第5章-弯曲变形1

1、F挠度和转角梁的基本方程挠度和转角梁的基本方程 F按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角 F梁的刚度计算梁的刚度计算 F简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法 第五章、弯曲变形 F梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 研究范围：梁在对称弯曲时位移的计算。研究范围：梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：研究目的：对梁作刚度校核；对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。 1.1.挠度：挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移线位移。用用 y 表示。表示。 与与 y 轴同

2、向为正，反之为负。轴同向为正，反之为负。 2.2.转角：转角：横截面绕其中性轴横截面绕其中性轴转转 动的角度动的角度。用。用 表示，逆时表示，逆时 针转向为正，针转向为正，反之为负。反之为负。 二、二、挠曲线：挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：其方程为： y = y(x) 三、转角与挠曲线的关系三、转角与挠曲线的关系： 一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量 d tg d y y x 小变形小变形 第5-1节、挠度和转角梁的基本方程挠度和转角梁的基本方程 F x y C C1 y y 梁的挠曲线近似

3、微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 1( ) ( ) M x xEI 一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程 () () Mx yx E I 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 y x M0 ( )0y x y x M0 ( ) 0y x () () Mx yx EI 适用：线弹性、小变形、平面弯曲适用：线弹性、小变形、平面弯曲 )(xyy 挠曲线挠曲线: : 曲曲 率率: : 2/32 )1 ( )(1 y xy )( 1 x y 小变形小变形1 y 挠曲线方程的其它形式挠曲线方程的其它形式 )(xMyEI S( ) EIyF x (4) ( )EIyq x 梁的（梁的（

4、2阶）弯矩方程阶）弯矩方程 梁的（梁的（3阶）剪力方程阶）剪力方程 梁的（梁的（4阶）载荷方程阶）载荷方程 求解以上微分方程分别需要几个边界条件？求解以上微分方程分别需要几个边界条件？ () () Mx yx EI 等截面直梁等截面直梁 EI = 常数常数 )()(xFxM S )()(xqxM 二、求挠曲线方程（弹性曲线）二、求挠曲线方程（弹性曲线） ( )( )EIy xM x 1 ( )( )dEIy xM xxC 12 ( )( ( )d )dEIy xM xx x C x C 1.1.微分方程的积分微分方程的积分 2.2.位移边界条件（变形的几何相容条件）位移边界条件（变形的几何相容

5、条件） F AB C F D 转角方程转角方程 挠度方程挠度方程 两两 次次 积积 分分 法法 支座位移约束条件：梁的某些截面位移已知支座位移约束条件：梁的某些截面位移已知 连续条件：连续条件： 光滑条件：光滑条件： 0 A y0 B y0 D y0 D CC yy CC 右左 或写成 CC CC yy 左右 或写成 连续光滑性：连续光滑性：相邻梁段的相邻梁段的交接处交接处，相邻两截面应具有，相邻两截面应具有相同的挠相同的挠 度和转角度和转角。 F AB C F D 积分常数积分常数C1、C2的确定的确定 在固定端，在固定端，挠度挠度和和转角转角都等于零。都等于零。 y x x0，y=0， 0

6、 在铰支座上，挠度等于零。在铰支座上，挠度等于零。 y x0， ，y=0 x 在弯曲变形的对称点上，转在弯曲变形的对称点上，转 角等于零。角等于零。 xa， 0 y x 讨论：讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的可应用于求解承受各种载荷的等截面等截面或或变截面梁的位移变截面梁的位移。 积分常数积分常数由挠曲线变形的由挠曲线变形的几何相容条件几何相容条件( (边界条件边界条件) )确定。确定。 优点：优点：使用范围广，直接求解，较精确；使用范围广，直接求解，较精确； 缺点：缺点：计算较繁。计算

7、较繁。 例例 求图示等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。求图示等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。 建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程 ( )()M xF xL 写出梁的写出梁的微分方程并积分微分方程并积分应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数 ( )()EIyM xF xL 2 1 1 () 2 EIyF xLC 3 12 1 () 6 EIyF xLC xC 3 2 1 (0)0 6 EIyFLC 2 1 1 (0)(0)0 2 EIEIyFLC 23 12 11 ; 26 CFLCFL 解：解： F L x y 写出弹性曲线方程并画出曲线写出弹

8、性曲线方程并画出曲线 232 3 ( )()(3) 6266 FFLFLFx y xxLxLx EIEIEIEI 3 max ( ) 3 FL yy L EI 2 max ( ) 2 FL L EI 最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角 x y F L 3 12 1 () 6 EIyF xLC xC 23 12 11 ; 26 CFLCFL 2 )2( 2 )( 2 22 2 xLxFFL Lx F EIy 解：解：建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程 () (0) ( ) 0 () F xaxa M x axL 写出梁的写出梁的微分方程并积分微分方程并积分 2 1 1 1 ()

9、2 F xaC EIy D 3 12 12 1 () 6 F xaC xC EIy D xD () (0) 0 () F xaxa EIy axL x y F L a 例例 求图示等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。求图示等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。 应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数 3 2 1 (0)0 6 EIyFaC 2 1 1 (0)0 2 EIFaC 23 1122 11 ; 26 CDFaCDFa ()()y ay a )()( aa 11 DC 2121 DaDCaC y F L a 2 1 1 1 () 2 F xaC EIy D 3

10、 12 12 1 () 6 F xaC xC EIy D xD 写出挠曲线方程并画出曲线写出挠曲线方程并画出曲线 323 32 ()3 (0) 6 ( ) 3 () 6 F xaa xa xa EI y x F aa x axL EI 2 max ( )3 6 Fa yy LLa EI 2 max ( ) 2 Fa a EI 最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角 F L a x y 3 12 12 1 () 6 F xaC xC EIy D xD 2 1 1 1 () 2 F xaC EIy D 例：求均布载荷作用下简支梁的挠度和转角。例：求均布载荷作用下简支梁的挠度和转角。 2 1 22 q

