第6章离散时间信号的傅里叶变换

1、信号信号响应响应 系统系统 ？ 信号与系统信号与系统 第六章第六章 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 信号信号响应响应 系统系统 ？ k kn k znhknfnhnhnfny 0 )(*解： n znf 0 )( 0000 ZHzznhzny n n nn 设离散时间LTI系统冲激响应为hn,输入信号fn 为复指数信号 ，则系统响应yn 为： hn y n = fn*hn n z0 6.1 LTI离散时间系统对复指数信号的响应离散时间系统对复指数信号的响应 0 n z：特征函数 ：系统的特征值 0 ()H z n n znhzH 00 其中： 信号信号响应响应 系统系统 ？

2、如果任一离散时间信号 可以表示为: f n n kk k f na z () n kkk k y na H zz 考虑：考虑： (LTI的特性的特性) 信号信号响应响应 系统系统 ？ 6.2 6.2 离散时间周期信号的傅立叶级数离散时间周期信号的傅立叶级数 1.1.离散时间周期信号的傅立叶级数离散时间周期信号的傅立叶级数 q对于离散时间信号 f n ,若存在非零的正整数 N，对 任意 n值有: f nNf n 则称 f n是以 N为周期的周期信号. 0 2 / N 令 关于时间变量 n是则离散时间复指数信号 0 jn e 以 N为周期的 . 信号信号响应响应 系统系统 ？ 0 1 0 N jk

3、n k k f nae 以N为周期常数 1.离散时间周期信号的傅立叶级数离散时间周期信号的傅立叶级数 及各次谐波的线性组合表示为 可以的离散时间信号周期为 nj e nfN 0 , 离散傅里叶级数： nk N n k nf N a 0 j - 1 0 e 1 离散傅氏级数系数离散傅氏级数系数 离散傅氏级数离散傅氏级数 信号信号响应响应 系统系统 ？ q推导系数 k a的计算公式 : 0 1 0 N jkn k k f na e 两端乘以 0 jmn e 并在一个周期 N内关于n求和 000 11111 ()() 00000 NNNNN jmnj k mnj k mn kk nnkkn f n

4、ea eae 1.离散时间周期信号的傅立叶级数离散时间周期信号的傅立叶级数 信号信号响应响应 系统系统 ？ 0 jkn k kN f na e 0 1 jkn k nN af n e N 傅氏级数 傅氏系数 1.离散时间周期信号的傅立叶级数离散时间周期信号的傅立叶级数 nmk N 0 )j( 1 0k e 观察： mkN， mk ，0 NaNanf mmkk N k n N 1 0 jm- 1 0n 0 e 则： 信号信号响应响应 系统系统 ？ k anf一一对应 及各次谐波的线性组合可以表示为 的离散时间信号周期为 nj e nfN 0 , 1.离散时间周期信号的傅立叶级数离散时间周期信号的

5、傅立叶级数 N n N mX nk N N n 1 e 1 0 j - 1 0 信号信号响应响应 系统系统 ？ 6.3 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 1.1.离散时间周期信号的傅立离散时间周期信号的傅立叶变换叶变换 q设时限非周期信号 f n如图所示，对它进行周期 N f n 拓展可构成周期信号 信号信号响应响应 系统系统 ？ N fn 傅氏系数可表示为： 00 1 2 2 11 N jknjkn kN N n n afn ef n e NN 信号信号响应响应 系统系统 ？ 当N趋于无穷大时 0 k趋于连续变量 N f n趋于 f n 定义函数 ()F 为：()lim j

6、n k N n FNaf n e 可表示为 k a 0 1 () kk aF N 的关系信号的傅氏级数进行周期延拓后的周期 与对该非周期信号非周期信号的傅氏变换 k a F)( 信号信号响应响应 系统系统 ？ 0 1 2 0 2 1 () N jkn N N k fnF ke N 0 1 2 00 2 1 lim lim() 2 N jkn N NN N k fnF ke N f n 的傅氏级数可表示为： 信号信号响应响应 系统系统 ？ N N fnf n 0 k 0 d 1 ( ) 2 j n f nFed 信号信号响应响应 系统系统 ？ () jn n Ff n e 2 1 ( ) 2 j

