材料力学作业参考题解(1)倪樵主编

1、F F FN1 FN2 F 2F 1 1 2 2 F F + - FN ： (轴力图轴力图) 2-1 画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。 解：求截面内力用截面法，轴载直杆截面上内力为轴力。解：求截面内力用截面法，轴载直杆截面上内力为轴力。 (a) 在指定截面处将杆件截开，取截开后的杆件在指定截面处将杆件截开，取截开后的杆件 各部分之一为隔离体各部分之一为隔离体(比如取右侧部分比如取右侧部分)，画，画 出隔离体的受力图，出隔离体的受力图，轴力轴力(内力内力)按其正方向按其正方向 画画，由隔离体的平衡条件，有：，由隔离体的平衡条件，有： FN1 =

2、 F (受拉受拉) FN2 = F-2F = -F (受压受压) 1 1 2F FN1 2 22F 2F FN2 FN ： 轴力图画在与受力图对应的位置，注意标注出轴力图画在与受力图对应的位置，注意标注出 特征位置内力大小。可用正负标记表示基线某特征位置内力大小。可用正负标记表示基线某 一侧的内力值的正负。对水平放置的杆件，习一侧的内力值的正负。对水平放置的杆件，习 惯上将正值轴力画在基线以上。惯上将正值轴力画在基线以上。 即即: 指定截面上轴力的大小等于该截面任一侧所指定截面上轴力的大小等于该截面任一侧所 有轴向力有轴向力(包括支反力包括支反力)的代数和。的代数和。 (b) 如图取隔离体，有

3、：如图取隔离体，有： FN1 = 2F FN2 = 2F-2F = 0 2F + + 画内力图时，可用与基线垂直的具有标长的直画内力图时，可用与基线垂直的具有标长的直 线段表示该线段所在截面内力值的大小。切记线段表示该线段所在截面内力值的大小。切记 不可画成阴影线不可画成阴影线(剖面线剖面线)。 2-1 画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。 (c) 如图取隔离体，有：如图取隔离体，有： FN1 = 2F FN2 = 2F-F = F (d) 如图取隔离体，有：如图取隔离体，有： FN1 = F FN2 = F-qa -2F = F-F -2F =

4、 -2F 1 1 2F FN1 2 2F 2F FN2 + F FN ： 2F + + 3F 1 1 F FN1 q=F/a 2F 2 2 F FN2 2F - F FN ： + 轴力图在集中载荷作用处有突变，突变轴力图在集中载荷作用处有突变，突变 值与集中力的大小相等；值与集中力的大小相等； 在分布载荷作用处轴力图斜率的值等于在分布载荷作用处轴力图斜率的值等于 该处分布载荷的分布集度大小，则分布该处分布载荷的分布集度大小，则分布 载荷的起点和终点处为轴力图折点。载荷的起点和终点处为轴力图折点。 可由受力与轴力图的特点，检查内力图： 2-2 图示杆件由两根木杆粘接而成。欲使其在受拉时，粘接面上

5、的正应力为其切应力的图示杆件由两根木杆粘接而成。欲使其在受拉时，粘接面上的正应力为其切应力的2倍，倍， 试问粘接面的位置应如何确定？试问粘接面的位置应如何确定？ 解：本题实质上是要考察斜截面上的应力。由斜截面应力公式，有：解：本题实质上是要考察斜截面上的应力。由斜截面应力公式，有： 2sin 2 cos2 由题义，要求：由题义，要求： 2 则有：则有： 2 1 tan2sin 2 2cos2 即粘接面法向的角度为：即粘接面法向的角度为： 6 .26 2 1 tan 1 2-4图示实心圆钢杆图示实心圆钢杆AB和和AC在在A点作用有铅垂向下的力点作用有铅垂向下的力F=35kN。已知杆。已知杆AB和

6、和AC的直径分别的直径分别 为为d1=12mm和和d2=15mm，钢的弹性模量，钢的弹性模量E=210GPa。试求。试求A点在铅垂方向的位移。点在铅垂方向的位移。 解：求各杆内力，如图取解：求各杆内力，如图取A点为对象，由平衡条件，有：点为对象，由平衡条件，有： NABNACNACNABx FFFFF230sin45sin0 求位移，各杆变形与求位移，各杆变形与A点位移之间的几何关系如图：点位移之间的几何关系如图： mm EA lF l AC ACNAC AC 104. 1 4/015. 010210 6 . 110622.25 29 3 求各杆变形求各杆变形(伸长伸长)： A F FNAB

