第七章 扭转-01

1、第七章第七章 柱体扭转柱体扭转 圆轴扭转平面假设 非圆截面柱体横截面翘曲 柱体扭转精确求解是十分困难的 目录目录 7.1 7.1 扭转问题的位移解法扭转问题的位移解法 7.2 7.2 扭转问题的应力解法扭转问题的应力解法 7.4 7.4 椭圆截面杆件的扭转椭圆截面杆件的扭转 7.3 7.3 薄膜比拟法薄膜比拟法 7.5 7.5 开口薄壁杆件的扭转开口薄壁杆件的扭转 7.6 7.6 闭口薄壁杆件的扭转闭口薄壁杆件的扭转 7.1 扭转问题的位移解法扭转问题的位移解法 柱体扭转柱体扭转 自由扭转自由扭转翘曲不受限制翘曲不受限制 约束扭转约束扭转翘曲受到限制翘曲受到限制 弹性力学讨论 自由扭转自由扭转

2、 7.1 位移解法位移解法 2 关于圆截面直杆的扭转问题，材料力学的解答， 即；剪应力与点到圆心的距离r成正比且与之 垂直，变形后横截面仍保持为平面，是正确 的。 这一结论是库仑于1784年提出的。后来法国人 纳维叶（Navier）将这一结果应用于非圆截面直 杆的扭转，但这样作的结果是错误的，这可由 受扭矩形截面杆的剪应力与边界条件不符合得 到证明。 7.1 位移解法位移解法 2 对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左 端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产 生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。 设柱体左端面形心为坐标原 点，柱体轴线为z 轴建立坐 标系。 柱体扭转

3、时发生变形，设坐 标为 z 的横截面的扭转角为a a ，则柱体单位长的相对扭相对扭 转角转角为 而横截面的扭转角而横截面的扭转角a a = = j j z z a j= 7.1 位移解法位移解法 3 根据观察，对柱体内部位移作以下的假设： 1. 刚截面假设: 柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy 平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕 z 轴 转动，如图所示。 当扭转角 a 很小时，设 OP=r，则P点的位移为 ,coscoscoscossinsincos sin ,sinsinsincoscossincos cos zy u x y v x y zx rarraar ra rarraa j

4、 j r ra = = = = = = 2 横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角j成 正比，而且各个截面的翘曲相同,即w=jF (x，y)。 7.1 位移解法位移解法 4 1855年，圣维男（Saint-venant）采用半逆解法， 从分析位移入手，提出了等截面直杆扭转的解答。 F(x，y)称为圣维南(Saint Venant)扭转函数，或者 称为翘曲函数。 柱体自由扭转计算模型柱体自由扭转计算模型 l扭转假设： xzv yzu j j = = ),(yxwj= 1. 1. 刚截面刚截面假设假设 扭转与圆轴扭转变形相同扭转与圆轴扭转变形相同 2. 2. 翘曲翘曲假设假设 各个截面的翘曲相同各

5、个截面的翘曲相同 7.1 位移解法位移解法 5 根据上面的分析可见，对非圆截面柱体扭转问题的根据上面的分析可见，对非圆截面柱体扭转问题的 位移分量位移分量u,v,wu,v,w仅是坐标仅是坐标x,yx,y的二维函数。的二维函数。 根据几何方程，应变分量为根据几何方程，应变分量为 根据本构方程，应力分量为根据本构方程，应力分量为 , 0 xz xyzy yz x yx xy jj FF = = = , 0 x y yy z z xz x GyGx xy jj = FF = = = = ,( , ),yzxzyuvwxjjj= = 1.平衡微分方程 0 0 0 = = = bz z yz z by

6、zyyxy bx zx yx x F zyx F zyx F zyx 0 yz xz xy = 不计体力时， 7.1 位移解法位移解法 7 l柱体扭转边界条件 对于自由扭转问题，在侧边界没有载荷作用。 由于 ，只有 和 不等于零。 下面分为柱体侧面和端面两部份面力边界条件讨论； 0 xyzxy = xz yz 2. 面力边界 nmlF nmlF nmlF zyzxzsz zyyxysy xzxyxsx = = = 1)1)端面边界端面边界: :L=m=0L=m=0 ,n=1 ,n=1 0 0 ,0 sx D sy D sys zx D zy D zyzxx DD sxzxsyzysz F dx

7、dy F dxdy F dxdy dxdy xy dxxF y dxddyyT FFF = = = = = = 0 ,0 ,0. 0 sxsysz zyzx FFF lm = = 自由边界给定面力为零 2)2)横截面侧边界横截面侧边界: :L L、mm ，n=n=0 0 sxxz syzy szxzyz Fn Fn Flm = = = 7.1 位移解法位移解法 5 对于位移法求解，需要将平衡微分方程用对于位移法求解，需要将平衡微分方程用 位移分量表示位移分量表示 位移解法基本方程 将位移表达式代入上式，将位移表达式代入上式，则则 上式为上式为Laplace Laplace 方程，方程， 它表示

