材料力学 第11章压杆稳定

1、安徽建筑工业学院安徽建筑工业学院 第十一章第十一章压杆稳定压杆稳定 材料力学材料力学 11. .1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 11. .3 细长欧拉公式的使用范围细长欧拉公式的使用范围 第十一章第十一章 压杆稳定压杆稳定 临界应力总图临界应力总图 11. .4 压杆的稳定条件及设计准则压杆的稳定条件及设计准则 11. .5 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 第十一章第十一章 压杆稳定压杆稳定 一、一、工程中的压杆工程中的压杆 二、二、压杆的失效形式压杆的失效形式 三、三、压杆失稳的实例压杆失稳的实例 11. .1

2、压杆稳定的概念压杆稳定的概念 四、四、压杆稳定的概念压杆稳定的概念 强度不足强度不足 失失 稳稳 粗短压杆粗短压杆 细长压杆细长压杆 二、压杆的失效形式二、压杆的失效形式 N A F 11. .1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 1. .1907年加拿大圣劳伦斯河在架奎年加拿大圣劳伦斯河在架奎 伯克桥时，由于悬臂桁架中的伯克桥时，由于悬臂桁架中的一根压杆一根压杆 失稳失稳，造成桥梁倒塌，造成桥梁倒塌，9000吨钢材变成吨钢材变成 一堆废墟。一堆废墟。 三、压杆失稳的实例三、压杆失稳的实例 11. .1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 19071907年加拿大魁年加拿大魁 北克桥的失稳北克桥的失稳

3、( (跨度跨度548m,548m,重重9000T9000T。 8686人施工，死人施工，死7575人人) ) 2. .1922年冬天下大雪，美国华盛顿年冬天下大雪，美国华盛顿 尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的一一 根压杆超载失稳根压杆超载失稳，造成剧院倒塌，死，造成剧院倒塌，死98 人，伤人，伤100余人。余人。 三、压杆失稳的实例三、压杆失稳的实例 11. .1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 3. .2000年年10月月25日日上午上午10时时30分，分， 在南京电视台演播中心演播厅屋在南京电视台演播中心演播厅屋顶的顶的浇浇 筑混凝土施工中，因筑混凝土施工中，

4、因脚手架失稳脚手架失稳，造成，造成 演播厅屋演播厅屋顶顶模板倒塌，死模板倒塌，死5人，伤人，伤35人人。 三、压杆失稳的实例三、压杆失稳的实例 11. .1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 第一节第一节 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 三、压杆失稳的实例三、压杆失稳的实例 911.hzv center3.avi jastin8.swf jastin1.swf jastin6.swf 1.1.稳定的分类稳定的分类 无穷多个无穷多个 平衡点平衡点 随遇平衡随遇平衡 一个平衡一个平衡 点点稳定稳定 平衡平衡 没有平衡没有平衡 点点不稳不稳 定平衡定平衡 2.2.失稳的定义失稳的定义 压杆从直轴线状态下的

5、稳定平衡转化为微曲状态压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态 下的不稳定平衡成为失稳。下的不稳定平衡成为失稳。 临界压力临界压力-使压杆失稳的压力称为临界压力。使压杆失稳的压力称为临界压力。 四、压杆稳定的概念四、压杆稳定的概念 四、压杆稳定的概念四、压杆稳定的概念 F F F F F 稳稳 定定 平平 衡衡压杆压杆 能能 恢复到原直线状态的平衡恢复到原直线状态的平衡 不稳定平衡不稳定平衡压杆压杆不能不能恢复到原直线状态的平衡恢复到原直线状态的平衡 F FF cr 11. .1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 失失 稳稳 压杆丧失其直线状态平衡而过渡压杆丧失其直线状态平衡而过渡 到曲线状态平

6、衡的现象到曲线状态平衡的现象 压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡 的的压力临界值压力临界值 ( (Critical load) ) 屈屈 曲曲 压压 杆杆 的的 临界压力临界压力 ( (buckling) ) （Fcr ） 11. .1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 第十一章第十一章 压杆稳定压杆稳定 一、一、两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力 二、二、其他约束下细长压杆的临界压力其他约束下细长压杆的临界压力 三、三、欧拉公式的统一形式欧拉公式的统一形式 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 设：设： F F x y l