7、FNAC x y kNF kNFF FFFF NAC NAB NACNABy 622.25 117.18 31 2 30cos45cos0 ( 拉拉 ) ( 拉拉 ) mm EA lF l AB ABNAB AB 078. 1 4/012. 010210 210117.18 29 3 AA l AAAA l AA ABAC 45cos 45tan30tan 30cos 有有 mm ll AA ABAC Ay 366. 130tan130tan 45cos30cos 整理得整理得 45 A x y 30 AB l AC l A A 2-5 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷图示为打入土中的

8、混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿 地桩单位长度的摩擦力为地桩单位长度的摩擦力为 f，且，且 f =k y2，式中，式中，k为常数。试求地桩的缩短量为常数。试求地桩的缩短量。已知地桩的。已知地桩的 横截面面积为横截面面积为A，弹性模量为，弹性模量为E，埋入土中的长度为，埋入土中的长度为l。 解：地桩所受外载为轴载，且在解：地桩所受外载为轴载，且在F和摩擦力共同作用下平衡。和摩擦力共同作用下平衡。 0 3 d 3 0 2 F l kFykyF l y 则：则： 轴力方程为：轴力方程为： 3 3 0 d)( l Fy yfyF y N

9、 求地桩的缩短量求地桩的缩短量： EA Fl yy EAl F y EA yF l ll N 4 dd )( 0 3 3 0 2 33 33 y l F f l F k 即：即： y FN ( y ) 2-7 简单托架及其受力如图所示，水平杆简单托架及其受力如图所示，水平杆BC 的长度的长度 l 保持不变，斜杆保持不变，斜杆AB 的长度可随夹角的长度可随夹角 的变化而改变。两等直杆由同一材料制造，且材料的许用拉应力与许用压应力相等。要求的变化而改变。两等直杆由同一材料制造，且材料的许用拉应力与许用压应力相等。要求 两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：（两杆内的应力同时达

10、到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：（1）两杆的夹角）两杆的夹角 值；值； （2）两杆横截面面积的比值）两杆横截面面积的比值 解：求各杆内力及应力解：求各杆内力及应力 sin cos cossin 1 sin cos cossin Fl l FlF lAlAV BCBCABAB 由题义，各杆应力达到许用应力，则：由题义，各杆应力达到许用应力，则： sin cos sin F A F A BCAB 要求结构的总重量为最小即结构总体积最小，其体积为：要求结构的总重量为最小即结构总体积最小，其体积为： (拉拉) sin F FNAB sin ABAB NAB AB A F A F sin co

11、sF FNBC(压压) sin cos BCBC NBC BC A F A F F FNAB FNBC B 0 d d V 令：令：得：得： 445474.542tan 3 cos 1 BC AB A A 则：则： 即：两杆的夹角即：两杆的夹角 值为值为 两杆横截面面积的比值为两杆横截面面积的比值为 4454 3 2-9 图示桁架结构，各杆都由两个相同的等边角钢组成。已知材料的许用应力图示桁架结构，各杆都由两个相同的等边角钢组成。已知材料的许用应力=170MPa， 试选择杆试选择杆AC和和CD的角钢型号。的角钢型号。 解：桁架结构各杆均为二力杆解：桁架结构各杆均为二力杆(拉压杆拉压杆) 22

12、6 3 915 101702 1013.311 2 mmm F A NAC AC 求杆求杆AC和和CD的轴力：的轴力： 求支反力求支反力 FAx FAy FB 00 Axx FF kNFFM BA 220 12 82204220 0)( kNFFM AyB 220 12 82204220 0)( E FAy FNAC FNAE A FNCE FNACFNCD C 由由A点的平衡条件：点的平衡条件： kN F F Ay NAC 13.3112202 45cos ( 拉拉 ) 由由C点的平衡条件：点的平衡条件： kNFF NACNCD 22045cos ( 拉拉 ) 由强度条件：由强度条件： N

13、F A各杆都由两个相同的等边角钢组成各杆都由两个相同的等边角钢组成AA 2 22 6 3 647 101702 10220 2 mmm F A NCD CD 选两根选两根8(806)等边角钢等边角钢 选两根选两根7(705)等边角钢等边角钢 A=687.5mm2 A=939.7 mm2 2-10 已知混凝土的密度已知混凝土的密度=2.25103kg/m3，许用压应力，许用压应力=2MPa。试按强度条件确定图示混。试按强度条件确定图示混 凝土柱所需的横截面面积凝土柱所需的横截面面积 A1 和和 A2。若混凝土的弹性模量。若混凝土的弹性模量E=20GPa，试求柱顶，试求柱顶 A 的位移。的位移。

