对某一个面的镜像操作 对某一个点的反演操作以及它们的组合操作对某一个点的反演操作以及它们的组合操作 这些对称操作不是平移对称操作，被称作是宏观对称操作这些对称操作不是平移对称操作，被称作是宏观对称操作。因为这些操作保持空。因为这些操作保持空 间的某一点不动，又称为点对称操作。间的某一点不动，又称为点对称操作。 Solid state physics School of Physics, Northwest University 和刚体一样，晶

12、体中任何两点之间的距离，在操作前后应保持不变。和刚体一样，晶体中任何两点之间的距离，在操作前后应保持不变。 如果用数学表示，这些操作就是我们熟知的线性变换。如果用数学表示，这些操作就是我们熟知的线性变换。 x x 设经过某个操作，把晶格中的任一点设经过某个操作，把晶格中的任一点 变为变为 这个操作可以表示为线性变换：这个操作可以表示为线性变换： 123 xxix jx k 123 xx ixjx k 这里这里 jjkk xa x ( ,1,2,3)j k ， （1.4.1） Solid state physics School of Physics, Northwest University

13、1 2 3 x xx x 1 2 3 x xx x 用矩阵可以表示，（用矩阵可以表示，（1.4.11.4.1）式可以写成）式可以写成 xAx （1.4.21.4.2） ， ， 111213 212223 313233 () ij aaa Aaaaa aaa （1.4.31.4.3） Solid state physics School of Physics, Northwest University ()x xAx AxxAAxxx 即即 100 010 001 I I I 是单位矩阵是单位矩阵 1 AA 也就是说，应有也就是说，应有 1A 即即 A A 为正交矩阵，其行列式的值为正交矩阵，其

14、行列式的值 222222 2 13123 xxxxxx 操作前后，两点间的距离应保持不变，这要求操作前后，两点间的距离应保持不变，这要求 （1.4.4） AAI 因此，要求因此，要求 （1.4.5） Solid state physics School of Physics, Northwest University 直角坐标的转动 如图，使晶体绕直角坐标如图，使晶体绕直角坐标 x1 轴转动轴转动 角，则晶体中的点角，则晶体中的点 123123 ( ,)(,)x x xxxx 三维晶体的正交变换有以下几种：三维晶体的正交变换有以下几种： 变换关系为变换关系为 11 xx 223 cossinx

15、xx 323 sincosxxx Solid state physics School of Physics, Northwest University 变换关系用矩阵表示，则为变换关系用矩阵表示，则为 11 22 33 100 0cossin 0sincos xx xx xx 可以用变换矩阵可以用变换矩阵A 具体代表这一转动操作。具体代表这一转动操作。 100 0cossin 0sincos A 1A Solid state physics School of Physics, Northwest University 123 ( ,)x x x 123 (,)xxx 取中心为原点，经过中心

16、反演后，图形中的一点取中心为原点，经过中心反演后，图形中的一点 变成变成 变换关系为变换关系为 11 22 33 xx xx xx 100 010 001 A 1A 变换矩阵变换矩阵 Solid state physics School of Physics, Northwest University 11 22 33 xx xx xx 3 3、镜像、镜像（mirror planes） 变换关系为变换关系为 100 010 001 A 1A 变换矩阵变换矩阵 3 0 x 123 ( ,)x x x 123 ( ,)x xx 面作为镜面，镜像对称操作是将面作为镜面，镜像对称操作是将 变成变成 以

17、以 Solid state physics School of Physics, Northwest University n C 对称元素是该操作所依赖的旋转轴，称为对称元素是该操作所依赖的旋转轴，称为 n 度（或者度（或者 n 重、重、n 次）旋转次）旋转 对称轴，熊夫利符号用对称轴，熊夫利符号用 表示，表示， 国际符号用国际符号用 n 表示。表示。 2 n （二）对称元素（二）对称元素（ symmetry elements ） 对称元素是对称操作所依赖的几何要素，如点、线和面等。对称元素是对称操作所依赖的几何要素，如点、线和面等。 1 1、n 度旋转轴度旋转轴（n-fold rotati