7、 F x y y x xMyEI FyxM EI F k 2 0 2 yky x y 由由 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 M(x) FN 压杆处于微弯状态，压杆处于微弯状态， 且且 p 一、两端铰支细长压杆的临界压力一、两端铰支细长压杆的临界压力 0 2 yky kxBkxAycossin 微分方程微分方程： 边界条件：边界条件：y( (0) )= 0， y( (l) )= 0 0cossin 01 0 BklAkl BA F F x y l x y 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 0B0sin kl (n = 0，1，

8、2，) l n k 临界压力：临界压力： (n = 0，1，2，) l n k EI F k 2 2 2 cr l EI F 欧拉公式欧拉公式 Euler 1744 2 22 l EIn F (n = 0，1，2，) ? I min II 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 讨论：讨论：失稳挠曲线失稳挠曲线 半正弦波曲线半正弦波曲线 l x Ay sin F F x y l x y 是微小的、不却确定的量是微小的、不却确定的量 max 2 yyAl x 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 讨论：讨论：临界压力的精确解临界压力的精确

9、解 精确解精确解 EI xM 1 EI xM y （近似解近似解） 欧拉解欧拉解 2 2 cr l EI F 精确失稳挠曲线微分方程？精确失稳挠曲线微分方程？ 23 2 1y y 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 F Oymax Fcr 欧拉解欧拉解 精确解精确解 欧拉公式适用于小变形情况欧拉公式适用于小变形情况 讨论：讨论：临界压力的精确解临界压力的精确解 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 本本节以节以两端球形铰支两端球形铰支( (简称两简称两 端铰支

10、端铰支) )的细长中心受压杆件的细长中心受压杆件( (图图a) ) 为例，按照对于理想中心压杆来说为例，按照对于理想中心压杆来说 临界力就是杆能保持微弯状态时的临界力就是杆能保持微弯状态时的 轴向压力这一概念，来导出求临界轴向压力这一概念，来导出求临界 力的欧拉力的欧拉( (L.Euler) )公式。公式。 在图在图a所示微弯状态下，所示微弯状态下， 两端铰支压杆任意两端铰支压杆任意x截面的挠截面的挠 度度( (侧向位移侧向位移) )为为w，该，该截面上截面上 的弯矩为的弯矩为M(x)=Fcrw（图图b）。 杆的挠曲线近似微分方程为杆的挠曲线近似微分方程为 (a) crw FxMwEI 上式中

11、上式中负号是由于在图示坐负号是由于在图示坐 标中，对应于正值的挠度标中，对应于正值的挠度w， 挠曲线切线斜率的变化率挠曲线切线斜率的变化率 为负的缘故。为负的缘故。 x y x w d d d d 令令k2=Fcr /EI，将挠曲线近似微分方程将挠曲线近似微分方程(a)改写成改写成 该该二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程(b)的通解为的通解为 0 2 wkw (b) kxBkxAwcossin (c) 此式中有此式中有未知量未知量A和和B以及隐含有以及隐含有Fcr的的k，但现在能但现在能 够利用的边界条件只有两个，即够利用的边界条件只有两个，即x=0，w=0 和和 x=l， w=0，

12、显然这不可能求出全部三个未知量。这种不显然这不可能求出全部三个未知量。这种不 确定性是由确定性是由F = Fcr时杆时杆可在任意微弯状态下可在任意微弯状态下(d可为可为 任意微小值任意微小值)保持平衡这个抽象概念所决定的。事保持平衡这个抽象概念所决定的。事 实上，对于所研究的问题来说只要能从实上，对于所研究的问题来说只要能从(c)式式求出求出 与临界力相关的未知常数与临界力相关的未知常数k就可以了。就可以了。 将边界条件将边界条件x=0，w=0代入式代入式(c) 得得B=0。于是根据于是根据(c)式并式并利用边利用边 界条件界条件x=l，w=0得到得到 0sin klA 注意到已有注意到已有B

