第三章 傅里叶变换

1、信号与系统信号与系统 Signals and Systems 第第3章章 傅里叶变换傅里叶变换 Signals and Systems 3.1 3.1 信号的正交函数分解信号的正交函数分解 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 3.3 3.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 3.7 3.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 3.8 3.8 抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换 3.9

2、3.9 时域抽样定理时域抽样定理 3.10 3.10 从抽样信号恢复连续时间信号从抽样信号恢复连续时间信号 3.11 3.11 非周期信号的能量密度谱非周期信号的能量密度谱 中国民航大学 CAUC 3.1 3.1 信号的正交函数分解信号的正交函数分解 则称则称f1(t)与与f2(t)在在(t1 ，t2)上上正交。正交。 0 0) )d d( () )( ( ttftf t t 21 2 1 2. 复变函数：复变函数：若有若有n个复变函数个复变函数fi(t) （i=1，n） 在区间在区间( t1，t2)上满足上满足 上正交。在区间则称),()(,),(),( 2121 tttftftf n 1.

3、 实变函数：实变函数：若实函数若实函数f1(t) 和和f2(t)在在( (t1 ，t2) )上满足上满足 jik ji ttftf i j t t i , , 2 1 0 0 ) )d d( () )( ( * * 中国民航大学 CAUC 3.1 3.1 信号的正交函数分解信号的正交函数分解 3. 完备正交函数集：完备正交函数集：若若f1(t) ， fn(t) 在区间在区间( t1，t2)上上 为正交函数集，不再存在任意函数为正交函数集，不再存在任意函数 (t)与其正交，则与其正交，则 f1(t) ， fn(t) 称为称为完备正交函数集。完备正交函数集。 1. 三角函数集三角函数集: : )s

4、in()cos(tntn, , ( t0，t0 +T ) , ,1 1, ,2 2, , 0n 2. 指数函数集指数函数集: : tnj j e e, ,2 2, ,1 1, , 0n ( t0，t0 +T ) 3. 抽样函数集抽样函数集: : 4. Walsh函数集函数集: : - -S Sa a nt T ( - ， ) ( 0，1 ) , ,1 1, ,2 2, , 0n , ,2 2, ,1 1, , 0n ) ), ,( (W Wtnal 中国民航大学 CAUC 3.1 3.1 信号的正交函数分解信号的正交函数分解 定理定理1 1 若若f1(t) ， fn(t) 在区间在区间( t1

5、，t2)上为完备正交函数上为完备正交函数 集，则在集，则在 ( t1，t2)上满足上满足Dirichlet条件的函数条件的函数 f(t)可以可以表示为以表示为以 下的无穷级数：下的无穷级数： .)( .)()()( 2211 tfctfctfctf rr ttfttftfc t t k t t kk d)(/d)()( 2 * 2 1 2 1 其中其中（傅立叶系数）（傅立叶系数） 定理定理2 2 若若f(t)可用可用完备正交函数集完备正交函数集 f1(t) ， fn(t) 表示，则表示，则 ttfcttf n t t nn t t d)(d)( 2 1 2 2 1 2 1 （Parserval

6、定理定理） 物理意义：物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完 备正交函数集中各分量能量（功率备正交函数集中各分量能量（功率)之和。之和。 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 ，将信号表示为不同频率，将信号表示为不同频率 的线性组合，为不同信号之间进行比较的线性组合，为不同信号之间进行比较 提供了途径，而且提供了途径，而且单频正弦信号激励下的响应单频正弦信号激励下的响应 的分析在技术上是很成熟的的分析在技术上是很成熟的。 ，已知单频正弦信号激励下的，已知单频正弦信号激励下的 响应，利

7、用响应，利用可求得多个不同频率可求得多个不同频率正弦正弦 信号信号同时激励下的总响应，而且每个正弦分量同时激励下的总响应，而且每个正弦分量 通过系统后，是衰减还是增强一目了然。通过系统后，是衰减还是增强一目了然。 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 周期信号周期信号f (t)应满足应满足，即：，即： 绝对可积，即满足绝对可积，即满足 在在一个周期一个周期内只有有限个的不连续点；内只有有限个的不连续点； 在在一个周期一个周期内只有有限个极大值和极小值。内只有有限个极大值和极小值。 条件（条件（1 1） 为充分条件但不是必要条件；为充分条件但不