18、on axis） 晶体绕某一固定轴旋转角度晶体绕某一固定轴旋转角度 后，能够自身重合的操作称为旋转对称操作。后，能够自身重合的操作称为旋转对称操作。 Solid state physics School of Physics, Northwest University 由于晶格周期性的限制，由于晶格周期性的限制，n 只能取只能取1 1，2 2，3 3，4 4和和6 6，即晶体不能有，即晶体不能有5 5度或度或6 6度以度以 上的旋转轴，这个规律称为晶体的上的旋转轴，这个规律称为晶体的对称性规律。对称性规律。 证明如下：证明如下： 如图所示，设此平面为一晶面，格如图所示，设此平面为一晶面，格 点

19、点 A、B 是位于同一晶列是位于同一晶列 O 点上点上 的两个最近邻格点。将晶格绕通过的两个最近邻格点。将晶格绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴逆时针方点并垂直于纸面的转轴逆时针方 向旋转向旋转角度后，角度后，B 点转到点转到 B 点，点， 如果这时晶体与自身重合，如果这时晶体与自身重合，B点处点处 原来必定有一格点。如果再绕原来必定有一格点。如果再绕 O 点点 顺时针方向转轴旋转顺时针方向转轴旋转角度，晶格又角度，晶格又 恢复到未转动时的状态。但是，顺恢复到未转动时的状态。但是，顺 时针方向转轴旋转时针方向转轴旋转角，角，A点转到点转到A 点，点，A点处原来也一定是格点。点处原来也一定是格点。

20、 一晶面上的晶列一晶面上的晶列 Solid state physics School of Physics, Northwest University cos1 2 m 2 cosA Bama 设晶格的周期为设晶格的周期为a ，则由几何关系有，则由几何关系有 其中其中 m 为整数。由上式以及余弦函数的取值范围，可得为整数。由上式以及余弦函数的取值范围，可得 2 2 , , 32 3 可以看出可以看出 的取值只能是的取值只能是 n 只能取只能取1 1，2 2，3 3，4 4 和和6 6 五个值。五个值。 也就是说，不可能有也就是说，不可能有5 5重、重、7 7重等旋转对称轴存在。重等旋转对称轴存

21、在。 Solid state physics School of Physics, Northwest University 4重轴、重轴、 3重轴、重轴、 2重轴的表示重轴的表示 Solid state physics School of Physics, Northwest University N 度旋转对称轴的度数常用不同的符号表示，如表度旋转对称轴的度数常用不同的符号表示，如表1-11-1所示。所示。 n 2 346 符号符号 表表1-1 1-1 对称轴度数符号表对称轴度数符号表 Solid state physics School of Physics, Northwest Uni

22、versity 2 2、反映和镜面、反映和镜面( (reflection and mirror) ) 晶体沿某一平面反映后能与自身重合的操作，称为反映对称操作晶体沿某一平面反映后能与自身重合的操作，称为反映对称操作 ( (operation of reflection symmetry) )。 对称元素即该操作所依赖的平面，称为镜面（或对称面），用对称元素即该操作所依赖的平面，称为镜面（或对称面），用 （或（或m）表示。）表示。 如果镜面是水平的，记为如果镜面是水平的，记为 镜面是垂直的，记为镜面是垂直的，记为 h y Solid state physics School of Physics

23、, Northwest University 2 n nnhhn SCC 3 3、n 度象转轴度象转轴( (n-fold mirror rotation axis) ) 晶体绕某一固定轴旋转角度晶体绕某一固定轴旋转角度 n S 同时对垂直于此轴的某一镜面进行反映，晶体能自身重合，这样的操同时对垂直于此轴的某一镜面进行反映，晶体能自身重合，这样的操 作称为象转对称操作。对称元素是该操作所依赖的旋转轴，称为作称为象转对称操作。对称元素是该操作所依赖的旋转轴，称为 n 度象度象 转轴，用转轴，用 表示。表示。象转操作是旋转和反映的复合操作象转操作是旋转和反映的复合操作，显然，显然， 由于晶格周期性的