13、=0，故上式中的故上式中的A不可不可 能等于零，否则能等于零，否则(c)式将式将成为成为w 0而而 压杆不能保持微弯状态，也就是杆并压杆不能保持微弯状态，也就是杆并 未达到临界状态。由此可知，欲使未达到临界状态。由此可知，欲使(c) 成立，则必须成立，则必须sinkl=0 kxBkxAwcossin (c) 满足此条件的满足此条件的kl为为 ，2 ,0 kl 或即或即，2 0 cr l EI F 由于由于 意味着临界力意味着临界力Fcr 0，也就是杆也就是杆 根本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在根本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在kl0 的解的解中，最小解中，最小解 kl 相应于最小的

14、临界力，这是相应于最小的临界力，这是 工程上最关心的工程上最关心的临界力临界力。 0 cr l EI F 由由kl 有有 cr l EI F 22 cr l EI F 亦即亦即 从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉 公式：公式： 2 2 cr l EI F 此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0， 且取且取kl ，以此代入式以此代入式(c)得得 x l Aw sin 注意到当注意到当x= l /2 时时 w=d d，故有故有 A=d d。从而知，对应从而知，对应 于于kl ，亦即对应于亦即对应于Fcr=

15、 2EI/l 2，挠曲线方程为挠曲线方程为 l x w sind d 可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。 需要指出的是，尽管上面得到了需要指出的是，尽管上面得到了A=d d， 但因为杆在任意微弯状态下保持平衡但因为杆在任意微弯状态下保持平衡 时时d d为不确定的值，故不能说未知量为不确定的值，故不能说未知量A 已确定。已确定。 事实上，在推导任何杆端约束情况的事实上，在推导任何杆端约束情况的 细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线 近似微分方程的通解中，凡与杆的弯近似微分方程的通解中，凡与杆的弯 曲程度相关的未知量总是不确定的。曲程度相关

16、的未知量总是不确定的。 9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力不同杆端约束下细长压杆临界力 的欧拉公式的欧拉公式压杆的长度因数压杆的长度因数 现在通过两个例题来推导另一些杆端约束条件现在通过两个例题来推导另一些杆端约束条件 下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。 试推导下端固定、上端试推导下端固定、上端 自由的等直细长中心压杆临自由的等直细长中心压杆临 界力的欧拉公式，并求压杆界力的欧拉公式，并求压杆 失稳时的挠曲线方程。图中失稳时的挠曲线方程。图中 xy平面为杆的弯曲刚度最小平面为杆的弯曲刚度最小 的平面。的平面。 例题例题 9-1 根据该压杆失稳后符合杆端约束条

17、件的挠曲线的大根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的大 致形状可知，任意致形状可知，任意x 横截面上的弯矩为横截面上的弯矩为 wFxM d d cr 杆的挠曲线近似微分方程则为杆的挠曲线近似微分方程则为 wFxMwEI d d cr )( 将上式改写为将上式改写为 )1( crcr d d EI F w EI F w 1. 建立压杆挠曲的近似微分方程建立压杆挠曲的近似微分方程 例题例题 9-1 解解: 令令 由由(1)式得式得 EI F k cr 2 d d 22 kwkw 此微分方程的通解为此微分方程的通解为 )2(cossind d kxBkxAw 一阶导数为一阶导数为)3(sinco

18、skxBkkxAkw 根据边界条件根据边界条件x=0，w =0由由(3)式得式得Ak=0，注意注意 到到 不会等于零，故知不会等于零，故知A0。再利用边界条再利用边界条 件件x=0，w=0由由(1)式得式得B=-d d。将。将A=0， B=-d d代入代入(1) 式得式得 EI F k cr (4) cos1kxw d d 2. 求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力 例题例题 9-1 利用利用 x = l 时时 w = d d 这一关系，这一关系，由由(4)式式得出得出 从式从式(4)可知可知d d不可能等于零，否则不可能等于零，否则w将恒等于零，将恒等于零