14、解：混凝土柱各段轴力分别为：解：混凝土柱各段轴力分别为： E gl EA llgAF E gl EA Fl EA xF ll i l i Ni iA 2 )( 2 d 2 2 2 211 2 1 1 1 )( 1211211 lxgAlgAFFxgAFF NN ( 受压受压 )( 2211max211max1 lAlAgFFlgAFF NN 取取A1=0.576m2 由强度条件：由强度条件： max A FN 22 36 3 1 1 576. 0)( 128 . 91025. 2102 101000 mm gl F A 22 36 33 2 11 2 664. 0)( 128 . 91025.

15、 2102 576. 0128 . 91025. 2101000 mm gl lgAF A 取取A1=0.664m2 混凝土柱各段危险截面分别为柱中截面和柱底截面，其轴力分别为：混凝土柱各段危险截面分别为柱中截面和柱底截面，其轴力分别为： x 柱底固定，则柱顶位移值等于柱的伸缩量，可用叠加原理计算柱底固定，则柱顶位移值等于柱的伸缩量，可用叠加原理计算 9 3 9 3 10202 12128 . 91025. 2 576. 01020 12101000 mm242. 2 10202 12128 . 91025. 2 664. 01020 1210)12576. 08 . 925. 21000(

16、9 3 9 3 2-12 图示接头，由两块钢板用四个直径相同的钢铆钉连接而成。已知载荷图示接头，由两块钢板用四个直径相同的钢铆钉连接而成。已知载荷F=80kN，板宽，板宽 b=80mm，板厚，板厚=10mm，铆钉直径，铆钉直径 d =16mm，许用切应力，许用切应力 =100MPa，许用挤压应力，许用挤压应力 bs=300MPa,许用拉应力许用拉应力=170MPa 。试校核接头的强度。试校核接头的强度。(提示：设每个铆钉受力相同提示：设每个铆钉受力相同) 解：剪切强度计算：外力过截面组中心，每个铆钉受解：剪切强度计算：外力过截面组中心，每个铆钉受 力相同力相同 125 10)1680( 108

17、0 )( 3 2 2 22 MPa db F A FN 综上，接头满足强度要求综上，接头满足强度要求 kN F Fs20 4 拉伸强度计算：可能的危险截面为拉伸强度计算：可能的危险截面为1-1 和和2-2 截面截面 5 .99 16 102044 2 3 2 MPa d F A F ss 挤压强度计算：铆钉与钢板材料相同，挤压面为圆柱面挤压强度计算：铆钉与钢板材料相同，挤压面为圆柱面 125 1016 10204/ 3 bs bs b bs MPa d F A F 1 12 2 125 10)16280(4 10803 )2( 4/3 3 1 1 11 MPa db F A FN 2-13 图

18、示圆截面杆件，承受轴向拉力图示圆截面杆件，承受轴向拉力 F 作用。设拉杆的直径为作用。设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为，端部墩头的直径为D，高度，高度 为为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力=120MPa ，许用切应力，许用切应力 =90MPa ，许用挤压应力，许用挤压应力 bs=240MPa 。 解：可能发生的破坏为墩头的剪切和挤压破坏、杆件的拉伸破坏，解：可能发生的破坏为墩头的剪切和挤压破坏、杆件的拉伸破坏， 合理的尺寸应使剪切面上的切应力、最大挤压应力和杆件横截面上合理的尺寸应使剪切面上的切应力、最大挤压应力和

19、杆件横截面上 拉应力之间的比值等于相应的许用应力之间的比值，即：拉应力之间的比值等于相应的许用应力之间的比值，即： 4/ ) 1/(4/ )( 22222 dDd F dD F A F bs b bs dh F A Fs 则有：则有： 4/ 2 d F A FN 4:8:3120:240:90 : : : bsbs 其中：其中： 34 3 4 d h h d ddD d D bs 225. 1 2 6 2 1 1 2 1:333. 0:225. 1:dhD 即：即： 2-14 刚性梁用两根钢杆和悬挂着，受铅垂力刚性梁用两根钢杆和悬挂着，受铅垂力F=100kN作用。已知钢杆作用。已知钢杆AC 和