24、限制，这里的由于晶格周期性的限制，这里的 n 也只能取也只能取1 1，2 2，3 3，4 4 和和 6 6。 Solid state physics School of Physics, Northwest University rr 22h ISC 2 S 4 4、中心反演、中心反演(centre inverse) 二度象转轴（二度象转轴（ ）这一对称操作（旋转）这一对称操作（旋转1801800 0后，再反映）后，再反映） 对称元素是二度象转轴和镜面的交点，称为对称中心。对称元素是二度象转轴和镜面的交点，称为对称中心。 中心反演也是复合操作，中心反演也是复合操作， 称为中心反演。称为中心反演

25、。 中心反演实际上就是对晶体进行中心反演实际上就是对晶体进行 i 的操作。中心反演操作常用的操作。中心反演操作常用 I I（或（或）表示。）表示。 Solid state physics School of Physics, Northwest University 5 5、旋转、旋转- -反演轴反演轴 （rotation and inverse axis） n 用用 表示。表示。 后，再经过中心反演，能够自身重合，则称该轴为后，再经过中心反演，能够自身重合，则称该轴为 2 n n 如果晶体绕某一对称轴旋转角度如果晶体绕某一对称轴旋转角度 度旋转度旋转- -反演轴反演轴 n1,2,3,46 也

26、只能取也只能取 和和 五种。五种。 同样，同样， 这也是一种复合对称操作。这也是一种复合对称操作。 实际上，实际上，1表示中心反演，即表示中心反演，即 i1 是垂直于该轴的对称面（镜像），是垂直于该轴的对称面（镜像）， 2 2 2度旋转反演轴表示为度旋转反演轴表示为 ， 即即 m2 Solid state physics School of Physics, Northwest University i 33 如右图所示。如右图所示。 m 36 从点从点1 1出发，转动出发，转动1201200 0后到后到 1 1 点，再反演点，再反演 到到2 2；再转动；再转动1201200 0后到后到 2

27、点；点；依次；依次 进行下去，从点进行下去，从点1 1出发，可以得到出发，可以得到2 2，3 3，4 4， 5 5，6 6 各点，这些点的分布具有各点，这些点的分布具有3 3度旋转对度旋转对 称轴和对称心。称轴和对称心。 Solid state physics School of Physics, Northwest University 4度旋转反演轴度旋转反演轴 的情况与其它几个旋转反演轴不同，在有的情况与其它几个旋转反演轴不同，在有1，2，3， 4，6，i，m 的情况下，惟有它是独立的对称元素和对称操作。的情况下，惟有它是独立的对称元素和对称操作。 4 一般来说，一般来说，4 4度旋转反

28、演轴的效果并不度旋转反演轴的效果并不 等于等于4 4度旋转轴加对称中心，如左图所度旋转轴加对称中心，如左图所 示，图形转示，图形转90900 0后，后，1111，经中心反演，经中心反演 1 122，再转，再转90900 0，2222，经中心反演，经中心反演 2 233，以此类推。这样就得出如图所示，以此类推。这样就得出如图所示 的两个相同的四面体的两个相同的四面体12341234和和1 12 23 34 4。这。这 两个四面体具有两个四面体具有4 4度旋转反演轴的对称度旋转反演轴的对称 性。比如将四面体性。比如将四面体12341234转转90900 0后，并不后，并不 时同自身重合，而是同四面

29、体时同自身重合，而是同四面体1 12 23 34 4重重 合，但是将四面体合，但是将四面体1 12 23 34 4上下倒翻一下，上下倒翻一下， 就和四面体就和四面体12341234重合了。重合了。 Solid state physics School of Physics, Northwest University 这五种对称操作是这五种对称操作是宏观对称操作宏观对称操作。 在宏观对称操作中，有一些对称操作是另一些对称操作的组合。在宏观对称操作中，有一些对称操作是另一些对称操作的组合。 在习惯上，常把以下八种对称操作称为基本的对称操作：在习惯上，常把以下八种对称操作称为基本的对称操作： 它们的

30、组合可以得到它们的组合可以得到3232种不包括平移的宏观对称类型。种不包括平移的宏观对称类型。 1,2,3,4,6, ,4i m Solid state physics School of Physics, Northwest University Solid state physics School of Physics, Northwest University Solid state physics School of Physics, Northwest University Solid state physics School of Physics, Northwest Univer