7、 n f nFed 傅立叶变换 傅立叶逆变换 频谱密度函数 信号信号响应响应 系统系统 ？ 举例举例 例1: 求下列离散时间信号的傅立叶变换。 f nn（1） ,1 n f naa（3） 1 1 1, 0, nN f n nN （4） ,1 n f na u na （2） ( ) j n n Ff n e 信号信号响应响应 系统系统 ？ 解：解： () jn n Fn e （1） () ,1 njn n Fa u n ea （2） 1n F 筛选性 1 ,1 1 j a ae 信号信号响应响应 系统系统 ？ 222 1 () 1cos()sin () F aa 幅度谱 1/2a 信号信号响应响

8、应 系统系统 ？ 1 sin( ) ( )tan 1cos( ) a a 相位谱 信号信号响应响应 系统系统 ？ 1/2a 信号 （3） 1, cos21 1 )( 2 2 a aa a eaF nj n n （4） 1 1 () N jn nN Fe 1 sin(21)/2 sin(/2) N 信号信号响应响应 系统系统 ？ 例例2:求下列 ()F 的傅立叶逆变换。 0 0 1, ( ) 0, F （1） （2） ()2(2) l Fl 2 1 ( ) 2 j n f nFed 信号信号响应响应 系统系统 ？ 解解： 0 0 1 2 jn f ned （1 1） 0 sin()n n 信号

9、0 /3 频谱 信号信号响应响应 系统系统 ？ (2) 1 2(2)1 2 jn l led 2 1 () 2 j n f nFed 频谱 信号信号响应响应 系统系统 ？ 6.4 离散时间信号傅立叶变换的性质离散时间信号傅立叶变换的性质 1.1.周期周期性性 离散时间信号的傅立叶变换 ()F 是以 2 为周期的： 2.2.线性线性 如果 1122 () , ()f nFf nF FF ,则 12 ,a a 是常数 (2 )()FF 11221122 ()()a f naf na Fa F F 信号信号响应响应 系统系统 ？ 3.3.时移特性时移特性 如果 ()f nF F ,则 证明：证明：

10、2 1 ( ) 2 j n f nFed 0 0 2 1 () 2 jnjn f nnFeed 两边用 0 nn 代替 n 0 0 () jn f nneF F 6.4 离散时间信号傅立叶变换的性质离散时间信号傅立叶变换的性质 信号信号响应响应 系统系统 ？ 4.4.频移特性频移特性 如果 ()f nF F ,则 () jn n Ff n e 0 0 () jnjn n Ff n ee 两边以 0 代替 0 0 () jn ef nF F 6.4 离散时间信号傅立叶变换的性质离散时间信号傅立叶变换的性质 信号信号响应响应 系统系统 ？ 例例: 求下列离散时间信号的傅立叶变换。 0 jn e (

11、1) 0 cos()n(2)(3) 0 sin()n 解解:12(2) l l F (1) 频移特性 0 0 2(2) jn l el F 0 0 2(2) jn l el F 信号信号响应响应 系统系统 ？ (2) 00 0 cos()()/2 jnjn nee 傅氏变换的线性 欧拉公式 000 cos() (2)(2) l nll F 傅氏变换 信号信号响应响应 系统系统 ？ (3) 同理可得 000 sin() (2)(2) l njll F 傅氏变换 信号信号响应响应 系统系统 ？ 考虑考虑：离散时间周期信号的傅立叶变换。 傅氏级数：傅氏级数： 1 (2/) 0 N jknN k k

12、f na e 0 0 2(2) jn l el F 1 0 2 2(2) N k kl k f nal N F 2 2() k k k f na N F (6.4.9) 信号信号响应响应 系统系统 ？ 5.5.时域展宽特性时域展宽特性 q信号 f n 时间上展宽 N倍的信号 1 f n可表示为: 1 0, n fnN f nN ,为 的整数倍 其它 q信号 f n 的傅氏变换的时域展宽特性为： 如果 ()f nF F ,则 1 ()f nF N F 信号信号响应响应 系统系统 ？ 证明：由于信号 1 f n 仅在n为N的整数倍时不为零，所以 111 jnjkN nk f nf n ef kN