8、位移分量如果满足位移表示的平衡微分方程，它表示位移分量如果满足位移表示的平衡微分方程， 即即LamLam方程时，则扭转翘曲函数方程时，则扭转翘曲函数F F (x，y)为调和函数。为调和函数。 0 2 2 2 2 2 =F= F F yx 调和方程 7.1 位移解法位移解法 6 对于平衡微分方程平衡微分方程，在不计体力不计体力的条件下，的条件下， 前两个方程自然满足，只有最后一个方程，为前两个方程自然满足，只有最后一个方程，为 0 yz xz xy = , 0 x y yy z z xz x GyGx xy jj = FF = = = = ,( , ),yzxzyuvwxjjj= = 7.1 位

9、移解法位移解法 7 侧面边界条件侧面边界条件: 因此，在横截面周界S上，有 0y lx m xy FF = xmylm y l x = F F （在S上） 端面边界条件端面边界条件: 考察右端面，考察右端面，l=m=0，而，而n=1。 面力的合力为外力矩面力的合力为外力矩T。 7.1 位移解法位移解法 8 0 0 zx D zy D zyzx D dxdy dxdy xy dxdyT = = = 对于上述边界条件的前两式，对于上述边界条件的前两式， 同理同理 所以，在满足侧边界条件下，所以，在满足侧边界条件下， 端部边界条件的前两式是恒满足的。端部边界条件的前两式是恒满足的。 7.1 位移解法

10、位移解法 9 0 zx DD D s xy y l dxdyGy dxdy x Gdxdy xy xGx xx y x s x dm y j j j F = = F FF = F 0 zy D dxdy= 0y lx m xy FF = 对于端部边界条件的第三式，有对于端部边界条件的第三式，有 令令 则则： T = j jGKD 其中其中K KD D表达了横截面的几何特征表达了横截面的几何特征( (抗扭系数抗扭系数) )，GKGKD D 称为柱体的称为柱体的抗扭刚度抗扭刚度。 7.1 位移解法位移解法 9 22 D D TGx xy y dxdy yx Gxyxydxdy yx j j FF

11、= FF = 22 D D Kxyxydxdy yx FF = 0 0 zx D zy D zyzx D dxdy dxdy xy dxdyT = = = 总之，柱体的自由扭转的总之，柱体的自由扭转的位移解法位移解法，归结为在边界条件，归结为在边界条件 相对扭转角相对扭转角j j由公式由公式T =j j GKD确定。确定。 7.1 位移解法位移解法 9 0 2 2 2 2 2 =F= F F yx 求解方程求解方程 xmylm y l x = F F （在S上） 扭转问题的位移解法方程虽然简单，但是边界条件相对扭转问题的位移解法方程虽然简单，但是边界条件相对 比较复杂，比较复杂，因此通常使用应

12、力解法求解柱体的扭转问题。因此通常使用应力解法求解柱体的扭转问题。 根据扭转问题的平衡微分方程，可得根据扭转问题的平衡微分方程，可得 因此，必然有一个函数因此，必然有一个函数 (x,y)，使得使得 7.2 扭转问题的应力解法扭转问题的应力解法 yz xz xy = , xzyz yx = 将上述扭转应力分量将上述扭转应力分量 代入变形协调方程，代入变形协调方程， 所以，函数所以，函数 (x,y) 满足满足 22 0,0 xzyz = 22 0,0 xy = 则前四个方程恒满足，则前四个方程恒满足， 而后两个方程要求而后两个方程要求 1010 1010 1010 2 2 2 2 2 2 2 2

13、2 2 2 2 2 2 2 = = = xxy xzy xzx xx y xz y xz x , , , 2 2Gj= (),()GyGx yxxy jj FF = (x, y)普朗特（Prandtl）扭转应力函数 将扭转应力函数与翘曲函数公式相比较，将扭转应力函数与翘曲函数公式相比较， 则扭转应力函数与翘曲函数的关系为则扭转应力函数与翘曲函数的关系为 因此因此 2 , x yC= 将上式代入变形协调方程，则 C=2Gj 。 泊松方程 扭转问题应力解法的基本方程 7.2 应力解法应力解法 2 7.2 应力解法应力解法 3 c=const 边界条件 侧面侧面 端面端面 单连域取为0，即： 侧面侧

14、面边界条件：0 xzyz lm= 0 dydx lm yxy dsx dss = 但是应该注意，如果柱体横截面为多连域时，应力函 数在每一个边界都是常数，但是各个常数一般并不相 同。因此，只能将其中一个边界上的 c取为零。 c=0 7.2 应力解法应力解法 4 端面端面边界条件： XYZ xzyz =,0 考察右端面，考察右端面，l=m=0l=m=0，而，而n=1n=1。 因此面力边界条件：因此面力边界条件： 面力的合力为外力矩面力的合力为外力矩T T， 则则端面面力边界条件为端面面力边界条件为： 0 0 D D D Xdxdy Ydxdy YxXy dxdyT = = = 可以证明， 只要c