31、sity 另外，还有两种微观对称操作：另外，还有两种微观对称操作：n 度螺旋轴和滑移反映面。度螺旋轴和滑移反映面。 6 6、n 度螺旋轴（度螺旋轴（n-fold spiral axis ） 2 n 一个一个 n 度螺旋轴是指晶体绕轴每转度螺旋轴是指晶体绕轴每转 角度后，再沿该轴的方向平移角度后，再沿该轴的方向平移 T n 的的 l 倍，晶体能够恢复到原来的状态。倍，晶体能够恢复到原来的状态。 T 是轴向的周期矢量。是轴向的周期矢量。 其中，其中，n 只能取只能取1 1，2 2，3 3，4 4 和和 6 6 五个值；五个值；l 为小于为小于 n 的整数；的整数； Solid state phys

32、ics School of Physics, Northwest University Solid state physics School of Physics, Northwest University T n 7 7、滑移反映面、滑移反映面 (slippage reflection plane) 一个滑移反映面是指晶体经过该面的镜像操作后，再沿平行于该一个滑移反映面是指晶体经过该面的镜像操作后，再沿平行于该 平面的某个方向平移平面的某个方向平移 的距离，晶体能够恢复到原来的状态。的距离，晶体能够恢复到原来的状态。 T 是平移方向上的周期矢量。是平移方向上的周期矢量。其中，其中，n 只能只

33、能 2 2 或或 4,4, Solid state physics School of Physics, Northwest University Solid state physics School of Physics, Northwest University 三、三、 点群和空间群点群和空间群（point and space group） Solid state physics School of Physics, Northwest University （二）点对称操作和点群（二）点对称操作和点群 一个晶体具有的所有对称操作满足上述群的定义，构成一个操作群。一个晶体具有的所有对称操

34、作满足上述群的定义，构成一个操作群。 “乘法乘法”运算就是连续操作运算就是连续操作 单位元素为不动操作单位元素为不动操作 逆元素为转角和平移矢量大小相等、方向相反的操作逆元素为转角和平移矢量大小相等、方向相反的操作 由于晶体在进行宏观对称操作时，至少有一点是不动的，故称为点操作。由于晶体在进行宏观对称操作时，至少有一点是不动的，故称为点操作。 与点对称操作相应的对称元素群，称为点群。与点对称操作相应的对称元素群，称为点群。 Solid state physics School of Physics, Northwest University 点群点群 以基本对称操作为基础组成的对称操作群以基本

35、对称操作为基础组成的对称操作群 由对称素组合成群时，由对称素组合成群时，对称轴的数目对称轴的数目 对称轴之间的夹角对称轴之间的夹角将受到严格的限制将受到严格的限制 两个两个2重轴的夹角只能是重轴的夹角只能是 0000 90,60,45,30 如果存在一个如果存在一个n重轴和与之垂直的二重轴重轴和与之垂直的二重轴 就一定存在就一定存在n个与之垂直的二重轴个与之垂直的二重轴 Solid state physics School of Physics, Northwest University 连续进行操作连续进行操作AB 轴上一点轴上一点N回到原处，轴回到原处，轴2转到转到2的位置的位置 2个二重

36、轴个二重轴2和和2 绕轴绕轴2的转动计的转动计 A 绕轴绕轴2的转动计的转动计 B A和和B均为对称操作均为对称操作ABC 是对称操作是对称操作 C的操作则是绕的操作则是绕NN轴转过角度轴转过角度2 0000 180,120,90,602 0000 90,60,45,30 Solid state physics School of Physics, Northwest University 由于晶格周期性的限制，宏观对称元素在组合时，由基本对称操作的组合，由于晶格周期性的限制，宏观对称元素在组合时，由基本对称操作的组合， 可以组成可以组成3232种不相同的点群，即种不相同的点群，即3232种宏

37、观对称类型种宏观对称类型. . 晶体的宏观对称只有晶体的宏观对称只有3232个不同类型个不同类型 1 C 不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体 只包含一个旋转轴的点群只包含一个旋转轴的点群 4个个 下标表示是几重旋转轴下标表示是几重旋转轴 6432 ,CCCC n C 回转群回转群 n D 双面群双面群 包含一个包含一个n重旋转轴和重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群个与之对应的二重轴的点群 4个个 6432 ,DDDD Solid state physics School of Physics, Northwest Universi

