金属塑性成形原理第六章主应力法

1、1 第六章第六章 主应力法及其应用（切块法）主应力法及其应用（切块法） 研究研究不同形状不同形状和性能的坯料，在和性能的坯料，在不同的工不同的工 模具模具和不同的外力作用下发生塑性变形时的和不同的外力作用下发生塑性变形时的 应力、应变和流动状态，是塑性成形理论的应力、应变和流动状态，是塑性成形理论的 根本任务之一。根本任务之一。 知道了坯料塑性变形时的应力状态，即知道了坯料塑性变形时的应力状态，即 可计算出可计算出变形力和功能消耗变形力和功能消耗。 第一节第一节 概概 述述 2 变形力：变形力：在塑性加工过程中，工具通过与坯料的在塑性加工过程中，工具通过与坯料的 接触面，对坯料施加作用力，当此

2、作用力达到一定值接触面，对坯料施加作用力，当此作用力达到一定值 时，坯料发生塑性变形，此时，工具作用在时，坯料发生塑性变形，此时，工具作用在坯料上坯料上的的 作用力称为作用力称为变形力变形力。 变形力变形力 3 确定变形力的目的：确定变形力的目的： 可分析变形规律，确定成形极限；可分析变形规律，确定成形极限； 合理设计模具；合理设计模具； 选择锻压设备；选择锻压设备； 制订工艺规程，变形力和变形功是不可缺少的数据制订工艺规程，变形力和变形功是不可缺少的数据. . 因此，确定变形力、变形功是塑性加工过程力学分析的因此，确定变形力、变形功是塑性加工过程力学分析的基本任基本任 务之一务之一。 4 在

3、塑性状态下，求解物体内应力的大小与分布要比在在塑性状态下，求解物体内应力的大小与分布要比在 弹性状态下困难得多，这主要是因为塑性应力弹性状态下困难得多，这主要是因为塑性应力应变关系应变关系 方程是非线性的。从理论上讲，联解平衡徽分方程和屈服方程是非线性的。从理论上讲，联解平衡徽分方程和屈服 准则，需要补充必要的物理方程和几何方程，在一定的边准则，需要补充必要的物理方程和几何方程，在一定的边 界条件下可以求得变形体内的应力大小及分布。进而求得界条件下可以求得变形体内的应力大小及分布。进而求得 变形力。但是这种数学解析只在某些特殊的情况下才能解变形力。但是这种数学解析只在某些特殊的情况下才能解 ，

4、而对于一般空间问题，数学上极其困难，甚至不可能解，而对于一般空间问题，数学上极其困难，甚至不可能解 。 5 方程数：方程数： 3 3个平衡微分方程个平衡微分方程 1 1个塑性条件方程个塑性条件方程 6 6个应力个应力应变关系方程应变关系方程 3 3个变形连续方程（协调方程）个变形连续方程（协调方程） 共共1313个个 ，且为高阶偏微分方程。，且为高阶偏微分方程。 未知数：未知数：x x、y y、z z、xy xy、 、yz yz、 、zx zx、 、x x、y y、 z z、xy xy、 、yz yz、 、zx zx、 、1313个。个。 虽然未知数和方程数相等，但实际上这十三个联立方虽然未知

5、数和方程数相等，但实际上这十三个联立方 程是无法解的，需要将问题进一步简化。程是无法解的，需要将问题进一步简化。 金 属 塑 性 成 形 原 理 第 六 章 主 应 力 法 1 1、空间问题：、空间问题： 6 方程数：方程数： 2 2个微分平衡个微分平衡 1 1个塑性条件个塑性条件 4 4个应力个应力应变关系应变关系 2 2个变形连续方程。共个变形连续方程。共9 9个个 未知数：未知数： 、 、 、 、z z、z z、 、 、 、 、 、z z、z z、 、99个。个。 2 2、轴对称问题：、轴对称问题： 可见，轴对称问题比一般的空间问题简单，但只有在个别情可见，轴对称问题比一般的空间问题简单

6、，但只有在个别情 况下，当边界剪应力为零或只与一个坐标轴有关才有精确的解。况下，当边界剪应力为零或只与一个坐标轴有关才有精确的解。 7 因此，许多学者在塑性理论的基础上，引进了各种简因此，许多学者在塑性理论的基础上，引进了各种简 化假设，提出了许多求解塑性问题的近似解析方法。化假设，提出了许多求解塑性问题的近似解析方法。 这种简化的计算方法，我们称初等解析法，也称主应力法这种简化的计算方法，我们称初等解析法，也称主应力法 。主要用于程上。主要用于程上 。 属于静定问题，理论上可解。但这类也总是只有在部分条件下属于静定问题，理论上可解。但这类也总是只有在部分条件下 ，即边界剪应力条件特殊时，（等