13、e F 1 f kNf k 1 () j kN k f nf k eF N F 信号 f n 在时间上展宽 N倍，其频谱在频率上 压缩 N倍 信号信号响应响应 系统系统 ？ 时域展宽 q对方波信号，当 2N 时的时域展宽和频谱压缩情况 如图所示: 信号信号响应响应 系统系统 ？ 频谱压缩 信号信号响应响应 系统系统 ？ 如果 ()f nF F ,则 () jn n Ff n e () j n n Ffn e 证明证明: 两边取共轭 6. 共轭对称特性共轭对称特性 ()fnF F () jn n Ffn e 用代替 信号 f n 是实的 ( )()FF 信号信号响应响应 系统系统 ？ 7. 7.

14、 时域卷积特性时域卷积特性 () , ()f nFh nH FF ，则: ( )( )f nh nFH F 证明：证明： j n n f nh nf nh ne F jn kn f kh nk e jkjm km f nh nf k eh m e F nkm ()()FH 信号信号响应响应 系统系统 ？ 傅氏变换的时域卷积特性 信号信号响应响应 系统系统 ？ 例:已知LTI离散时间系统冲激响应和输入信号分别为: sin(/3)sin(/4) , nn h nf n nn 求系统响应 y n？ 解：解： 系统响应 y n 应为冲激响应和输入信号的卷积和 y nf nh n利用傅氏变换的时域卷积特

15、性求解 信号信号响应响应 系统系统 ？ 1,/3 sin(/3) ( ) 0,/3 n h nH n F 1,/4 sin(/4) ( ) 0,/4 n f nF n F 时域卷积特性 ()()()()YFHF 系统响应为 sin(/4) n y nf n n 信号信号响应响应 系统系统 ？ 8.8.时域差分特性时域差分特性 如果 ()f nF F ,则 例: 求下列离散时间信号的傅立叶变换。 (1) 1 1 2 b nunu n (2) 求单位阶跃信号 u n的傅氏变换。 1(1) ( ) j f nf neF F 信号信号响应响应 系统系统 ？ 1 1 2 b nunu n 信号信号响应响

16、应 系统系统 ？ 解解：(1)信号 1 1 2 b nunu n 的波形如图所示， b n可以看出 的一阶差分为 1 b nb nb nn (1) ( )1 j eB 设信号 b n的傅氏变换为 ()B ，根据时域差分 特性，有 信号信号响应响应 系统系统 ？ 11 1 21 j b nunu n e F 信号信号响应响应 系统系统 ？ (2)阶跃信号 u n可用信号 b n表示为 1 2 u nb n 12(2) l l F 11 1 21 j b nunu n e F 1 (2) 1 j l u nl e F 信号信号响应响应 系统系统 ？ 9.9.时域累加特性时域累加特性 如果 ()f

17、nF F ,则 证明证明: ( ) nn mm f mf nmf nu n 1 ()(2) 1 n j ml f mFl e F时域卷 积特性 1 ()(0)(2) 1 n j ml f mFFl e F 1 ()(0)(2) 1 n j ml f mFFl e F 信号信号响应响应 系统系统 ？ 10.10.能量定理能量定理帕斯瓦关系帕斯瓦关系 如果 ()f nF F ,则 22 2 1 ( ) 2 n f nFd 信号信号响应响应 系统系统 ？ 证明证明: 2 2 1 ( ) 2 j n nnn f nf n fnf nFed 交换积分与 求和的顺序 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( )