38、ty 群只包含旋转反演轴的点群。群只包含旋转反演轴的点群。 其中其中 n S hsi CSCSCS 3321 ,共共2个个 64, S S 群群 群加上通过群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线重轴及两根二重轴角平分线 的反演面，的反演面， 共共2个个 nd D n D dd DD 32 , 群群 群加上中心反演群加上中心反演 i C 1 C 群群 群加上反演面群加上反演面 s C 1 C 群群 群加上与群加上与n重轴垂直的反演面，共重轴垂直的反演面，共4个个 nh C n C 群群 群加上含有群加上含有n重轴的反演面，共重轴的反演面，共4个个 nv C n C Solid state phys

39、ics School of Physics, Northwest University 群群 正四面体点群正四面体点群, 含有含有24个对称操作个对称操作 d T 群群 立方点群立方点群 的的24个纯转动操作个纯转动操作 h OO 群群 正四面体点群正四面体点群 的的12个纯转动操作个纯转动操作 T d T 群群 群加上中心反演群加上中心反演 h TT 群群 立方点群立方点群, 含有含有48个对称操作个对称操作 h O 晶体的宏观对称只有晶体的宏观对称只有32个不同类型个不同类型 Solid state physics School of Physics, Northwest Universi

40、ty （三）空间群（三）空间群 晶体结构内部由宏观对称元素和微观对称元素一起组合而成的对晶体结构内部由宏观对称元素和微观对称元素一起组合而成的对 称群，称为空间群。称群，称为空间群。 空间群分为两类：简单空间群（空间群分为两类：简单空间群（symmorphic space group），由一），由一 个平移群和一个点群的全部对称操作组合而成，共有个平移群和一个点群的全部对称操作组合而成，共有7373个。个。 复杂空间群（复杂空间群（nonsymmorphic space group ）, ,群中可包含群中可包含 n 重螺重螺 旋轴（旋轴（ n-fold spiral axis ）以及滑移反映面

41、（）以及滑移反映面（ slippage reflection plane ）。空间群的总数是）。空间群的总数是230230个。即所有的晶格结构，就其对称性而个。即所有的晶格结构，就其对称性而 言，共有言，共有230230个类型，每一类由一个空间群描述。个类型，每一类由一个空间群描述。 Solid state physics School of Physics, Northwest University （一）七大晶系（一）七大晶系 根据晶体的宏观对称性，按晶胞基矢构成的坐标系的性质，根据晶体的宏观对称性，按晶胞基矢构成的坐标系的性质， 可以将晶体归纳为七大类，即七大晶系。由于点阵的宏观对称操可

42、以将晶体归纳为七大类，即七大晶系。由于点阵的宏观对称操 作和对称元素的组合受到晶格周期性排列的严格限制，作和对称元素的组合受到晶格周期性排列的严格限制， 数学上可以严格证明，只存在这七种晶系。任何一种晶体结数学上可以严格证明，只存在这七种晶系。任何一种晶体结 构分属于这构分属于这7 7个晶系之一，决定这种结构所对应的点阵和点群。个晶系之一，决定这种结构所对应的点阵和点群。 , ,a b c 之间的关系。之间的关系。 四、四、 七个晶系和十四种布拉菲格子七个晶系和十四种布拉菲格子 (seven crystal systems and fourteen Bravais lattices) 下面从对

43、称性由低到高的顺序，分别给出这下面从对称性由低到高的顺序，分别给出这7个晶系的名称以及晶胞基矢个晶系的名称以及晶胞基矢 Solid state physics School of Physics, Northwest University , ,a b c ,abc 1、三斜晶系：、三斜晶系： 这一晶系有两种对称类型这一晶系有两种对称类型 C1和和Ci，没有任何旋转对称轴和，没有任何旋转对称轴和 对称面，因此，对称面，因此， 无任何限制，即无任何限制，即 An example of the triclinic crystals, microcline (微斜长石) Solid state ph