8、是必要条件； 条件（条件（2 2）（）（3 3）是必要条件但不是充分条件。）是必要条件但不是充分条件。 ttf T T d )( 2/ 2/ 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 2/ 2/ 1 0 1 1 d)( 1 T T ttf T a其中： )sincos()( 1 110 n nn tnbtnaatf 2/ 2/ 1 1 1 1 )1,2=( d)cos()( 2 T T n nttntf T a 2/ 2/ 1 1 1 1 )1,2=( d)sin()( 2 T T n nttntf T b 1=2 f1= 2 /T1, ,T1为

9、为f(t)的周期。的周期。 （直流（直流/平均分量）平均分量） （余弦分量幅度）（余弦分量幅度） （正弦分量幅度）（正弦分量幅度） 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 )sincos()( 1 110 n nn tnbtnaatf 1基本角频率（基本角频率（基频基频） nn nn nn bb aa a0、an、bn傅里叶系数傅里叶系数 cos(n 1t) 、 、 sin(n 1t) n次谐波次谐波 cos 1t 、 、 sin 1t 基波基波 a0信号的直流信号的直流/ /平均分量平均分量 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的

10、傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 )sincos()( 1 110 n nn tnbtnaatf 1 10 cos)( n nn tncctf）（ , , 22 00nnn bacac n n n a b arctg c0称为信号的称为信号的，c1cos( 1t+ 1)为为基波分量基波分量， cn cos(n 1t+ n) （n1）为为。 c1 0 0，cn 0。 周期信号可分解为直流、基波和各次谐波的线性组合周期信号可分解为直流、基波和各次谐波的线性组合。 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 例例 求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展

11、开式。求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。 已知：已知： t T A tf 0 )( , 2/2/ 00 TtT 解：解： 2 200 0 0 0 0 1 T T tdt T A T a , 3 , 2 , 1 ) 1( 1 n n A n 傅里叶级数展开式为傅里叶级数展开式为： t A t A tf 11 2sin 2 sin0 基波基波 直流直流 谐波谐波 0d)cos( 2 2/ 2/ 1 00 o o T T n ttnt T A T a 2/ 2/ 1 00 d)sin( 2 o o T T n ttnt T A T b A/2 -A/2 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2

12、周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 tn n n Ftf 1 j = e )( ttf T F T T tn n de)( 1 2 2 j 1 1 1 1 其中其中 傅氏系数傅氏系数 000 caF )0( e)j( 2 1 j nFbaF n nnnn )0( e)j( 2 1 j- nFbaF n nnnn )0( 2 1 2 1 22 ncbaFF nnnnn Fn n F * 两种形式两种形式 傅氏级数傅氏级数 的傅氏系的傅氏系 数之关系数之关系 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 1 10 cos)( n nn tn

13、cctf）（ tn n n Ftf 1 j = e )( tn n n tn n n FFFtf 11 j 1 j 1 0 ee)( tn n tn n n FFF 11 jj 1 0 ee ) e Re(2 1 j 1 0 tn n n FF 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 试计算图示周期矩形脉冲信号的试计算图示周期矩形脉冲信号的展开式。展开式。 解解: 1）指数形式）指数形式 ) 2 (Sa 1 1 n T A tA T ttf T F tn T T tn n de 1 de)( 1 2 2 j 1 2 2 j 1 1 1 1 1

14、tj = 1 1 1 e ) 2 (Sa n n n T A tn n n Ftf 1 j = e )( 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 2）三角形式）三角形式 tnnTATAtf n 111 1 1 cos)2/(Sa)/2()/()( 可得，周期方波信号的可得，周期方波信号的展开式为展开式为 )5cos 5 1 3cos 3 1 (cos 2 2 )( 111 ttt AA tf 若若 =T1/2，则有，则有 ) e Re(2)( 1 j 1 0 tn n n FFtf 由由 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶

15、级数分析周期信号的傅里叶级数分析 求求 Fn 。 )4( j)4( j 11 ee 2 1 3 tt tt 11 j4jj4j ee 2 3 ee 2 3 4 j 1 4 j 1 e 2 3 ,e 2 3 FF1, 0nFn )4cos(3)( 1 ttf 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 1） f(t)为偶函数：为偶函数：f(t)=f(-t) 0 n b 11 2 0 1 0 1 d)( 2 T ttf T a f(t)傅氏级数展开式中，可能含有直流项和傅氏级数展开式中，可能含有直流项和 余弦项，而不含有正弦项。余弦项，而不含有正弦项。