7、于，即边界剪应力条件特殊时，（等于0 0，或或只与一个坐标轴有关时只与一个坐标轴有关时 ）才有精确的解。）才有精确的解。 方程数：方程数：2 2个微分平衡，个微分平衡，1 1个塑性条件共个塑性条件共3 3个。个。 未知数：未知数：x x、y y、z z、xy xy 3 3个个 3 3、平面问题：、平面问题： 8 一主应力法的实质一主应力法的实质 第二节第二节 主应力法的基本原理（切块法）主应力法的基本原理（切块法） 主应力法又称切块法主应力法又称切块法，是塑性成形中求解，是塑性成形中求解变形力变形力的一的一 种种近似解法近似解法。它通过对应力状态作一些近似假设，建。它通过对应力状态作一些近似假

8、设，建 立以立以主应力表示的主应力表示的简化平衡方程简化平衡方程和和塑性条件塑性条件，使求解，使求解 过程大大简化。过程大大简化。 主应力法属于一种初等解析法，仍然是利用平衡方程主应力法属于一种初等解析法，仍然是利用平衡方程 与塑性条件联解采取了一些简化条件。与塑性条件联解采取了一些简化条件。 9 根据实际变形区情况，将复杂根据实际变形区情况，将复杂 问题近似地按问题近似地按轴对称问题轴对称问题或或平面问平面问 题来处理，并选用相应的坐标系。题来处理，并选用相应的坐标系。 对于变形复杂的过程。对于变形复杂的过程。 如模锻，如模锻， 可以分成若干部分可以分成若干部分，每一部分分别，每一部分分别

9、按按平面问题平面问题或或轴对称问题处理轴对称问题处理，最，最 后组合在一起，得到整个问题的解后组合在一起，得到整个问题的解 。 （1 1）将复杂变形体简化成）将复杂变形体简化成 平面应变问题平面应变问题或轴对称问题或轴对称问题 二、主应力法要点（假设）二、主应力法要点（假设） 切块法切块法 10 （2 2）假设变形体内的某一方向法向应力分布与一个坐标）假设变形体内的某一方向法向应力分布与一个坐标 轴无关。轴无关。 根据某瞬时变形体的根据某瞬时变形体的变形趋向变形趋向， 截取包括接触平面在内的典型基元截取包括接触平面在内的典型基元 块，在块，在接触面上接触面上有有正应力正应力和和切应力切应力 （

10、摩擦力），（摩擦力），且假设在其他截面（且假设在其他截面（ 非接触面非接触面）上仅有均布的正应力即）上仅有均布的正应力即 主应力主应力。 这样处理的结果使平衡方程缩减这样处理的结果使平衡方程缩减 至一个，而且由偏微分方程变为常至一个，而且由偏微分方程变为常 微分方程。该微分方程。该平衡方程平衡方程可以通过基可以通过基 元块的静力平衡条件得到。元块的静力平衡条件得到。 11 建立塑性条件时，假设建立塑性条件时，假设非主应力为主应力非主应力为主应力，通常把接，通常把接 触面上的正应力假设为主应力，即忽略了摩擦切应力的影触面上的正应力假设为主应力，即忽略了摩擦切应力的影 响。这样，就使塑性条件简化为

11、线性方程，这就是所谓近响。这样，就使塑性条件简化为线性方程，这就是所谓近 似屈服准则。似屈服准则。 对于对于平面应变平面应变问题，塑性条件问题，塑性条件: : 2 2 2 44)(K xyyx 可简化为可简化为x x-y y = =s s=2K =2K （3 3）采用近似的屈服准则）采用近似的屈服准则 12 例如以上分析中，我们可以假设例如以上分析中，我们可以假设x x、y y为主应力为主应力1 1 、3 3 。 这时不考虑剪应力这时不考虑剪应力的影响。这就是塑性条件由原来的影响。这就是塑性条件由原来 的非线性化。如果的非线性化。如果非常非常大时。误差结果也就较大。大时。误差结果也就较大。 将

12、上述的将上述的平衡方程平衡方程与近与近 似似屈服准则屈服准则联解，以求接触联解，以求接触 面上的面上的应力分布应力分布，这就是主，这就是主 应力法。应力法。 由于该方法需要截取基元由于该方法需要截取基元 块，又形象地称为块，又形象地称为切块法。切块法。 13 金 属 塑 性 成 形 原 理 第 六 章 主 应 力 法 二、二、几种金属流动类型几种金属流动类型变形力公式变形力公式的推导的推导 下面我们要用主应力方法来推导几种类型的变形的公式：下面我们要用主应力方法来推导几种类型的变形的公式： 平面应变：平面应变： 镦粗镦粗 挤压挤压 轴对称问题：轴对称问题： 镦粗镦粗 挤压挤压 14 （一）平面

