平行线被折线所截问题

1、平行线被折线所截问题的研究石笋中学 胡艳【案例背景】本人曾在初中拓展课的课堂使用，也可在数学兴趣班的教学中使用.【预备知识】平行线的性质【研究目标】1.掌握平行线的性质2.运用化归思想启发学生构造一条平行线.3.通过问题的研究，引起学生研究几何图形的兴趣，提高识图能力和说理能力.4.在操作、观察、思考、讨论等一系列学习活动中，感悟探索几何图形性质的基本思维过程.【问题提出】两条平行线被第三条直线所截，得到同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.将第三条夹在平行线间的线段改为折线，这时会出现一系列的角，那么这些角的大小之间有什么关系？【研究过程】一、对折线凹凸问题的探究探索1已知：ab/cd（如图

2、1），折线是夹在ab与cd之间的一条折线，猜想、大小之间有什么关系？为什么？初看这三个角似乎没有什么关系，建立它们的关系是关键.首先可以通过观察、操作、测量、讨论等一系列的学习活动，猜想这三个角之间的关系，大概得出.但如何证明猜想的正确性呢？图1要立足“两条平行线被第三条直线所截”这一理念，启发学生添加辅助线.学生可能想到构造一条截线，于是延长ap1（或延长cp1、或联结ac等）；或者把图中的ap、ba作为截线，但这样就缺少平行线.于是过点p作平行线.解：过点p1作（如图2）图2 解决这一问题的经验与方法，是继续探究的基础，要让学生充分体验.探索2探索1中，折线只有一个折，如果增加一个折，如图

3、3，猜想、之间有什么关系？为什么？把探索1的探究过程迁移，过点p1、p2分别作ab/p1e1,ab/p2e2，可推导出(如图4)探究3：（如图5）、猜想之间有什么关系？把探索1、探索2的探究过程迁移，可推导出.探究4：（如图6）猜想、大小之间有什么关系？探索4是把具体的对1个折、2个折、3个折的研究，发展到对n个折的探索，是从特殊到一般的过程，分析过程如下表：折数各角之间的关系123n结论方向朝左的角的和等于方向朝右的角的和图5图6图3图4二.对折线凸出问题的探究探索1:已知：ab/cd（如图7），折线是夹在ab与cd之间的一条折线，猜想、大小之间有什么关系？为什么？图7由于有了前面探究知识的

4、铺垫，学生很容易就会想到添加辅助线的方法.解：过点p1作（如图2）图8在探索1中，折线只有一个折，折线右侧出现了3个角.如果再增加一个折，那么折线右侧会出现几个角？这几个角之间有什么关系呢？探索2：已知ab/cd，（如图9）猜想、之间有什么关系？并说明理由.把探索1的探究过程迁移，过点p1、p2分别作ab/p1e1,ab/p2e2，可推导出（如图10）探究3：（如图11）猜想、之间有什么关系？把探索1、探索2的探究过程迁移，可推导出.探究4：猜想、之间有什么关系？探索4是把是把具体的对1个折、2个折、3个折的研究，发展到对n个折的探索，是从特殊到一般的过程，分析过程如下表：折点折线右侧出现的角

5、的个数各角之间的关系结果的构成132180=360243180=540354180=720nn+2（n+1）180n为大于或等于1的整数结论折线右侧的各角之和等于折数与1的和乘以180.图12图11图10图9三、对折线凹进问题的探究图13探究1如图13：已知ab/cd，猜想、和之间的关系.并说明理由.对探究1的研究延续上面已经得到的结论，探究2如图14：已知ab/cd，猜想、之间的关系.并说明理由.解：过点p1、p2分别作ab/p1e1,ab/p2e2.如图15图17图16图15图14折线向右凹进2折，折线左右两侧各出现2个角，折线左侧两角和减去右侧两角和等于180，根据这一思路，继续探究：探

6、究3如图16，、之猜想之间的关系.并说明理由.把探索1、探索2的探究过程迁移，可推导出.探究4：如图17，猜想、之间的关系.并说明理由.探索4是把具体的对凹进1个折、2个折、3个折的研究，发展到对凹进n个折的探索，是从特殊到一般的过程，分析过程如下表：折点折线左侧出现角数折线右侧出现角数各角之间的关系结果的构成1120180=02221180=1803322180=360nn2（n-1）180n为大于或等于1的整数结论折线左侧各角的和减去折线右侧的各角的差等于折数与1的差乘以180.【相关研究】折线位置变化问题的探究（1）已知ab/cd，猜想、和之间的关系.并说明理由.（图18）（2）已知ab/cd，猜想、