16、 2 0 1 1 1 d)cos()( 4 T n ttntf T a 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 2） f(t)为奇函数：为奇函数：f(t)= f(t) f(t)傅氏级数展开式中，只可能含有正弦项，傅氏级数展开式中，只可能含有正弦项， 而不会含有直流项和余弦项。而不会含有直流项和余弦项。 2 0 1 1 1 d)sin()( 4 T n ttntf T b 1 1 a0=0 an=0 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 2 1 T tftf 为偶数nttntf T b T n

17、， d)sin()( 4 2 0 1 1 1 ）f(t)为偶谐函数（偶半波对称函数）：为偶谐函数（偶半波对称函数）： )( 2 2 0 1 0 1 T ttf T a 为偶数nttntf T a T n , d)cos()( 4 2 0 1 1 1 f(t)傅氏级数展开式中，只含有直流分量和傅氏级数展开式中，只含有直流分量和 偶次谐波，而不含有奇次谐波。偶次谐波，而不含有奇次谐波。 波形移动波形移动 T1/2，与原波形重合，与原波形重合 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 2 1 T tftf 为奇数nttntf T b T n ， d)s

18、in()( 4 2 0 1 1 1 4）f(t)为奇谐函数（奇半波对称函数）：为奇谐函数（奇半波对称函数）： 0 0 a f(t)傅氏级数展开式中，只含有奇次谐波，傅氏级数展开式中，只含有奇次谐波， 而不含有直流分量和偶次谐波。而不含有直流分量和偶次谐波。 1 1 1 波形移动波形移动 T1/2，与原波形横轴对称，与原波形横轴对称 为奇数nttntf T a T n , d)cos()( 4 2 0 1 1 1 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 ：某些信号：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种波形经上下或左右平移后，才呈现出某种

19、)(tf 0TT2T3TT2T3 A )(tf 0TT2T3TT2T3 2/A 去掉去掉后，后， 信号呈信号呈，只含，只含 有有。 因此该信号含有因此该信号含有 ， 。 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 (1) cos)( 1 10 n nn tncctf）（ (2) e )( 1 j = tn n n Ftf 式（式（1）表明，周期信号）表明，周期信号f(t)可以分解为可以分解为及及 之和。之和。 式（式（2）表明，周期信号）表明，周期信号f(t)可以分解为可以分解为 之和。之和。 不同的时域信号，只是不同的时域信号，只是 不同，因此可

20、以通过研究傅里叶级数的系不同，因此可以通过研究傅里叶级数的系 数数和各次谐波的相位和各次谐波的相位来研究信号的特性。来研究信号的特性。 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 cos)( 1 10 n nn tncctf）（ e )( 1 j = tn n n Ftf （或 （或是频率是频率(n 1)的函数，它反映的函数，它反映 了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化 的规律，称的规律，称。 频谱频谱 函数函数 幅度谱函数幅度谱函数 相位谱函数相位谱函数 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期

21、信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 cos)( 1 10 n nn tncctf）（ e )( 1 j = tn n n Ftf 直接画出信号各次谐波对应的直接画出信号各次谐波对应的c0 、cn及及 n（ 或或Fn） 线状分布线状分布图形，这种图形称为信号的图形，这种图形称为信号的。 n nn FF j e 幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱 c0、cn n 幅度频谱幅度频谱 相位频谱相位频谱 单边谱单边谱 双边谱双边谱 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 cn c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 13 15

22、 17 19 1 1 3 15 17 19 1 1 . . . 3 1 . - 1 -3 1 n 1 -n 1 n - 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 1 . . . 3 1 . - 1 -3 1 n 1 -n 1 n - 当当Fn为实函数时为实函数时, ,经常经常 将幅度谱和相位谱合画将幅度谱和相位谱合画 在一张图上。在一张图上。 中国民航大学 CAUC tn n tn n tn n tn n FFFF n1n111 -j-jjj-jj eeeeee 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 关系关系: 实质上