13、应变的（一）平面应变的横向横向流动（镦粗型）流动（镦粗型） 0 x F 02)(dxllhlhd xx 02dxhd x 0 2 hdx d x (1)(1) 平衡微分方程平衡微分方程 长矩形板镦粗时的变形力和单位流动压力，因长矩形板镦粗时的变形力和单位流动压力，因l lh h，x xe e， 故故l l方向变形为方向变形为0 0，因此可视为因此可视为平面问题平面问题来处理。来处理。 1 1、列基元体平衡微分方程、列基元体平衡微分方程 15 微分后得：微分后得： K xy 2 xy dd (2)(2) 1 1-3 3=y y-x x 1 1=-=-x x, , 3 3=-=-y y 2 2、建

14、立塑性条件、建立塑性条件 由于由于xx，yy都是压力，故都是压力，故 这时这时y y、 、 x x为正值，即绝对值为正值，即绝对值 xy 16 积分后得积分后得 dx h d y 2 Cx h y 2 将（将（2 2）代入（）代入（1 1） 0 2 hdx d x 得得 3 3、联解平衡方程和塑性条件、联解平衡方程和塑性条件 17 e xx 当当 时时 yey eye x h C 2 0 x K ye 2S 3 2 )( 2 )( 2 xx h xx h eyeey S 3 2 这时这时自由表面自由表面 4 4、由、由边界条件边界条件确定积分常数确定积分常数C C，求出应力分量，求出应力分量y

15、y 18 dFP F y dxl e x y 0 2 ye e eye ee e x ye xx e e yee x e y x ee h x x h x h x x xx h xx hx dxxx hx dx xxl P F P p eee e e 22 00 2 0 0 0 21 2 1221 )( 21 1 2 5 5、确定单位、确定单位流动压力流动压力（即单位面积的平均变形力）（即单位面积的平均变形力） 平均变形力平均变形力 变形力变形力 19 分析分析y y沿沿X X方向分布规律方向分布规律 )( 2 )( 2 xx h xx h eyeey S 3 2 20 1 1、列基元体平衡微

16、分方程、列基元体平衡微分方程 总结：总结： 求解变形力或单位流动压力步骤求解变形力或单位流动压力步骤 2 2、建立塑性条件、建立塑性条件 3 3、联解平衡方程和塑性条件、联解平衡方程和塑性条件 4 4、由、由边界条件边界条件确定积分常数确定积分常数C C，求出应力分量，求出应力分量yy 5 5、确定单位、确定单位流动压力流动压力（即单位面积的平均变形力）（即单位面积的平均变形力） 21 在塑性成形中，经常会遇到各种在塑性成形中，经常会遇到各种上下砧板倾斜上下砧板倾斜 的情况的情况. 这些问题属于平面这些问题属于平面 镦粗变形一类。镦粗变形一类。 有有: 收敛式流动收敛式流动， 爬升式流动爬升式

17、流动， 散射式流动，散射式流动， 下滑式流动下滑式流动。 22 , 00 0 x F 若取若取 02)()(dxtgdxtgdxdxtgtghdh luxxx 因因00，00因因00，00 dx dxdx 2cos cos cos cos 推出推出y y和和p p的计算公式。以的计算公式。以收敛式流动收敛式流动为代表为代表. . 1 1、取基元体如图：建立平衡方程式、取基元体如图：建立平衡方程式 23 0 y F 0 cos sin cos 1 cos dx dxdx yu tg yu tg yl 得得 同理同理 找到找到y y、u u与与l l的关系的关系 则由静力平衡关系则由静力平衡关系

18、y u x dxdx 24 金 属 塑 性 成 形 原 理 第 六 章 主 应 力 法 0)()(2 )( 22 dxtgtgdxtgtgd ddxtgtghdxtgtg yx xbx (1) 代入平衡方程整理得： xtgtghh b 又由几何关系又由几何关系 25 这时这时y y、 、 x x为正值，即绝对值为正值，即绝对值 S xy 3 2 (2)(2) xy 0 xy dd (3)(3) 由近似塑性条件 微分得： 2、建立塑性条件 26 （1）、（2）、（3）式联解得： C 为待定常数 金 属 塑 性 成 形 原 理 第 六 章 主 应 力 法 CxKh K K dx xKh K d b

19、y b y )ln( 1 1 2 1 2 tgtgK 1 )2( 3 2 22 12 tgtgSKK 这里令 27 3、由边界条件确定积分常数C，求出应力分量y e xx yey eye h K K Cln 1 2 ye b e y xKh h K K )ln( 12 1 时当 由边界条件知： 28 )ln() 1(ln) 1(ln 1 )ln( 11 1 2 2 1 2 0 11 2 0 eyebbee e x ye b e e x y e h K K hhhh xK K dx xKh h K K x dx xF P p ee 金 属 塑 性 成 形 原 理 第 六 章 主 应 力 法 说明