18、 2 j n n Ff n ed Fd 信号信号响应响应 系统系统 ？ 例例: 利用帕斯瓦关系 (1)求信号 0 sin() n f n n 的能量。 (2)求级数 2 0 1 (21) n A n 的值。 解：解： 0 0 0 1, sin() ( ) 0, n F n F (1) 22 0 2 1 () 2 n Ef nFd 帕斯瓦关系 信号信号响应响应 系统系统 ？ (2)如果 0 /2 ，则信号能量为 2 2sin(/2) nn n Ef n n 2 2222 11111 11 34352 E 2 222 0 111 1 (21)358 n A n 信号信号响应响应 系统系统 ？ 11

19、.11.时域相乘（幅度调制）特性时域相乘（幅度调制）特性 如果 () , () ,f nFg nG FF 则 证明证明： j n n f n g nf n g n e F 2 1 ( ) () 2 f n g nFGd F () 2 1 ( ) 2 jn n f n g nFg n ed F 2 1 ( ) () 2 f n g nFGd F 根据傅氏变换定义 信号信号响应响应 系统系统 ？ 例例: 用时域相乘特性证明帕斯瓦关系式 证明证明：根据幅度调制特性式有 2 1 () () 2 j n n f n g n eFGd g nfn 令 2 1 ()() 2 j n n f n fn eFF

20、d 222 22 11 ()( ) 22 n f nFdFd 令 0 信号信号响应响应 系统系统 ？ 12. 12. 频域微分特性频域微分特性 如果 ()f nF F ,则 例例:求信号 n na u n和(1) n na u n的傅立叶变换，1a () () dF jn f n d F 信号信号响应响应 系统系统 ？ 2 () (1) j n j jae jn a u n ae F 频域微分特性 2 (1) j n j ae na u n ae F 线性性质 1 2 (1)1 (1) j nj j ae nau ne ae F 时移特性 N=-1时信号为0 解：解： 1 ,1 1 n j a

21、 u na ae F 信号信号响应响应 系统系统 ？ 2 1 (1) (1) n j na u n ae F (1)!1 !(1)!(1) n jr nr a u n n rae F 一般公式 信号信号响应响应 系统系统 ？ 6.6 LTI离散时间系统的频率响应与理想滤波器离散时间系统的频率响应与理想滤波器 1.1.离散时间系统频率响应离散时间系统频率响应 v一个LTI离散时间系统可用线性常系数差分方程描述为 00 NM kl kl c y nkd f nl 通常取 0 1c 。设 , f ny n的傅氏变换为 ( ), ( )f nFy nY FF 信号信号响应响应 系统系统 ？ 利用离散时

22、间傅立叶变换的线性和时移特性，可得 v定义LTI离散时间系统的频率响应 ( )H 为 001 1 0 ( ) ( ) ( )1 M j l jj Ml lM Njj N j k N k k d e dd ed eY H Fc ec e c e 00 ( )( ) NM j kj l kl kl c eYd eF 信号信号响应响应 系统系统 ？ () ( )( ) H j HHe 幅频特性 相频特性 表示为模和相角的形式 信号信号响应响应 系统系统 ？ 例例: 一个因果LTI离散时间系统的差分方程为 71 12 1212 y ny ny nf n v(1)求系统频率响应和冲激响应。 v(2)设系

23、统的输入信号为 1 ( ) 2 n f nu n 系统响应 y n ，求 信号信号响应响应 系统系统 ？ 2 1 () 71 1 1212 jj H ee 34 () 11 (1)(1) 43 jj H ee 部分分式展开 求傅氏逆变换，系统的冲激响应为 11 3( ) 4( ) 43 nn h nu nu n 解：解： (1)系统的频率响应 ()H 为 信号信号响应响应 系统系统 ？ (2) 输入信号的傅氏变换为 f n 1 ( ) 1 1 2 j F e ()()()YFH 时域卷积特性 1 ( ) 111 (1)(1)(1) 432 jjj Y eee 信号信号响应响应 系统系统 ？ 3