23、是一样实质上是一样的的 区别区别 。 。 )cos( 1nn tnc 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 周期信号的频谱如图，试写出实数形周期信号的频谱如图，试写出实数形 式的式的Fourier级数（级数（ 1=1rad/s）。 6 Fn 033699 4 3 3 11 22 4 0 F 3 3F 6 1F 9 2F 由图可知由图可知 tn n n Ftf 1 j e)( j3j3j6j6j9j9 43(ee)(ee)2(ee) tttttt 46cos(3 )2cos(6 )4cos(9 )ttt 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2

24、周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 例例 画出信号画出信号f(t)的幅度谱和相位谱。的幅度谱和相位谱。 4 2coscos2sin1)( 111 ttttf 解解 1)三角形式三角形式 4 2cos)15. 0cos(51)( 11 tttf 1 0 c 0 0 236. 25 1 c 15.0 1 1 2 c 25. 0 2 cn 13 15 17 1 1 3 15 1 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 2)指数形式指数形式 4 2coscos2sin1)( 111 ttttf ) 4 2() 4 2( 11 1111 2

25、 1 2 2 2 1 1)( tjtj tjtjtjtj eeeeee j tf tjn n ne F 1 2 2 15. 0 1 12. 1 2 1 1 j e j F 15. 0 1 12. 1 2 1 1 j e j F 1 0 F 4 2 2 1 j eF 4 2 2 1 j eF 12 1- 1 -2 1 1 2 1 - 1 0.15 -0.15 tj j tj j tjtj eeeee j e j 1111 2 4 2 4 2 1 2 1 2 1 1 2 1 11 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 周期信号的频谱是由周期信号的

26、频谱是由的谱线组成的。的谱线组成的。 信号周期信号周期T1越大，越大， 1就越小，则谱线越密。就越小，则谱线越密。 反之，反之，T1越小，越小， 1越大，谱线则越疏。越大，谱线则越疏。 各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍。 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 幅频不变，零相位幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变幅频为常数，相位不变 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶

27、级数分析 1 22 0 2 2 2 2 1 2 1 d)( 1 1 1 n n n n T T cc Fttf T P 任意周期信号的平均功率等于信号所包含的任意周期信号的平均功率等于信号所包含的 直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。 随 随n 1 分布情况称为周期信分布情况称为周期信 号的号的功率频谱功率频谱，简称，简称。 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 1111 j2jjj2 ( )2e3e43e2e tttt f t 求求f (t)的功率。的功率。 4 0 F3 1 F2 2 F 42234

28、32 22222 P 11 ( )46cos4cos2f ttt 424 2 1 6 2 1 4 222 P 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 用有限次谐波分量来近似原信号，用有限次谐波分量来近似原信号， ，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且且 。 时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在在傅里叶级数出现傅里叶级数出现。 中国民航大学 CAUC 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.2

29、 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 N=5 N=15 N=50 N=500 中国民航大学 CAUC 3.3 3.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱 T1/2-T1/2 2 2 1 1 1 1 )( 1 T T tjn n dtetf T F 2 2 1 1 1 dtEe T

30、 tjn 13 1- 1-3 1 1=8 =1/20 s，T1=1/4 s 2 2 sin 1 1 1 n n T E Fn=0.2ESa(n /5) e )( 1 j = tn n n Ftf 中国民航大学 CAUC 3.3 3.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱 (3) (3) Fn 的最大值出现在的最大值出现在n=0处。处。 x x x sin )(Sa )1( 频谱包络服从抽样函数 E /T1 1=2 /T1 (2) (2) 频谱具有离散性、谐波性和收敛性。频谱具有离散性、谐波性和收敛性。 (4) (4) 当当n 1=2k / 时（时（k 0），），Fn=0；当；当n 1=0及及

31、n 1=(2k+1) / 时（时（k 0、 1），），Fn=极值极值。 1 1 1 sin 2 2 n n E F n T 中国民航大学 CAUC 3.3 3.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱 (rad/s) 2 B(Hz) 1 f B （5）02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 , ,即即 信号的有效带宽与信号时域的持续时间信号的有效带宽与信号时域的持续时间 成反比。即成反比。即 越大，其越大，其B 越越 小；反之，小；反之， 越小，其越小，其B 越大。越大。 若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明若信号丢失有效带宽以外的谐波成分