19、， 故上式中只能故上式中只能coskl = 0。满足此条件的满足此条件的kl的最小值的最小值 为为 kl = /2，亦即亦即 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：从而得到求此压杆临界力的欧拉公式： 2 cr l EI F 2 2 2 2 cr 2 4 l EI l EI F klcos1 d dd d0cos kld d亦即亦即 例题例题 9-1 以以 kl = /2 亦即亦即 k = /(2l)代入式代入式 (4)便得到压杆失稳时的挠曲线方便得到压杆失稳时的挠曲线方 程为程为 l x w 2 cos1d d 例题例题 9-1 试推导下端固定、上端铰试推导下端固定、上端铰 支的等直细长中心压杆临

20、界力支的等直细长中心压杆临界力 的欧拉公式，并求该压杆失稳的欧拉公式，并求该压杆失稳 时的挠曲线方程。图时的挠曲线方程。图(a)中的中的xy 平面为杆的最小弯曲刚度平面。平面为杆的最小弯曲刚度平面。 例题例题 9-2 1. 杆端约束力分析杆端约束力分析 图图b示出了该压杆可能的微弯状示出了该压杆可能的微弯状 态，与此相对应，态，与此相对应，B处应有逆时针处应有逆时针 转向的约束力偶矩转向的约束力偶矩MB，根据平衡根据平衡 方程方程S SMB 0可知，杆的上端必有可知，杆的上端必有 向右的水平约束力向右的水平约束力Fy；从而亦知杆从而亦知杆 的下端有向左的水平约束力的下端有向左的水平约束力Fy

21、。 例题例题 9-2解解: 杆的任意杆的任意x截面上的弯矩为截面上的弯矩为 xlFwFxM y cr 从而有挠曲线近似微分方程：从而有挠曲线近似微分方程： cr xlFwFwEI y 2. 建立压杆挠曲线的近似微分方建立压杆挠曲线的近似微分方 程程 例题例题 9-2 上式等号右边的负号是因为对应于上式等号右边的负号是因为对应于 正值的正值的w, w 是负而加的。是负而加的。 令令 k2=Fcr /EI，将上式改写为将上式改写为 xl EI F wkw y 2 亦即亦即 xl F F kwkw y cr 22 此微分方程的通解为此微分方程的通解为 (a) cossin cr xl F F kxB

22、kxAw y 其一阶导数为其一阶导数为 (b) sincos cr F F kxBkkxAkw y 式中共有四个未知量：式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。 3. 求临界力求临界力Fcr 例题例题 9-2 (c) cossin 1 cr xlkxlkx kF F w y 再利用边界条件再利用边界条件x=l，w=0，由上式得由上式得 0cossin 1 cr kllkl kF Fy 由边界条件由边界条件x=0，w =0 得得 A=Fy /(kFcr)。又由边界条件又由边界条件x=0，w=0 得得 B=- -Fy l /Fcr。将以上将以上A和和B的表达的表达 式代入式式代入式(a)有有 例题例

23、题 9-2 由于杆在微弯状态下保持平衡时，由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等不可能等 于零，故由上式得于零，故由上式得 满足此条件的最小非零解为满足此条件的最小非零解为k l=4.49，亦亦 即即 ，从而得到此压杆临界力的欧拉公，从而得到此压杆临界力的欧拉公 式为式为 49. 4 cr l EI F 2 2 2 2 cr 7 . 0 49. 4 l EI l EI F 0cossin 1 kllkl k klkl tan亦即亦即 例题例题 9-2 4. 将将 kl = 4.49，亦即亦即 k = 4.49/l 代入式代入式(c)即得此即得此 压杆对应于上列临界力的压杆对应于上列临界力的