44、ysics School of Physics, Northwest University 22 , Sh C C C 2 2、单斜晶系：、单斜晶系： 属于这一晶系的对称类型有属于这一晶系的对称类型有 它们或者是有它们或者是有2 2度旋转轴，或者是有对称面。度旋转轴，或者是有对称面。 所以坐标系的特点是所以坐标系的特点是 ,ab cb 0 ,90abc a c 因为只有因为只有 和和 是倾斜的，所以称为单斜系。是倾斜的，所以称为单斜系。 b 沿沿 2 2 度转轴或沿对称面法线的方向，而度转轴或沿对称面法线的方向，而 取取 An example of the monoclinic crystal

45、s, orthoclase （正长石） Solid state physics School of Physics, Northwest University 222 , Vh CD D 0 ,90abc 3 3、正交晶系：、正交晶系： 属于这一晶系的对称类型有属于这一晶系的对称类型有 这三种都是有互相垂直的对称方向，这三种都是有互相垂直的对称方向， 所以有所以有 An example of the orthorhombic crystals, aragonite （霰石、文石）（霰石、文石） simple orthorhombic base-centered orthorhombic bod

46、y-centered orthorhombic face-centered orthorhombic Solid state physics School of Physics, Northwest University 444444 , hVh C CCD DS2h D c 0 90 4 4、四角晶系：四角晶系又称为正方晶系。、四角晶系：四角晶系又称为正方晶系。 属于这一晶系的对称类型有七种：属于这一晶系的对称类型有七种： 和和 它们都有一个它们都有一个4 4 度转轴，取为度转轴，取为 轴，它肯定也是轴，它肯定也是2 2 度轴，所以度轴，所以 0 ,90abc 由于由于 为为4 4 度轴，必

47、定有度轴，必定有 0 ,90abc 所以坐标系的特点是所以坐标系的特点是 An example of the tetragonal crystals, wulfenite （钼铅矿） Simple tetragonalBody-centered tetragonal Solid state physics School of Physics, Northwest University 5 5、六角晶系：、六角晶系： a b 6度转轴c 垂直于纸面（虚线所示为2度转轴） c 沿沿 的的6 6 度转轴肯定是度转轴肯定是 2 2 度转轴，所以度转轴，所以 0 90 0 ,120abc 由于由于 为

48、为 6 6度轴，必定有度轴，必定有 00 ,90 ,120abc 所以坐标系的特点是所以坐标系的特点是 轴取两相交轴取两相交1201200 0的水平轴，作为的水平轴，作为 c c , a b 等对称类型。它们都有等对称类型。它们都有6 6 度转轴，取为度转轴，取为 轴。垂直于轴。垂直于 轴，如图所示。轴，如图所示。 66666 , hVh C CCD D 33 , hh CD 以及以及 属于六角晶系的有属于六角晶系的有 c Solid state physics School of Physics, Northwest University An example of the hexagona

49、l crystals, Beryl （绿宝石） Hexagonal Hanksite （碳酸芒硝）crystal Solid state physics School of Physics, Northwest University 00 ,120 ,90abc , ,a b c 构成一个菱形六面体，所以坐标系的特点是构成一个菱形六面体，所以坐标系的特点是 33333 , iVd C CCD D , ,a b c 6 6、三角晶系：、三角晶系： 等对称类型。这个晶系是一种特殊对称类型，它有一条等对称类型。这个晶系是一种特殊对称类型，它有一条 3 3度转轴，与度转轴，与 具有相同的夹角，具有相同

50、的夹角， 属于这个晶系的有属于这个晶系的有 An example of trigonal crystals, quartz （石英） An example of trigonal rhombohedral crystals, dolomite （白云石） Solid state physics School of Physics, Northwest University , hdh T T T O O 0 ,90abc 7 7、立方晶系：属于这个晶系的有、立方晶系：属于这个晶系的有 五种对称类型。这里晶轴或者是沿五种对称类型。这里晶轴或者是沿 4 4 度转轴，或者是沿度转轴，或者是沿 2 2

51、 度转轴，度转轴， 因此，因此， A rock containing three crystals of pyrite (FeS2) （黄铁石） Simple cubic (P)Body-centered cubic (I)Face-centered cubic (F) Solid state physics School of Physics, Northwest University 7大晶系的形成和转化大晶系的形成和转化 Solid state physics School of Physics, Northwest University （二）十四种布拉菲格子（二）十四种布拉菲格子 (