20、：该解法适合与其它三种说明：该解法适合与其它三种 情况平板镦粗，只是按图示中情况平板镦粗，只是按图示中 、正负值代入即可。正负值代入即可。 4、确定单位流动压力 材料材料2009.4.192009.4.19第第1010周周3 3、4 4节节 29 （二）平面应变的纵向流动（挤压型）（二）平面应变的纵向流动（挤压型） ye b e y xKh h K K )ln( 11 2 按照所选择的坐标系和坐标方向，对按照所选择的坐标系和坐标方向，对 比得：比得： e b e x yKw w K K x 11 2 )ln( （、为正值）)( 1 1 tgtgK yKww ebe 式中： 宽板挤压和锻件宽筋的

21、充满均属于该类型。它的分析方法宽板挤压和锻件宽筋的充满均属于该类型。它的分析方法 可以对比前面我们讨论的倾斜砧板镦粗收敛式流动推出的可以对比前面我们讨论的倾斜砧板镦粗收敛式流动推出的 计算公式：计算公式： 30 金 属 塑 性 成 形 原 理 第 六 章 主 应 力 法 31 （、为负值） )2( 3 2 22 12 tgtgKSK S yx 3 2 x、y取正值 )( 1 tgtgK 金 属 塑 性 成 形 原 理 第 六 章 主 应 力 法 分析：x、y均为压应力，但x 方向为压应变。而y方向为拉应变。 比较前面 所以：近似塑性条件为： 32 S ykw w K K xe b e y 3

22、2 )ln( 11 2 SS yexe 3 2 3 2 S yKw w K K b e x 3 2 )ln( 11 2 )ln( 11 2 yKw w K K b e y 金 属 塑 性 成 形 原 理 第 六 章 主 应 力 法 确定 xe，当 y=ye时，为自由表面，这时， ye=0 33 当y=0时，为挤压变形所需的单位流动压力值。 b e yy w w K K pln 1 2 0 金 属 塑 性 成 形 原 理 第 六 章 主 应 力 法 34 （三）轴对称变形的横向流动（镦粗型）（三）轴对称变形的横向流动（镦粗型） s 求砧面的单位流动压力。求砧面的单位流动压力。 摩擦条件为 设有平

23、行砧板间的轴对称镦粗。设有平行砧板间的轴对称镦粗。 35 0 r F 0)(2 2 sin2 dhdrrddrdrdrhdrh rrr 1 1、取基元板块，列平衡方程式、取基元板块，列平衡方程式 36 很小 取 22 sin dd 02 rr dhrdrhdrrdrh 假定变形体为假定变形体为轴对称轴对称均匀镦粗变形。均匀镦粗变形。 dd r r 上式可化成： dr h d r 2 (1) 则有 忽略高阶小量，化简得， 37 2 2、建立塑性条件、建立塑性条件 r 近似的塑性的方程为：近似的塑性的方程为： S rz (2(2 ) ) rz dd (3)(3) dr h d z 2 Cr h z

24、 2 微分得微分得 将（将（3 3）代入得）代入得 积分得积分得 所以主应力为所以主应力为r r 、z z 、 按主应力方法，取按主应力方法，取 r r、z z、方向为主应力方向。方向为主应力方向。 38 zez eze r h C 2 zeez rr h )( 2 金 属 塑 性 成 形 原 理 第 六 章 主 应 力 法 当当r=re时，时， 3 3、由边界条件确定积分常数、由边界条件确定积分常数C C，求出应力分量，求出应力分量z z 39 drrrr hr dF rF P p zee r e r z e e e 2)( 211 0 2 0 2 ze e h r 3 2 4、求单位流动压

25、力 40 0 z F 0sin cos 2cos cos 2 )()( 22 dz r dz r tgdzrdr u zzz 0222 2 dztgrdrdrdztgr uzzz 忽略高阶小量，化简得 (1) （四）、轴对称变形的纵向流动（挤压型）（四）、轴对称变形的纵向流动（挤压型） 1、取基元板块，列平衡方程式 41 0sin cos sin cos dz dzdz u (2)tg ru z S zr (3) r、z 取正值 金 属 塑 性 成 形 原 理 第 六 章 主 应 力 法 而 因为因为r 、 z 均为压应力均为压应力 由静力平衡关系式： 2、建立塑性条件 42 dz r tgStg d z )1 (2 2 tgzrr b dz tgzr tgStg d b z )1 (2 2 CtgzrK bz )ln( 1 由（1）、（2）、（3）联解得： 由几何关系得 积分得 式中 tg tgStg K )1 (2 2 1 43 e zz 0 z )ln( 1 tgzrKC b )( )( ln 1 tgzr