32、，不会对信号产生明 显影响。显影响。 当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配匹配”。 例如：例如：语音信号频率约为语音信号频率约为300 3400Hz，音乐信号频率约为音乐信号频率约为50 15,000Hz，扩大器与扬声器有效带宽约为扩大器与扬声器有效带宽约为1520,000Hz。 中国民航大学 CAUC sTs 4 1 20 1 ) 1 ( 1 55 n S E F an sTs 2 1 20 1 )2( 1 1010 n S E F an 2020 n S E F an sTs1 20 1 ) 3( 1 结论：结论：当周期当周期 1变大时

33、，变大时，零分量频零分量频 率不变：率不变：B 或或Bf不变；不变； 1减小，谱减小，谱 线间距减小，谱线变密；有效谱带线间距减小，谱线变密；有效谱带 内谐波分量增多；谱线振幅减小，内谐波分量增多；谱线振幅减小， 变化缓慢。变化缓慢。 （1 1）设）设f(t)中的中的 E不变，不变， 不变，当周期不变，当周期 1变化时，频谱如何变化？变化时，频谱如何变化？ 3. 3. 频谱随参数的变化（频谱随参数的变化（1 1） 中国民航大学 CAUC （2 2） 设设f(t)中的中的 E不变，周期不变，周期 1不变，不变， 当当 变化时，频谱如何变化？变化时，频谱如何变化？ sTs 4 1 20 1 ) 1

34、 ( 1 55 n S E F an sTs 4 1 8 1 )2( 1 22 n S E F an 结论：结论： 增大时，增大时， 1不变，谱线间距不变，谱线间距 不变；不变；零分量频率减小：零分量频率减小：B 或或Bf变小；变小； 有效谱带内谐波分量减少；谱线振幅有效谱带内谐波分量减少；谱线振幅 较大，减小变化急速。较大，减小变化急速。 退出 3.3 3.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱 3. 3. 频谱随参数的变化（频谱随参数的变化（2 2） 中国民航大学 CAUC 3.3 3.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽试求周期矩形脉冲信号在其有效

35、带宽（02 / ）内谐波内谐波 分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。 2 181. 0E 55 n S E F an 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2 05 FFFFFPn 1 0 2 1 )( 1 T dttf T P %5 .90 5 P P n 40/1 40/1 2 4dtE 2 2 .0E 解：解： 中国民航大学 CAUC 3.3 3.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱 中国民航大学 CAUC 中国民航大学 CAUC 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 1 ( )lim( ) T T f tft e )( 1

36、j = tn n nT Ftf ttf T F T T tn Tn de )( 1 2 2 j 1 1 1 1 f(t) t0 fT(t) T1-T1 t 0 0de )( 1 lim de )( 1 limlim j 1 2 2 j 1 1 1 1 1 11 ttf T ttf T F t T T T tn T T n T n T F lim 1 中国民航大学 CAUC 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 ttfFTF t n T de )(lim)j ( j 1 1 f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换 )(lim)( 1 tftf T T tj = 1 1 e lim n n n T F

37、tj 1 = 1 1 e 2 )j ( lim n n T F d)j ( 2 1 )( jt eFtf T1 , 记记 n 1 = , 1 = 2 /T1 = d , F(j )的傅里叶反变换的傅里叶反变换 中国民航大学 CAUC 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 de )j ( 2 1 )( j t Ftf ttfFde )()j ( tj )j ()( )()j ( 1 FFtf tfFF )j ()(Ftf F 或 中国民航大学 CAUC 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 f F FFTF n f nn T limlim 00 1 2 lim)j ( 1 是单位频率所具有的信号

38、频谱，称之为非周是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周 期信号的期信号的，简称，简称。 d)j ( 2 1 )( j t eFtf 非周期信号可以分解为无非周期信号可以分解为无数个频率为数个频率为 ，复振幅为，复振幅为 F(j )/2 d 的的的线性组合。的线性组合。 )( | )(|)( j ejFjF F(j ) 为为幅度谱幅度谱， ( )为为相位谱相位谱。 中国民航大学 CAUC 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 n T FTF 1 1 lim)j ( 1 1 )j ( nn T F F 中国民航大学 CAUC 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 ttfd)( 中国民航大学 CAU