52、fourteen Bravais lattices) 七大晶系，每一晶系中包含一种或数种特征性的点阵，共有十四种，七大晶系，每一晶系中包含一种或数种特征性的点阵，共有十四种， 即有十四种布拉菲格子。即有十四种布拉菲格子。 任何一种晶体，对应的晶格都是十四种布拉菲格子的一种。任何一种晶体，对应的晶格都是十四种布拉菲格子的一种。 从晶体所属的布拉菲格子可以了解晶体的宏观对称性所具有的基本特从晶体所属的布拉菲格子可以了解晶体的宏观对称性所具有的基本特 征。征。 因此，布拉菲格子概括了晶格的对称性。因此，布拉菲格子概括了晶格的对称性。 Solid state physics School of Phy

53、sics, Northwest University 表表1-1 七大晶系和十四种布拉菲格子七大晶系和十四种布拉菲格子 Solid state physics School of Physics, Northwest University 14种布拉菲格子的晶胞 （1 1）简单三斜）简单三斜 （2 2）简单单斜）简单单斜 （3 3）底心单斜）底心单斜 （4 4）简单正交）简单正交 （5 5）底心正交）底心正交 （6 6）体心正交）体心正交 （7 7）面心正交）面心正交 （8 8）六角）六角 （9 9）三角）三角 （1010）简单四角）简单四角 （1111）体心四角）体心四角 （1212）简单立

54、方）简单立方 （1313）体心立方）体心立方 （1414）面心立方）面心立方 其对称性由低级到高级，依次为：其对称性由低级到高级，依次为： 低级：简单三斜，简单单斜，底心单斜，低级：简单三斜，简单单斜，底心单斜， 简单正交，底心正交，体心正交，简单正交，底心正交，体心正交， 面心正交面心正交 中级：六角，三角，简单四角，中级：六角，三角，简单四角， 体心四角体心四角 高级：简单立方，体心立方，面心立方高级：简单立方，体心立方，面心立方 Solid state physics School of Physics, Northwest University Solid state physics

55、School of Physics, Northwest University 对于二维晶格则有四个晶系，五种布拉菲格子，如表对于二维晶格则有四个晶系，五种布拉菲格子，如表1-31-3以及下页图所示。以及下页图所示。 表表1-3 1-3 二维晶格的晶系和布拉菲格子二维晶格的晶系和布拉菲格子 Solid state physics School of Physics, Northwest University Solid state physics School of Physics, Northwest University Solid state physics School of Phys

56、ics, Northwest University Solid state physics School of Physics, Northwest University 1.4 1.4 晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性（crystal symmetry） 一、一、 晶体的对称性晶体的对称性（crystal symmetry） 二、二、 晶体的对称操作和对称元素晶体的对称操作和对称元素 （symmetrical operation and basic symmetry elements ） 三、三、 点群和空间群点群和空间群（point group and space group） 四、四、

57、七大晶系和十四种布拉菲格子七大晶系和十四种布拉菲格子 （seven crystal systems and fourteen Bravais lattices） 本节思路：给出晶体的对称性、对称操作、对称元素，介绍点群和本节思路：给出晶体的对称性、对称操作、对称元素，介绍点群和 空间群的概念，在此基础上介绍晶体的七大晶系和十四空间群的概念，在此基础上介绍晶体的七大晶系和十四 种布拉菲格子等。种布拉菲格子等。 Solid state physics School of Physics, Northwest University Crystal lattices are classified ac

58、cording to their symmetry properties, such as inversion, reflection and rotation. Inversion center. A cell has an inversion center if there is a point at which the cell remains invariant under transformation r - -r. All the Bravais lattices are inversion symmetric. Non-Bravais lattices may or may no

59、t have an inversion center depending on the symmetry of the basis. Reflection plane. A cell has a reflection plane if it remains invariant when a mirror reflection in this plane is performed. Rotation axis. This is an axis such that, if the cell rotated around the axis trough some angle, the cell re

60、mains invariant. The axis is called n- fold if the angle of rotation is 2 /n. Only 2-, 3-, 4-, and 6-fold axes are possible. Summary Solid state physics School of Physics, Northwest University There are five Bravais lattice types in two dimensions shown in Fig.6. For each of them the rotation axes a