20、和BD 的直径分别为的直径分别为 d1 =25mm 和和 d2=18mm ，钢的许用应力，钢的许用应力=170MPa，弹性模量，弹性模量E=210GPa。 (1) 试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 lAC， lBD及及 A，B 两点的竖直位移两点的竖直位移A， B 。 (2) 若荷载若荷载F=100kN作用于作用于A点处，试求点处，试求F点的竖直位移点的竖直位移F 。(结果表明，结果表明， F = A ，事实上这，事实上这 是线性弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。是线性弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。) 解解：(1)以以AB杆为对象：杆为对

21、象： 各杆满足强度要求各杆满足强度要求 135 253 101008 2 3 1 MPaMPa A FNAC AC FFFM NBDA 3 1 0)( FFFM NACB 3 2 0)( 4/ 3/2 2 11 dE Fl EA F l ACNAC ACA mmm62. 1 1025102103 5 . 2101008 629 3 4/ 3/1 2 22 dE Fl EA F l BDNBD BDB mmm56. 1 1018102103 5 . 2101004 629 3 131 183 101004 2 3 2 MPaMPa A FNBD BD A B 由变形图，可知：由变形图，可知： 2

22、-14 刚性梁用两根钢杆和悬挂着，受铅垂力刚性梁用两根钢杆和悬挂着，受铅垂力F=100kN作用。已知钢杆作用。已知钢杆AC 和和BD 的直径分别为的直径分别为 d1 =25mm 和和 d2=18mm ，钢的许用应力，钢的许用应力=170MPa，弹性模量，弹性模量E=210GPa。 (1) 试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 lAC， lBD及及 A，B 两点的竖直位移两点的竖直位移A， B 。 (2) 若荷载若荷载F=100kN作用于作用于A点处，试求点处，试求F点的竖直位移点的竖直位移F 。(结果表明，结果表明， F = A ，事实上这，事实上这 是线性弹性

23、体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。是线性弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。) 解解：(2)以以AB杆为对象：杆为对象： 00)( NBDA FFM FFFM NACB 0)( mm dE Fl EA F l ACNAC ACAF 62. 1 4/3 2 3 2 3 2 3 2 2 11 A 由变形图，可知：由变形图，可知： F F 2-17 图示钢杆图示钢杆,横截面面积横截面面积A=2500mm2,弹性模量弹性模量E=210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数 l=12.510-6 C-1 ， 轴向载荷轴向载荷F=200kN，温度升高，温度升高40C。试在下列两种情况下确定杆端的支反力和

24、杆的最大应力：。试在下列两种情况下确定杆端的支反力和杆的最大应力： | max |（1）间隙）间隙=2.1mm；（；（2）间隙）间隙=1.2mm 。 解：当杆在轴载解：当杆在轴载 F 和温升同时作用下的伸长小于间隙和温升同时作用下的伸长小于间隙 时属于静定问题，否则杆将与时属于静定问题，否则杆将与B端接触成为超静定问题。端接触成为超静定问题。 由题义，有：由题义，有： lT EA lF l l iNi (1) 间隙间隙=2.1mm：0)(200 BC FkNFF则有：则有： l mm0714. 23000105 .1240 250010210 150010200 6 3 3 FB FC MPa

25、 A F 80 2500 10200 3 max (左段各截面左段各截面) (2) 间隙间隙=1.2mm：l杆将与杆将与B端接触成为超静定问题端接触成为超静定问题 则有：则有： ABCB lFFF有：有： BCNBN FFFFFF lT EA Fl EA lF lT EA lF EA lF l l B l NN AB )(5 .152)( 3000 250010210 )2 . 10714. 2( 3 kNNFB)(5 .47kNFFF BC 得得: MPa A FB 61 2500 105 .152 3 max (右段各截面右段各截面) 2-18 图示刚性梁受均布载荷作用，梁在图示刚性梁受均

26、布载荷作用，梁在A 端铰支，在端铰支，在B点点C和点由两根钢杆和点由两根钢杆BD和和CE支承。已支承。已 知钢杆知钢杆BD和和CE的横截面面积的横截面面积A2=200mm2和和A1=400mm2 ；钢的许用应力；钢的许用应力=160MPa ，考虑到，考虑到 压杆的稳定性，许用压应力压杆的稳定性，许用压应力c=100MPa 。试校核钢杆的强度。试校核钢杆的强度。 解：一次超静定问题，以解：一次超静定问题，以AB为对象，有：为对象，有： 1 112 1 11 2 22 6 5 4 3 8 . 1 2 3 NNN NN FFF EA lF EA lF 即：即： 03 2 330 0)( 21 2 N