15、(x,y)=C（C为常数）， 前二式是自然满足的，即端部应力之合力为零 = S yxTdd2 2 2 2 yzxz DD D c D c c D Txy dxdyxy dxdy xy xydxdy xy x ly m dsdxdy xlym dsdxdy = = = = 7.2 应力解法应力解法 5 下面推导应力函数 , x y 表示的扭矩T关系式 横截面为单连通区域， c=0 扭矩方程扭矩方程 Prandtl 应力丘方程应力丘方程 2V 横截面为多连通区域 C 0 0 ,0 C x y= CCCC n123 , KKKK n123 , 设应力函数在外边界上的值为零，即 在内边界 的值分别为

16、7.2 应力解法应力解法 6 0,123 , 1 2 2 n i c C C C CC D n i C i D Txlym dsdxdy xlym dsdxdy = = = 由Green公式计算得 11 22 ii i i i CC C A i A xlym dsxdyydx xdyydx dxdy dxdyA = = = = = 反向 1 22 n ii i D TdxdyK AV = = 7.2 应力解法应力解法 7 扭矩方程的这种直观的几何解释，为下一节将 要介绍的借助所谓“薄膜比拟”法求解复杂截 面柱杆的扭转问题提供了理论依据。 横截面为多连通域的横截面为多连通域的 扭矩方程扭矩方程

17、Prandtl 应力丘方程应力丘方程 7.2 应力解法应力解法 8 横截面为单连通域的扭转问题应力解法横截面为单连通域的扭转问题应力解法 在截面内要求满足泊松方程 在边界上，要求满足 c(x,y)=0 2 2Gj= 22 D TdxdyV= Prandtl 应力丘方程单位长度扭转角 扭转应力 , xzyz yx = 7.4 椭圆截面杆件扭转椭圆截面杆件扭转 设有椭圆截面直杆，它的横截 面为椭圆边界，椭圆的长短半轴 分别为a和b，如图所示 x a y b 2 2 2 2 1= 根据自由扭转问题的基本方程， 应力函数在横截面的边界上应该 等于零，所以假设应力函数为： 22 22 1 xy m ab

18、 = x,y 7.4 椭圆截面杆件椭圆截面杆件2 2 2Gj= 将上式代入基本方程： 22 2222 22 2, mma b G Gm abab j j= = 则扭转基本方程满足 2222 2222 ,1 a b Gxy x y abab j = 将应力函数代入端面边界条件公式，则： 2222 2222 2 2,1 a b Gxy Tx y dxdydxdy abab j = 7.4 椭圆截面杆件椭圆截面杆件3 在椭圆区域，有： 计算可得 回代可得应力函数表达式 22 22 ,1 Txy x y ab ab = 将其代入应力分量计算公式，可以得到横截面应力分量为 x ba T y ab T y

19、zxz 33 2 , 2 = 7.4 椭圆截面杆件椭圆截面杆件4 横截面上的任意一点的合成切应力为： 最大切应力发生在椭圆边界上，边界切应力 最大值在椭圆短轴处，而最小值在椭圆的长 轴处，如图所示 4 2 4 2 22 2 b y a x ab T yzxz = ba T ab T 2 min 2 max 2 , 2 = 7.4 椭圆截面杆件椭圆截面杆件5 椭圆截面翘曲椭圆截面翘曲 w(x,y) 由于 将上面两式分别对x和y积分，则 7.4 椭圆截面杆件椭圆截面杆件6 比较上述两式，必然有比较上述两式，必然有f1(x) = f1(x)k(常数常数)，所以，所以 22 22 ( , ) ab x

20、 yxy ab = 常数 xy bGa ba Tyxw 33 22 ),( =j 上式表达了横截面在变形后并不是保持为平面，而是翘曲成上式表达了横截面在变形后并不是保持为平面，而是翘曲成 为曲面，成为双曲抛物面，如图所示。为曲面，成为双曲抛物面，如图所示。 曲面的等高线在曲面的等高线在Oxy面上的投影是双曲线，而且这些双曲线面上的投影是双曲线，而且这些双曲线 的渐近线是的渐近线是x轴和轴和y轴。轴。 只有当只有当a=b时，即圆截面杆，才有时，即圆截面杆，才有w=0，横截面保持为平面。横截面保持为平面。 7.3 薄膜比拟薄膜比拟 德国力学家普朗特 （Prandtl） 基本思想： 作用均匀压力的薄膜与柱 体扭转有着相似的微分方 程和边界条件 7.3 薄膜比拟薄膜比拟2 薄膜比拟法 通过测试薄膜弯曲的情 况，分析柱体扭转时横 截面的应力分布 T 2 2 2 2 2 F q Z y Z x Z = 薄膜边界垂度 Z=0 = S yxZVdd22 薄膜所围的体积 调整薄膜的高度， 使2V=T，则 Z= ， 薄膜垂度Z与扭转应力函数具有相同的函数