39、C 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 求求F(j )的傅里叶反变换的傅里叶反变换f(t)。 0 0 F(j ) (j ) - 0 0 A /2 - /2 中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 d d(t) tttFF t de )()()j ( j dd 1 0 t )(td ) 1 ( 0 1 )j (F 均匀谱（白色谱）均匀谱（白色谱） 中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 先求先求d d( )的傅里叶反变换的傅里叶反变换f1(t)。 d d d 2 1 d)( 2 1 de

40、 )( 2 1 )(F)( j1 1 t tf )(2 ,21ddEE 对照对照、时频曲线可看出时频曲线可看出: 0 t 1 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄； 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。 0 )2( )j (F f(t) 中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 d d, ,(t) tt t de1 2 1 )( j d d d de )j ( 2 1 de 2 1 d d )( d d )( j j t t t t t t dj)(F t f(t)

41、=d d (t) t 0 ( ) ( - ) 0 F(j ) 0 ( ) /2 - /2 1 1 -1 中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 ，0)(e)( atutf at ttfF t de )()j ( j 为为 22 1 )j ( a F 为为)arctan()( a t tat dee j 0 j 1 0)j( e )j( aa ta t 0 1 )(tf 0 /1 )j (F 0 )( 2/ 2/ 中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 为为 )j (F 22 2 )j (

42、 a a F 0)( 22 2 a a 为为 tatf ta , 0 , e)( - 中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 2/| 0 2/| )( t tE tf ， ， tEttfF tt dede )()j ( 2 2 jj ) 2 (Sa E (Hz) 1 (rad/s) 2 f BB或 中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 ) 2 Sa( )j ( EF ) 2 Sa()j ( EF 时当或 时当 0) 2 Sa( ,- 0) 2 (Sa , 0 )( F(j ) ( )

43、中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 周期信号的离散频谱可以通周期信号的离散频谱可以通 过对非周期信号的连续频谱等过对非周期信号的连续频谱等 间隔取样求得间隔取样求得 信号在信号在时域有限时域有限，则在，则在频域频域将将无限无限延续。延续。 信号的频谱分量主要集中在信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点零频到第一个过零点之间，工之间，工 程中往往将此宽度作为程中往往将此宽度作为有效带宽有效带宽。 脉冲宽度脉冲宽度 越窄，有限带宽越宽，高频分量越多，即信号越窄，有限带宽越宽，高频分量越多，即信号 信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频

44、带越宽。信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱 ，其形状与周期矩形脉冲信号，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱离散频谱的包的包 络线相似。络线相似。 中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 E f(t) t ttE tf , 0 , ) 1 1 ( )( ) 2 (Sa )j ( 2 EF F(j ) E 2 / 4 / -4 / -2 / 0 中国民航大学 CAUC tEtf t , e)( 2 )( 2 ) 2 ( e )j ( EF F(j ) E e E

45、2/ -2/ 高斯形高斯形 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 f(t) E E/2 0.83 -0.83 t 中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 0 00 tEe tEe tf t t 22 2 E j tetfjF tj d)()( 0 j d)(teEe tt 0 j dtEe t j E j E 中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 01 01 )(sgn)( t t ttf 0 22 2 )( jjF sgn(t) )j (F 0 2/

46、2/ )( 0 j 2 中国民航大学 CAUC 0 t )(tu 1 )j (F 0 )( 2/ 2/ )( 0 )()(tutf)sgn( 2 1 2 1 t d j 1 )()(F)j (tuF 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 中国民航大学 CAUC 3.5 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 f(t) t - E E/2 /2- /2 0 6dB点点 t tE tf0 , )cos1 ( 2 )( 2 )(1 )(Sa )j ( E F F(j ) E 2 / 0 3 / -2 / -3 / 中国民航大学 CAUC 3.5

47、3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 F(j ) E 2 / 4 / -4 / -2 / 0 F(j ) E 2 / 0 3 / -2 / -3 / f(t) t - E E/2 /2- /2 0 6dB点点 。 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 niFtf ii ,.,2 , 1 )j ()(F，若 )j ()(F 11 i n i ii n i i Fatfa 则 其中其中ai为常数为常数, ,n为正整数为正整数。 )j ()(FFtf若 )(2)j (FftF则 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基