27、NA FFFM 221112 3ll FN1 FN2 30kN/m AB C 2 则有：则有：( 压压 )kNFN57.38 7 330 2 1 kNFN14.32 2 ( 拉拉 ) CE杆的强度杆的强度 4 .96 400 1057.38 3 1 1 c N c MPa A F BD杆的强度杆的强度 05. 17 .160 200 1014.32 3 2 2 MPa A FN 各杆满足强度要求。各杆满足强度要求。 2-19一种制作预应力钢筋混凝土的方式如图所示。首先用千斤顶以拉力一种制作预应力钢筋混凝土的方式如图所示。首先用千斤顶以拉力F 拉伸钢筋拉伸钢筋(图图a)，然，然 后浇注混凝土后浇

28、注混凝土(图图b)。待混凝土凝固后，卸除拉力。待混凝土凝固后，卸除拉力F(图图c)，这时，混凝土受压，钢筋受拉，形，这时，混凝土受压，钢筋受拉，形 成预应力钢筋混凝土。设拉力使钢筋横截面上产生的初应力成预应力钢筋混凝土。设拉力使钢筋横截面上产生的初应力0=820MPa ，钢筋与混凝土的弹，钢筋与混凝土的弹 性模量之比为性模量之比为 8:1、横截面面积之比为、横截面面积之比为 1:30，试求钢筋与混凝土横截面上的预应力，试求钢筋与混凝土横截面上的预应力 解：由题义钢筋原始长度比混凝土短解：由题义钢筋原始长度比混凝土短 ,且有：且有： MPa A FN t 4 .647820 19 15 19 1

29、5 0 1 1 钢筋横截面上钢筋横截面上 预应力预应力(拉拉)为：为： 0 122 11 1 15 19 )1 ( A F AE AE A F NN l E l 1 0 0 混凝土凝固卸除拉力后，钢筋和混凝土所受轴力大小相等，混凝土凝固卸除拉力后，钢筋和混凝土所受轴力大小相等， 钢筋受拉，混凝土受压，且：钢筋受拉，混凝土受压，且： )(2)(1ct ll 即：即： 1 0 2211 E l AE lF AE lF NN MPa A F A F tNN c 6 .21 3030 1 12 2 混凝土横截面混凝土横截面 上预应力上预应力(压压)为：为： 3-1 试作图示各轴的扭矩图试作图示各轴的扭

30、矩图(单位单位: kNm)。 2 - + 2 T : 1 - + 2 T : + T : - 0.5 1 1 2 + T : moa 3-2圆轴的直径圆轴的直径d=100mm，承受扭矩，承受扭矩T=100kNm，试求距圆心，试求距圆心 d/8、d/4及及d/2处的切应力，并绘处的切应力，并绘 出横截面上切应力的分布图。出横截面上切应力的分布图。 解解：由扭转切应力公式：由扭转切应力公式： MPa d d Td I T p d 127 1 . 08 1010032 8 32 8 3 3 4 8/ d T MPa d d Td I T p d 255 1 . 04 1010032 4 32 4 3

31、 3 4 4/ MPa d T W T p d 509 1 . 0 101001616 3 3 3 max2/ 横截面上切应力的分布如图横截面上切应力的分布如图 3-11 图示阶梯形圆轴，装有三个皮带轮，轴径图示阶梯形圆轴，装有三个皮带轮，轴径d1=40mm、d2=70mm。已知由轮。已知由轮3输入的功率输入的功率 P3=30kW，由轮，由轮1和轮和轮2输出的功率分别为输出的功率分别为P1=13kW 和和P2=17kW，轴的转速，轴的转速n=200r/min，材料，材料 的许用切应力的许用切应力=60MPa，切变模量，切变模量G=80GPa，许用扭转角，许用扭转角 =2/m，试校核该轴的强度与

32、，试校核该轴的强度与 刚度。刚度。 解解：计算扭力矩：计算扭力矩： /77. 1 04. 01080 1807 .62032180 49 max m GI T pAC AC Nm n P M7 .620 200 13 95499549 1 1 4 . 49 04. 0 167 .620 3 1max MPa W T pAC AC 作扭矩图，危险截面在作扭矩图，危险截面在 AC 段或段或 DB 段：段： Nm n P M7 .811 200 17 95499549 2 2 Nm n P M4 .1432 200 30 95499549 3 3 - 620.7 1432.4 T: (Nm) 3 .