24、 挠曲线方程挠曲线方程： l x kx kx F lF w y 1cos 49. 4 sin cr 利用此方程还可以进一步求得利用此方程还可以进一步求得 该压杆在上列临界力作用下挠该压杆在上列临界力作用下挠 曲线上的拐点在曲线上的拐点在 x = 0.3l 处处 ( (图图b) )。 例题例题 9-2 压杆的长度因数和相当长度压杆的长度因数和相当长度 表表9- -1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，中列出了几种典型的理想杆端约束条件下， 等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见， 杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。杆端约束越强，压杆的临界力

25、也就越高。 表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式： 2 2 cr l EI F 式中，式中， 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况 有关；有关； l 称为压杆的相当长度称为压杆的相当长度( (equivalent length) )， 它表示某种杆端约束情况下几何长度为它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其的压杆，其 临界力相当于长度为临界力相当于长度为 l 的两端铰支压杆的临界力。的两端铰支压杆的临界力。 表表9- -1的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况 下

26、的相当长度下的相当长度 l。 运用欧拉公式计算临界力时需要注意：运用欧拉公式计算临界力时需要注意： (1)当当杆端约束杆端约束情况在各个纵向平面内情况在各个纵向平面内相同相同时时(例如球例如球 形铰形铰)，欧拉公式中的，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形应是杆的横截面的最小形 心主惯性矩心主惯性矩 Imin。 (2)当当杆端约束杆端约束在各个纵向平面内在各个纵向平面内不同不同时，欧拉公式时，欧拉公式 中所取用的中所取用的I应与失稳应与失稳(或可能失稳或可能失稳)时的弯曲平面相时的弯曲平面相 对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下： x

27、y z 轴销轴销 对应于杆在对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固平面内失稳，杆端约束接近于两端固 定，定， 2 2 cr 5 . 0 l EI F z 对应于杆在对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端平面内的失稳，杆端约束相当于两端 铰支，铰支， 2 2 cr l EI F y 而而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小 者。者。 x y z 轴销轴销 解法：解法：比较变形法比较变形法 二、其他约束下细长压杆的临界压力二、其他约束下细长压杆的临界压力 1. .一端固定、另一端自由一端固定、另一端自由 F l cr F l l cr F

28、cr 2 2 cr 2l EI F 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 2 2 cr 2 l EI F l F cr 拐点拐点 拐点拐点 2 l 4 l 4 l F cr F = Ncr F cr F Ncr 4 l 4 l FNcr 2 l F = Ncr F cr 解法：解法：比较变形法比较变形法 2. .两端固定两端固定 二、其他约束下细长压杆的临界压力二、其他约束下细长压杆的临界压力 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 2 2 cr 3 2 l EI F l Fcr 拐点拐点 3 2l F cr 拐点拐点 Fcr 解法：解

29、法：比较变形法比较变形法 3. .一端固定、另一端铰支一端固定、另一端铰支 二、其他约束下细长压杆的临界压力二、其他约束下细长压杆的临界压力 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 l相当长度相当长度 长度系数长度系数，反映不同反映不同杆端约束杆端约束对临界压力的影响对临界压力的影响 三、欧拉公式的统一形式三、欧拉公式的统一形式 2 2 cr l EI F 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 三、欧拉公式的统一形式三、欧拉公式的统一形式 2 2 cr l EI F 压杆的长度系数压杆的长度系数 压杆的约束条件压杆的约束条件长长 度度

30、系系 数数 两端铰支两端铰支 一端固定，另一端自由一端固定，另一端自由 两端固定两端固定 一端固定，另一端铰支一端固定，另一端铰支 1 2 5 . 0 2 1 7 . 0 3 2 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 三、欧拉公式的统一形式三、欧拉公式的统一形式 2 2 cr l EI F 如何提高如何提高临界压力？临界压力？ 增大抗弯刚度增大抗弯刚度 EI 减小杆长减小杆长 l 增强约束增强约束 11. .2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 灯杆和广告牌的立柱灯杆和广告牌的立柱工程中的压杆：工程中的压杆： 11. .2 细长压杆临界压力的欧