11、l EIyM xxqx 34 1224 qlq EIyxxCxD q max y A B 2 ql 2 ql l 23 46 qlq EIyxxC 写出梁的写出梁的微分方程并积分微分方程并积分 3 :0 24 ql xlyC 0:00 xyD 由边界条件求积分常数由边界条件求积分常数 3 (0) 24 A ql y EI 4 max 5 ( ) 2384 lql yy EI 令( )0yx ，得 2 l x ，即 max () 2 l yy 34 1224 qlq EIyxxCxD 23 46 qlq EIyxxC q max y A B 2 ql 2 ql l 3 23 ( ) 4624 q

12、lqql y xxx EIEIEI 3 34 ( ) 122424 qlqql y xxxx EIEIEI 3 ( ) 24 B ql y l EI ax 1 0 23 222222 1 26 Fa EIyFaxxC xD l lxa 2 1111 Fb EIyMxx l 2 111 2 Fb EIyxC l 3 111 11 6 Fb EIyxC xD l 2 2222 2 Fa EIyFaxxC l max y Fb l Fa l l ab 1 x 2 x A B CD F x 222 )(x l Fa FaaxFx l Fb IE 例、集中力作用下梁的变形分析例、集中力作用下梁的变形分析

13、 1、列出平衡方程，求出支反力、列出平衡方程，求出支反力 2、列出梁的挠度的微分方程并积分、列出梁的挠度的微分方程并积分 待定常数待定常数 22, D C 21 , CC 边界条件边界条件： 1 0:x 1 0y 2 :xl 2 0y 连续条件：连续条件： 12 :xxa 12 yy 12 :xxa 12 yy 解出：解出： 22 12 1 2 () 6 0 0 Fb CClb l D D max y Fb l Fa l l ab 1 x 2 x A B CD F x ba 若 求最大挠度和转角求最大挠度和转角 max 0 6 B Fab la EIl 令 1 0y 即 222 1 1 0 2

14、6 FbFb xlb EIll 3 22 1 bl x 3 22 max 9 3 Fblb y EIl 当 2 l ba 3 max 48 Fl y EI 时时 由 0 3 0 6 22 ba EIl Fab bl EIl Fb C A 在中间必有极值 y max y Fb l Fa l l ab 1 x 2 x A B CD F x 积分法求梁的变形关键点： 分段列弯距方程 寻找边界条件 分段分段 : AB、BC、CD三段，共六个积分常数三段，共六个积分常数 边界条件边界条件 0 ; 0 AA y ; 右左右左cccc yy P D A B C 右左BB yy 0 D y 边界条件：边界条件

15、：BCBA lyy , 0 集中力集中力作用点，作用点，集中力偶集中力偶作用点，作用点，分分 布力布力的起、终点，的起、终点，铰接点铰接点为分段点。为分段点。 支承条件支承条件、连续条件连续条件、光滑条件光滑条件。有。有 多少积分常数就需要多少边界条件。多少积分常数就需要多少边界条件。 A B C 第第5-25-2节、按叠加原理求梁的节、按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角 积分法优点：积分法优点：可得到挠度方程可得到挠度方程y(x)和转角和转角 方程方程 (x) 。因而可求出任意。因而可求出任意 截面的挠度和转角。截面的挠度和转角。 积分法缺点：积分法缺点： 叠加原理叠加原理：多个载荷同时作

16、用于结构而引起的变形多个载荷同时作用于结构而引起的变形 每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和 121122 ()()()() nnn FFFFFF 121122 ()()()() nnn y FFFy Fy FyF 适用：线弹性、小变形适用：线弹性、小变形 若干类荷载所引起的变形若干类荷载所引起的变形( (挠度或转角挠度或转角) ) 各单一类荷载引起的变形各单一类荷载引起的变形( (查表查表) )之和之和 z B EI qL y 3 3 z B EI qL 2 2 L A P B A B L q z B EI qL y 8 4 z B EI qL

17、 6 3 A P B z C EI PL y 48 3 z A EI PL 16 2 z C EI qL y 384 5 4 z A EI qL 24 3 A B q L/2L/2 C L/2L/2 C 几种常见梁的挠度和转角（附录几种常见梁的挠度和转角（附录C） 例例6 6 按叠加原理求按叠加原理求A点转角和点转角和C点点 挠度。挠度。 解、解、载荷分解如图载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。 3 6 FC Fa y EI 2 4 FA Fa EI 4 5 24 qC qL y EI 3 3 qA qa EI q q F F

18、 =+ A A A B B B C aa q F AB C q F =+ A A B B aa 叠加叠加 AFAqA 2 (34) 12 a Fqa EI 43 5 246 C qaFa y EIEI 3 6 FC Fa y EI 2 4 FA Fa EI 4 5 24 qC qL y EI 3 3 qA qa EI 例例 求 B y ? ? EI aP yBP 3 2 3 BM y?ay CMCM EI aM y C CM 2 2 EI aMC CM EI aM y C BM 2 3 2 EI Pa EI aM y C B 3 8 2 3 32 aa P C M A B C P BP y C M CM y BM y CM BMBPB yyy 求图示梁截面求图示梁截面B B的挠度的挠度 解：为了利用附录C的结果，可将原荷载视为图(1)和图 (2)两种情况的叠加 AB C a L q EIz AB c L q AB c L q a (1)(2) z B EI qL f 8 4 1 AB c L q 图（图（1 1） 图图(2) CB段段M=0，所以所以CB为直线为直线 z C EI qa f 8 4 2 z C EI qa 6 3 2 )( 222 aLff CCB )( 68