33、21 07. 0 164 .1432 3 2max MPa W T pDB DB 该轴满足强度与刚度要求该轴满足强度与刚度要求 3-13 已知钻探机钻杆的外径已知钻探机钻杆的外径D=60mm，内径，内径d=50mm，功率，功率P=7.35kW，转速，转速n=180r/min，钻，钻 杆入土深度杆入土深度l=40m，材料的，材料的G=80GPa， =40MPa。假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布，。假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布， 试求：（试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩；（）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3

34、）A、B两截面的相对扭转角。两截面的相对扭转角。 解解：求扭力矩：求扭力矩 NmM9 .389 180 35. 7 9549 0 76.17 )6/5(1 06. 0 9 .38916 43 max max MPa W T p mNm l M mMlm/75. 9 40 9 .389 0 000 （1）设阻力矩分布集度为）设阻力矩分布集度为 m0，由钻杆的平衡条件：，由钻杆的平衡条件：- 389.9 T：(Nm) （2）作扭矩图，危险截面为）作扭矩图，危险截面为 A 截面：截面： x （3）如图取坐标系，有：）如图取坐标系，有： xmxT 0 )( pp l p l p AB GI lM GI

35、 lm xx GI m x GI xT 22 dd )( 0 2 0 0 0 0 48. 8148. 0 )6/5(1 06. 010802 409 .38932 449 弧度 3-16 如图所示，将空心圆杆（管）如图所示，将空心圆杆（管）A套在实心圆杆套在实心圆杆B的一端。两杆在同一横截面处有一直径相的一端。两杆在同一横截面处有一直径相 同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一角，现在杆角，现在杆B上施加扭力偶使之扭转，将杆上施加扭力偶使之扭转，将杆A和和B的两的两 孔对齐，装上销钉后卸去所施加的扭力偶。试问两杆横截面上的扭矩为多大？已知两杆的极孔对齐，装上销钉后卸去

36、所施加的扭力偶。试问两杆横截面上的扭矩为多大？已知两杆的极 惯性矩分别为惯性矩分别为 IpA和和 IpB，且材料相同，切变模量为，且材料相同，切变模量为G。 解解：一次超静定：一次超静定： TTT BA BA BpAApB pBpA BA pB B pA A lIlI IGI TTT GI Tl GI Tl 由平衡条件：由平衡条件： 由变形协调条件：由变形协调条件： 4-1 求图示各梁指定截面求图示各梁指定截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。这些截面分别是梁上上的剪力和弯矩。这些截面分别是梁上A、B或或C点的点的 紧邻截面。紧邻截面。 解解：求支反力：求支反力： 9 7 1 ql FF

37、Ays 9 7ql FAy 2 1 qlM 由截面法由截面法： FAy 9 7 2 ql FF Ays 9 7 3 ql FF Ays 22 2 27 20 3 ql l FqlM Ay 22 3 27 20 3 ql l FqlM Ay 2 )3( 2 )(xa q xM 4-2 列出图示各梁的剪力和弯矩方程，并绘其剪力图和弯矩图，并确定列出图示各梁的剪力和弯矩方程，并绘其剪力图和弯矩图，并确定| FS |max，| M |max 及其及其 所在截面的位置。所在截面的位置。 解解：如图建立坐标系：如图建立坐标系： 4 5 4 qa F qa F ByAy ax20 4 )( qa FxF A

38、ys x FAy A B FBy x qa xFxM Ay 4 )( axa32 )3()(xaqxFs 2 2 maxmax qa MqaFs qa qa/4 - + FS : qa2/2 - M : 最大剪力在最大剪力在 B 支座右侧截面，最大弯矩在支座右侧截面，最大弯矩在 B 截面。截面。 4-3 利用微分关系，快速画出图示各梁的剪力图和弯矩图。利用微分关系，快速画出图示各梁的剪力图和弯矩图。 + qa Fs : qa2 qa2/2 + M : - + 5qa/4 3qa/4 qa/4 Fs : + - 9qa2/ 32 qa2/ 4 qa2 M : 15 - - + 10 5 Fs :

39、 ( kN ) - 20 40 10 1.25 M : ( kNm ) 4-4 画图示带有中间绞各梁的剪力图和弯矩图。（提示：在中间绞处拆开求其作用力）。画图示带有中间绞各梁的剪力图和弯矩图。（提示：在中间绞处拆开求其作用力）。 解解：求支反力：求支反力： 2 3 2 qa F qa F BD 作内力图作内力图 + - qa qa/2 Fs : + - qa2 / 2 qa2 / 2 M : FD FB 4-7 若已知图示各简支梁的剪力图，且梁上均无集中力偶作用，试画各梁的弯矩图和载荷图。若已知图示各简支梁的剪力图，且梁上均无集中力偶作用，试画各梁的弯矩图和载荷图。 解解： + M : qq