31、拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式 例例10-110-1五根直径都为五根直径都为 d d的细长圆杆铰接构成平面正的细长圆杆铰接构成平面正 方形杆系方形杆系ABCDABCD，如各杆材料相同，弹性模量为如各杆材料相同，弹性模量为E E。 求图求图 (a)(a)、(b)(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受所示两种载荷作用下杆系所能承受 的最大载荷。的最大载荷。 CL13TU15 解解（a a）BDBD杆受压其余杆受拉杆受压其余杆受拉 BDBD杆杆的临界压力的临界压力 P EI a cr 2 2 2 2 2 2 EI a 故杆系所能承受的最大载荷 PP crmax 2 2 2 EI a 2 43 128

32、a dE P cr （b b）BDBD杆受拉其余杆受压杆受拉其余杆受压 四个杆的临界压力四个杆的临界压力 2 2 a IE P ABcr 故杆系所能承受的最大载荷： 2 P P AB 2 43 64 2 a dE P 例例10-210-2图示结构，、两杆截面和材料相同，图示结构，、两杆截面和材料相同， 为细长压杆（设为细长压杆（设0/20/2） 。 求载荷求载荷P P为最大值时的为最大值时的角。角。 90 CL13TU16 ：解得两杆的压力分别为 解：由静力平衡条件可 sin cos 2 1 PF PF N N ， 两杆的临界压力分别为两杆的临界压力分别为 P EI l P EI l crcr

33、1 2 1 2 2 2 2 2 ， 最大，即都达到临界压力时、PFF NN21 ）（ ）（ 2sin 1cos 2 2 2 2 1 2 l IE P l IE P 便得除以式将式),1 ()2( 22 2 1 )(tanctn l l )tan(cotarc 2 90 第十一章第十一章 压杆稳定压杆稳定 一、欧拉临界应力公式及其使用范围一、欧拉临界应力公式及其使用范围 二、中柔度杆的临界应力二、中柔度杆的临界应力 三、小柔度杆的临界应力三、小柔度杆的临界应力 11. .3 细长欧拉公式的使用范围细长欧拉公式的使用范围 临界应力总图临界应力总图 四、临界应力总图四、临界应力总图 一、欧拉临界应力

34、公式及其使用范围一、欧拉临界应力公式及其使用范围 1. .临界应力临界应力 临界应力临界应力临界压力除以横截面面积临界压力除以横截面面积 11. .3 欧拉公式的使用范围欧拉公式的使用范围 临界应力总图临界应力总图 即：即： 惯性半径惯性半径 Al EI 2 2 2 2 i l E 2 AiI A I i i l 压杆的压杆的柔度柔度或或细长比细长比 反映了杆端的反映了杆端的约束情况约束情况、杆的长度杆的长度、横截面的尺寸和横截面的尺寸和 形状形状等因素对临界应力的等因素对临界应力的综合影响综合影响 2 2 E cr A Fcr 是无量纲量是无量纲量 11. .3 欧拉公式的使用范围欧拉公式的

35、使用范围 临界应力总图临界应力总图 2. .适用范围适用范围 欧拉公式的适用范围：欧拉公式的适用范围： 即：即： pcr p E p 记：记： p p E 满足满足 p的压杆的压杆 与材料的力学性能有关与材料的力学性能有关 2 2 E 对于对于Q235钢：钢：E=200GPa， p=200MPa 100 10200 10200 6 9 p 大柔度杆大柔度杆（细长杆细长杆） 11. .3 欧拉公式的使用范围欧拉公式的使用范围 临界应力总图临界应力总图 二、中柔度杆的临界应力二、中柔度杆的临界应力 1. .临界应力临界应力 当当 p cr s时，时，也有理论分析结果也有理论分析结果 通常采用建立在

36、试验基础上的通常采用建立在试验基础上的经验公式经验公式： cr ba a、b与材料的力学性能有关的常数，与材料的力学性能有关的常数， 单位：单位：MPa 11. .3 欧拉公式的使用范围欧拉公式的使用范围 临界应力总图临界应力总图 2. .适用范围适用范围 即：即： 记：记： 满足满足 0 p的压杆的压杆 与材料的力学性能有关与材料的力学性能有关 对于对于Q235钢：钢： s=240MPa ，a=304MPa， b=1.12MPa b a s s 0 b a 0 60 12. 1 240304 0 ba scr p 中柔度杆中柔度杆（中长杆中长杆） 11. .3 欧拉公式的使用范围欧拉公式的使

