中学数学中的反证法

1、中学数学中的反证法摘要：对于反证法，人们常常有一种对其功能认识不是的误解。为此本文对反证法的基本概念、步骤、及其正确使用等方向进行了阐述。关键词：中学数学;反证法;间接证法引言：去掉大米中的砂粒，有两种方法。一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地捡出来；一种是用间接的方法淘洗法，把砂粒残留下来。这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的。但直接方法困难得很，间接方法却容易的多。在数学解题中，也常用间接的方法（即有些命题不易用直接的方法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真的证明方法）来证题。下面我们就来谈谈数学证明的间接方法之一反证法。一、反证法的基本概念反证

2、法是指“证明某个命题时，现假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。反证法的原理是：假设命题不真，也就是说，我们附加一个与要证明的结论完全相反的假设条件（反正假设）到已知条件中去，利用一系列的推理，得到矛盾的结论（与已知条件矛盾，与已证明过的数学命题矛盾，与刚提出的反证假设矛盾，或是导出两个自相矛盾的结论），依据排中律，附加的条件不真，从而，证得原命题成立。反证法的基本思想是：将否定结论作为

3、条件就会导致矛盾。这种基本思想可以用下面的公式来表示：“否定推理矛盾肯定”“否定”假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立。即首先否定结论。“推论”从原条件和新作的假设出发，引用一系列的论据进行推理。“矛盾”通过推理，导致矛盾，即得出与已知条件、定义、公理、定理或明显的事实相矛盾的结果。“肯定”由于推理过程正确，矛盾产生的原因是由假设所引起，因此假设是错的，从而肯定原结论的正确。二、反证法的步骤：用反证法证题一般分为三个步骤：1.假设原命题的结论不成立；2.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。即：提出假设推出矛盾肯定结论例1：已知：求证

4、：直线和是异面直线。证明：【提出假设】假设直线和在同一平面内，那么这个平面一定经过点和直线。【推出矛盾】，经过点和直线只能有一个平面直线与应在平面内,这与已知矛盾。【肯定结论】直线和是异面直线。在运用反证法证题时，必须认真考察原命题的结论，并找出结论反面的所有情况，因为结论的反面可能只有一种情况，也可能有多种情况。因此，反证法分为归谬法和穷举法两种。当结论的反面只有一种情况时，只要否定这一情况就能证明原命题结论的正确，这种反证法叫归谬法；当结论的反面有多种情况时，必须一一予以否定才能证明原命题的正确，这种反证法叫穷举法。例2：已知：，求证：。分析：此题的结论的否定只有一种情况2，因此用反证法证

5、明时，只要否定了这种情况，就能肯定的这种情况了。证明：假设2，则=由此可知：，这与已知矛盾。例3：已知：平面平面，直线.求证：与也相交。分析：此题结论的否定有两种情况：1；2.用反证法证明时，只有把这两种情况都否定了，才能肯定与相交。证明省略。三、反证法的正确使用任何方法都有它成立的条件，都有它适用的范围。离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，也会影响解题的成功率。因此，我们应该学会正确使用反证法来解题。1.注意其适用范围。虽然反证法是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如适用范围广、思想选择的余地大、推理方便等。但是并不是每一道题都能用反证法来解的。例4：如果对任何正数，二次

6、方程的两个根是正实数，则系数，试证之。证明：假设0，则二次函数的图象是开口向上的抛物线，显然可见，当增大时，抛物线就沿轴向上平移，而当值增大到相当大的正数时，抛物线就上开到与轴没有交点，则对这样的一些值，二次方程的实数根就不存在。因此，0，这一假设与已知矛盾。同理，0和0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根。题设条件和结论矛盾。因此，本题不能反证法来处理。若原题改为“如果对于任何正数，只存在正实根，则系数”，就能用反证法证明了。因此，对于下列命题，较适用反证法来解决。1对于结论是否定形式的命题；2对于结论是以“至多”，“至少”或“无限”的形式出现的命题；3对于结论是以“唯一”或

7、“必然”的形式出现的命题；4对于可利用的公理定理较少或者较以与已知条件相沟通的命题。例5：设、都是正数，求证：.证明：反设不成立，便有，由对称性知：相加：即：这一矛盾说明正确从而即交换、位置：合并得：2.提出假设时，要分清结论反面的全部情况，即不能多，也不能少。例6:求证：五个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数。证明：设五个连续自然数是，则是一个关于的二次三项式，若其为一个完全平方数，即二次三项式有两个相等的实根，于是有与矛盾。即五个连续自然数的平方和不是一个完全平方数。分析：本题的证明过程似乎也合理，但其实它的假设发生了错误。原结论是对于任何大于2的自然数，不是完全平方数，所以结论的反

8、面应是至少存在一个大于2的自然数使是一个完全平方数，而不是对所有的，是一个完全平方数，于是不能推出。例如：当时是一个完全平方数，但是3.推出矛盾时，一般说来，根据条件和假设，通过推理导出与下列矛盾之一即可：1与题设矛盾；2与定义相矛盾；3与定理相矛盾；4与公理相矛盾；5与客观事实相矛盾；6自相矛盾；例7：设、0，求证：，三个数中至少有一个不大于.证明：假设三个数都大于，则【1】另一方面，根据平均值不等式：，同理：，于是：【2】【1】与【2】矛盾。所以原命题成立。小结：反证法是数学证明中的一种重要方法。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。它是从否定命题的结论出发，通过正确的逻辑推理导出矛盾，从而证明了原命题的正确性的一种重要方法。反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的。对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进