40、q qa2 qa2/2qa2/2 4-8 梁的正方形截面若处于图示二种不同位置时，试求它们的弯矩之比。设两者的最大弯曲梁的正方形截面若处于图示二种不同位置时，试求它们的弯矩之比。设两者的最大弯曲 正应力相等。正应力相等。 解解：求各截面的抗弯截面模量：求各截面的抗弯截面模量： 612 34 h W h I zaza 2 12/2 6/ 3 3 h h W W M M zb za b a zb b b za a a W M W M maxmax 由弯曲正应力公式：由弯曲正应力公式： 12 2 2/212 34 h h I W h I zb zbzb 由题义：由题义： maxmax ba zb b

41、 za a W M W M 即即 得得 4-10 图示圆截面梁，外伸部分为空心管，试作其弯矩图，并求其最大弯曲正应力。图示圆截面梁，外伸部分为空心管，试作其弯矩图，并求其最大弯曲正应力。 解解：作弯矩图作弯矩图 kNFAy357. 3 14 47 32/ 3 1max 1 1max 1max D M W M z 由弯矩图，可能的危险截面为由弯矩图，可能的危险截面为5kN 集中力集中力 作用处截面和作用处截面和B支座右侧截面：支座右侧截面： FAyFBy AB kNFBy643. 7 14 107 0.9 1.343 0.029 M : ( kNm ) - + MPaPa3 .63 06. 0

42、10343. 132 3 3 32/ )1 ( 43 2max 2 2max 2max D M W M z MPaPa1 .62 60/451 06. 0 109 . 032 4 3 3 MPa3 .63),max( 2max1maxmax 4-12 图示为铸铁水平梁的横截面，若其许用拉伸应力图示为铸铁水平梁的横截面，若其许用拉伸应力 t =20MPa，许用压缩应力，许用压缩应力 c=80MPa ，试求该截面可承受的最大正弯矩之值。，试求该截面可承受的最大正弯矩之值。 解解：如图取坐标系，求形心主轴：如图取坐标系，求形心主轴(中性轴中性轴)位置位置 mm A S yy z c 83.70 50

43、75100150 5 .87507575100150 1 2 3 )83.7075(100150 12 150100 z I )(854.25)( 1017.79 5859.2580 3 2 2max kNmNm y I My I M zc c z c 求截面对中性轴的惯性矩求截面对中性轴的惯性矩 y z z0 y1=yc y2 mmy17.7983.70150 2 462 3 105859.25)83.705 .87(5075 12 7550 m 正弯矩作用下截面上边缘有最大压应力，上边缘有最大拉应力：正弯矩作用下截面上边缘有最大压应力，上边缘有最大拉应力： )(225. 7)( 1083.

44、70 5859.2520 3 1 1max kNmNm y I My I M zt t z t )(225. 7)225. 7 ,854.25min(kNmM 4-15求图示梁中隔离体（图中阴影部分）各个面上的正应力和切应力的合力。求图示梁中隔离体（图中阴影部分）各个面上的正应力和切应力的合力。 解解：左侧面：左侧面： kNmMkNFs4840 0 F )(10 3 . 02 . 02 05. 02 . 010403 2 3 3* max kNxb A F x I SF xfF s z zs 右侧面右侧面： )(20 2 kN F F s )(240 3 . 02 . 04 3 . 02 .

45、010486 22 1 2 3 kN W Mh bF z kNmMkNFs5040 )(20 2 kN F F s )(250 3 . 02 . 04 3 . 02 . 010506 22 1 2 3 kN W Mh bF z 上侧面上侧面(中性层中性层)： 下侧面及前后侧面下侧面及前后侧面(自由表面自由表面)： 00 FF 4-18图示悬臂梁由三块图示悬臂梁由三块50mm100mm的木板胶合而成，在其自由端作用有横力的木板胶合而成，在其自由端作用有横力F。若已知木材。若已知木材 的的 =10MPa、 = 1MPa ，胶合缝上的，胶合缝上的 1 = 0.35MPa ，梁长，梁长l =1m，试求

46、许可载荷，试求许可载荷F。 解解：危险截面为固定端处：危险截面为固定端处： max max zz W Fl W M FFFlM s maxmax kNN l W F z 75. 3 6 15. 01 . 01010 26 由正应力强度条件：由正应力强度条件： 由切应力强度条件：由切应力强度条件： 2 3 2 3 max max A F A Fs kNN A F10 3 1 . 015. 0102 3 2 6 由胶合缝上切应力强度条件：由胶合缝上切应力强度条件： 1 * max 1 bI FS bI SF z z z zs kNN S bI F z z 94. 3 05. 01 . 005. 0