37、用范围 临界应力总图临界应力总图 三、小柔度杆的临界应力三、小柔度杆的临界应力 这类压杆不会出现失稳现象，应按强度问题计算。这类压杆不会出现失稳现象，应按强度问题计算。 满足满足 0的压杆的压杆 临界应力临界应力 cr = = s 小柔度杆小柔度杆（粗短杆粗短杆） 11. .3 欧拉公式的使用范围欧拉公式的使用范围 临界应力总图临界应力总图 四、临界应力总图四、临界应力总图 可见：可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小 临界应力总图临界应力总图压杆的临界应力随柔度的变化情况压杆的临界应力随柔度的变化情况 O s cr p cr s cr a b cr 2

38、 2 E p0大大 柔柔 度度 杆杆 小小 柔柔 度度 杆杆 中中 柔柔 度度 杆杆 11. .3 欧拉公式的使用范围欧拉公式的使用范围 临界应力总图临界应力总图 2.抛物线型经验公式抛物线型经验公式 2 11 ba cr S c E AA 56. 0 43. 016 2 53 ，锰钢：钢和钢、对于 。时，由此式求临界应力 c 我国建筑业常用： P91，稳定稳定因数为因数为 109. 0 160 28002800 22 j j 扒杆的扒杆的许用压力为许用压力为 kN77m3 . 0 4 Pa1010109. 0 2 6 2 AF j j 例题例题 9-4 4. 确定扒杆所能承受的许用压力确定扒

39、杆所能承受的许用压力F 因为因为 F2F1 所以所以 F=77kN 例题例题 9-4 4. 确定扒杆所能承受的许用压力确定扒杆所能承受的许用压力F 因为因为 F2F1 所以所以 F=77kN 例题例题 9-4 厂房的钢柱由两根槽钢组成，厂房的钢柱由两根槽钢组成， 并由缀板和缀条联结成整体，承并由缀板和缀条联结成整体，承 受轴向压力受轴向压力F=270 kN。根据杆根据杆 端约束情况，该钢柱的长度因数端约束情况，该钢柱的长度因数 取为取为 1.3。钢柱长钢柱长7 m，材料材料 为为Q235钢，强度许用应力钢，强度许用应力 =170 MPa。该柱属于该柱属于b类类 截面中心压杆。由于杆端连接的需要

40、，其同一横截截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截 面上有面上有4个直径为个直径为d0=30 mm的钉孔。试为该钢柱选的钉孔。试为该钢柱选 择槽钢号码。择槽钢号码。 例题例题 9-5 L 1. 按稳定条件选择槽钢号码按稳定条件选择槽钢号码 假设假设j j0.50，得到压杆的稳定许用应力为得到压杆的稳定许用应力为 MPa85MPa17050. 0 st j j 按稳定条件选择槽钢的号码，就是先由稳定条件按稳定条件选择槽钢的号码，就是先由稳定条件 ，得得 ，然后由，然后由A的值查型钢表的值查型钢表 选择槽钢号码。现在的问题是槽钢的号码未定，惯选择槽钢号码。现在的问题是槽钢的号码未定，惯 性半

41、径性半径i未知，不能由未知，不能由 算出算出 值，也无法确定值，也无法确定j j。 通常用试算法选择槽钢号码。通常用试算法选择槽钢号码。 j j A F j j F A i l 例题例题 9-5 解：解： 因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为 24 6 3 m109 .15 Pa10852 N10270 2 st F A 由型钢表查得，由型钢表查得，14a号槽钢号槽钢的横截面面积为的横截面面积为 A =18.51 cm218.5110-4 m2，而它对而它对z轴的惯性半轴的惯性半 径为径为iz=5.52 cm=55.2 mm。 下面来检查采用两根