24、86 ( ) 111 (1)(1)(1) 432 jjj Y eee 傅氏逆变换得系统响应 111 3( ) 8( ) 6( ) 432 nnn y nu nu nu n(6.6.7) 信号信号响应响应 系统系统 ？ 2.2.离散时间理想滤波器离散时间理想滤波器 对频率选择性滤波器，允许信号无失真通过的频带范 围称为通带通带，而禁止信号通过的频带范围称为阻带阻带。 q(1)(1)离散时间理想低通滤波器离散时间理想低通滤波器 理想低通低通滤波器的频率响应为 称为低通滤波器的截止角频率。 c ( ) 0, 1, c c H 信号信号响应响应 系统系统 ？ 相应的系统冲激响应为 sin() cn h

25、 n n 信号信号响应响应 系统系统 ？ q(2)离散时间理想高通滤波器离散时间理想高通滤波器 理想高通高通滤波器的频率响应为 称为高通滤波器的截止角频率。 c ( ) 1, 0, c c H 信号信号响应响应 系统系统 ？ q(3)离散时间理想带通滤波器离散时间理想带通滤波器 理想带通带通滤波器的频率响应为 角频率 012 ()/2 称为带通滤波器的中心频率。 12 1,0 ( ) 0, H 其他 信号信号响应响应 系统系统 ？ 6.9 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT） 1. 离散傅立叶变换的概念离散傅立叶变换的概念 v设时限信号 0,0f nnnL和 信号的点数 根据信号 f n构

26、造周期信号 N fn ，且设周期 N L 信号信号响应响应 系统系统 ？ v信号 f n的傅氏变换 v周期信号 N fn 的傅氏级数系数 0 11 (2/) 00 11 NN jknjkN n kN nn afn ef n e NN 11 00 () LN jnjn nn Ff n ef n e 信号信号响应响应 系统系统 ？ 是以 傅氏系数 k a 2 / N为间隔对 ()F 取样并除以 N的结果。 常数 v定义 ( )F k为 1 (2/) (2/) 0 ( ) (),0,1,1 N jkN n k N k n F kNaf n eFkN 信号信号响应响应 系统系统 ？ 周期信号 N fn

27、 可用傅氏级数表示为 1 (2/) 0 1 ( ),0,1,1 N jkN n k f nF k enN N 11 (2/)(2/) 00 1 ( ) NN jkN njkN n Nk kk fna eF k e N 信号信号响应响应 系统系统 ？ v定义旋转因子（rotation factor） N W 为 (2/)jN N We 1 0 ( ) ,0,1,1 N kn N n F kf n WkN 1 0 1 ( ),0,1,1 N kn N k f nF k WkN N 离散傅立叶变换 离散傅立叶逆变换 信号信号响应响应 系统系统 ？ 设 N为偶数，观察旋转因子 N W 可发现下列关系：

28、 1 kn N W kn为 N/2的偶数倍时 kn为 N/2的奇数倍时 1 kn N W , Nrr NN WW /2Nrr NN WW 可导出快速傅立叶变换（Fast Fourier transform）,简称FFT 信号信号响应响应 系统系统 ？ 2. DFT与离散与离散时间信号的循环卷积和卷积时间信号的循环卷积和卷积 0,01f nnnL和( ),0,1,1 k F kNakN 0,0h nnnM和 ( ),0,1,1 k H kNbkN 周期卷积 NNN kN znfk hnk 信号信号响应响应 系统系统 ？ ,0 0, N znnN z n 其它 v设时限信号 时限信号 z n为时限

29、信号 f n的循环卷积循环卷积 和 h n z nf n hnN 信号信号响应响应 系统系统 ？ v设 z n的DFT为 ( )Z k,周期信号 N zn 的傅氏系数为 k c ( ),0,1,1 k Z kNckN kkk cNa b式(6-2-19) ( )( )/,0,1,1 k cF k H kNkN ( )( )( ),0,1,1Z kF k H kkN ( )( )( ) DFT h nZ kF k H k z nf n N 信号信号响应响应 系统系统 ？ 例例6.9.1 已知离散时间序列 f n h n和 为 2,1,1,0,1,2f nn 2,2,1,0,1,2h nn q(1)求信号 f n h n和的卷积 y nf nh n q(2)若N=3，求信号 f n h n和的离散傅立叶