47、12 1 . 015. 01 . 01035. 0 36 * 1 kNF75. 3)94. 3,10,75. 3min( 4-20 当横力当横力F直接作用在图示简支梁直接作用在图示简支梁AB的中点时，梁内最大正应力超标的中点时，梁内最大正应力超标30%，为了安全，在，为了安全，在 其中部配置图示辅助简支梁其中部配置图示辅助简支梁CD，试求其最小长度，试求其最小长度a。 解解：横力直接作用梁跨中和配置辅助梁后主梁内最大横力直接作用梁跨中和配置辅助梁后主梁内最大 弯矩分别为弯矩分别为: 4 )( 4 1max0max alF M Fl M m l a39. 1 3 . 1 63 . 0 3 . 1

48、 3 . 0 3 . 1 1max 0max 1max 0max al l M M 由题义：由题义： 即：即： 5-2 试用积分求图示各梁的挠度和转角方程，并计算各梁截面试用积分求图示各梁的挠度和转角方程，并计算各梁截面A的挠度与转角。已知各梁的的挠度与转角。已知各梁的EI 为常量。为常量。 解解：取坐标系求弯矩方程取坐标系求弯矩方程(分段函数分段函数) ) 2 0( 22 3 8 9 )( 22 l x qxqlxql xM ) 2 0( l x 分别作两次积分：分别作两次积分： x x y ) 2 ( 2 )2/( 22 3 8 9 )( 222 lx llxqqxqlxql xM 1 3

49、2 2 1 64 3 8 9 )(Cx q x ql x ql xEI ) 2 (lx l 1 332 2 2 )2/( 664 3 8 9 )(Dlx q x q x ql x ql xEI 21 432 2 1 24416 9 )(CxCx q x ql x ql xEIy 21 4432 2 2 )2/( 2424416 9 )(DxDlx q x q x ql x ql xEIy 边界条件：边界条件：)2/()2/()2/()2/(0)0(0)0( 121211 lllylyy 5-2 试用积分求图示各梁的挠度和转角方程，并计算各梁截面试用积分求图示各梁的挠度和转角方程，并计算各梁截面

50、A的挠度与转角。已知各梁的的挠度与转角。已知各梁的EI 为常量。为常量。 ) 2 0( l x 由边界条件：由边界条件： x x y 0 11 CD )41827( 24 )( 22 1 xlxl EI qx x ) 2 (lx l )2448( 48 )( 22 2 xlxl EI ql x )21227( 48 )( 22 2 1 xlxl EI qx xy )641928( 384 )( 3223 2 xlxxll EI ql xy 则有：则有： 0 22 CD )( 48 25 )()( 128 45 )( 3 2 4 2 EI ql l EI ql lyy AA 5-3 用叠加法求图

51、示各梁指定截面处的挠度与转角，用叠加法求图示各梁指定截面处的挠度与转角，(a)求求 yC 、 C ；(b)求求yC 、 A 、 B 。 解解：(a)将将AB段视为刚化，相当于固定端段视为刚化，相当于固定端 EI ql EI aql ay BCBC 2424 3 22 3 22 EI aql EI aM C 2 0 1 EI aql EI aM yC 22 222 0 1 将将 BC 段视为刚化，段视为刚化，AB 梁相当于受均布载荷和一梁相当于受均布载荷和一 端集中力偶同时作用的简支梁，分别计算端集中力偶同时作用的简支梁，分别计算 q (1) ql2 ql2 (2) (3) EI ql EI a

52、ql EI laM ay BCBC 333 3 33 3 0 33 )( 24 )127( 3242 23322 221 EI alaql EI aql EI aql EI aql yyyy CCCC )( 24 )247( 324 2332 221 EI alql EI ql EI ql EI aql CCCC 5-3 用叠加法求图示各梁指定截面处的挠度与转角，用叠加法求图示各梁指定截面处的挠度与转角，(a)求求 yC 、 C ；(b)求求yC 、 A 、 B 。 解解：(b)分别计算各力单独作用时位移，然后叠加分别计算各力单独作用时位移，然后叠加 EI Fl EI lM yCM 1616 32 0 EI Fl EI Fl EI Fl y BFAFCF 161648 223 EI Fl EI lM EI Fl EI lM BMAM 66