42、下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱号槽钢的组合截面柱 其稳定因数其稳定因数j j 是否不小于假设的是否不小于假设的j j 0.5。 例题例题 9-5 165 m102 .55 m73 . 1 3 z i l 注意到此组合截面对于注意到此组合截面对于z 轴轴 的惯性矩的惯性矩 Iz 和面积和面积 A 都是单根都是单根 槽钢的两倍，故组合截面的槽钢的两倍，故组合截面的iz 值值 就等于单根槽钢的就等于单根槽钢的iz 值。于是有值。于是有 该组合截面压杆的柔度：该组合截面压杆的柔度： 例题例题 9-5 由表由表9- -3(孙训方，孙训方，材料力学材料力学)查得，查得，Q235钢钢b类类 截面

43、中心压杆相应的稳定因数为截面中心压杆相应的稳定因数为j j0.262。显然，显然， 前面前面假设的假设的j j0.5这个值过大，需重新假设这个值过大，需重新假设j j 值再值再 来试算；来试算；重新假设的重新假设的j j 值大致上取前面假设的值大致上取前面假设的j j 0.5和所得的和所得的j j0.262的平均值的平均值。 重新假设重新假设j j0.35，于是有于是有 MPa5 .59MPa17035. 0 st j j 24 6 3 m107 .22 Pa105 .592 N10270 2 st F A 例题例题 9-5 试选试选16号槽钢号槽钢，其，其 A=25.1510-4 m2，iz

44、=61 mm， 从而有组合截面压杆的柔度：从而有组合截面压杆的柔度： 2 .149 m1061 m73 . 1 3 由表由表9-3得得j j 0.311，它它略小于假设的略小于假设的j j0.35。现按现按 采用采用2根根16号槽钢的组合截面柱而号槽钢的组合截面柱而j j0.311进行稳定进行稳定 性校核。此时稳定许用应力为性校核。此时稳定许用应力为 MPa9 .52MPa170311. 0 st j j 例题例题 9-5 按横截面毛面积算得的工作应力为按横截面毛面积算得的工作应力为 MPa7 .53 m1015.25 N101352/ 24 3 A F 虽然工作应力超过了虽然工作应力超过了稳

45、定许用应力稳定许用应力52.9MPa， 但仅超过但仅超过1.5，这是允许的。这是允许的。 例题例题 9-5 2. 计算钢柱两槽钢的合理间距计算钢柱两槽钢的合理间距 为了使组合截面压杆在为了使组合截面压杆在 xy和和xz平面内有相同稳定平面内有相同稳定 性。又由于钢柱的杆端约性。又由于钢柱的杆端约 束在各纵向平面内相同，束在各纵向平面内相同， 故要求组合截面的惯性矩故要求组合截面的惯性矩 Iy = Iz。 例题例题 9-5 如果如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形分别代表单根槽钢的形 心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则 IyIz的条

46、件可表达为的条件可表达为 2 00 2 22 00 h zAII yz 亦即亦即 2 0 2 0 2 0 2 22 00 h ziAiA yz 消去公因子消去公因子2A0后有后有 例题例题 9-5 2 0 22 2 00 h zii yz 2 0 22 2 00 h zii yz 在选用在选用16号槽钢的情况下，上式为号槽钢的情况下，上式为 2 22 2 mm5 .17mm2 .18mm61 h 由此求得由此求得 h81.4 mm。实际采用的间距实际采用的间距h 不应小于此值。不应小于此值。 例题例题 9-5 3. 按钢柱的净横截面积校核强度按钢柱的净横截面积校核强度 钢柱的净横截面积为钢柱的净横截面积为2A-4d dd0 按净面积算得的用于强度按净面积算得的用于强度 计算的工作应力为计算的工作应力为 MPa5 .70 m10830. 3 N10270 42 23 3 0 d d dA F 故钢柱满足强度条件。故钢柱满足强度条件。 例题例题 9-5 机械中的工字形截面连杆，两端为机械中的工字形截面连杆，两端为柱形铰柱形铰，连，连 杆杆如在如在xy平面内失稳，可取长度因数