48、本性质傅里叶变换的基本性质 已知已知d d(t) 1。 ) 2 () 2 ()( tutuEtf 则则 1 2 d d(- )=2 d d( )。 求函数求函数Sa(t)=sin(t)/t的傅里叶变换。的傅里叶变换。 解：解： 对于对于 ) 2 (Sa )(F Etf ) 2 () 2 (2)(2) 2 Sa( F uuEf t E ) 2 () 2 ( 2 ) 2 ( FSa uu t 则 )1() 1()( FSauut FSa(t) 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 ) 2 () 2 ( 2 ) 2 ( FSa uu t 中国民航大学 CA

49、UC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 利用利用互易对称性互易对称性, ,求求F(j )=u( + 0)-u( - 0) 对应的时域信号对应的时域信号f(t)。 例例 。求)( , 1 )(jF t tf )(sgn j 解：解： j t 2 )(Fsgn )(sgn 2 2 F jt )(sgn )(jjF 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 )( ( )j ()(为实函数或者为复函数若tfFtf F )j(*)(*Ftf F 则 当当f(t)为为实函数实函数时，有时，有 |F(j )| = |F( j )| ， )j (

50、*)(*Ftf F )(j e)j ()j ( FF )j (j)j ( IR FF )j()j(),j()j ( IIRR FFFF F(j 为复数，可以表示为为复数，可以表示为 )j()(Ftf F 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 F ( )(j )f tF若， 1 F ()(j) , f atFa aa 则为非零的实常数 0 A2 )2(2F 0 A )(F 2 2 )2( tf t A 4 4 )( 2 1 tf t 0 )(tf t 2 2 0 A 2 1 ) 2 1 ( 2 1 F 4 4 中国民航大学 CAUC 后语音信号的变化后

51、语音信号的变化 f (t) f (1.5t) f (0.5t) 00.050.10.150.20.250.30.350.4 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 一段语音信号一段语音信号(“对了对了”) 。抽样频率。抽样频率 = 22050Hz f(t)f(t/2)f(2t) 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 )j ()(F Ftf若 0 j 0 e)j ()(F t Fttf 则 式中式中t0为任意实数。为任意实数。 例例 )1()

52、1()( 22 tGtGtf解：解： )(Sa 2)(F 2 tG jj eSaeSajF )(2)(2)( sin)(4Saj 。的频谱求图示信号)j()(Ftf 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 f(at-t0)和和f(t0-at) 。 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 若若 则则 )j ()(FFtf )( j e)(F 0 j 0 Ftf t 式中式中 0为任意实数为任意实数 cos)( 0t tfF sin)( 0t tfF )( j 2 1 )( j 2 1 00 FF )( j 2 j

53、 )( j 2 j 00 FF 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 E f(t) /2- /2 cos( 0t) ) 2 (Sa)j ( EF cos)(F)j ( 0t tfY)( j 2 1 )( j 2 1 00 FF 2 )( Sa 2 )( Sa 2 00 E 试求矩形脉冲信号试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号与余弦信号cos 0t相乘后信号相乘后信号 y(t)的的。 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 ) 2 (Sa)j ( EF 00 ()() (j )SaSa 222 E Y 中国民航大

54、学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 已知 已知F(j )如图所示，如图所示，F(j )=FTf(t)，求求f(t)。 0 F(j ) ( )( 0 )t0 ( )( 0 )t0 0 0 c 0 c ( 0 c) ( 0 c) 0 F(j ) 1 tttSa c c 00 cos)( 2 解解1:1: 00 0000 00 jj 1 ( )1 eed1 eed 2 cc cc tt tt f t 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 已知 已知F(j )如图所示，如图所示，F(j )=FTf(t)，求求f(t)。 0

55、 F(j ) ( )( 0 )t0 ( )( 0 )t0 0 0 c 0 c ( 0 c) ( 0 c) 0 F(j ) 1 0 j1j 11 1 ( )(j )2 eed 2 c c tt f tFF 0 2 () c c Satt 1 10 ( ) (j )( )cos()f tFFf tt tttSa c c 00 cos)( 2 解解2:2: 先求如图所示先求如图所示F1(j )的逆变换的逆变换f1(t)。 0 1( ) t0 c c F1(j ) 2 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 若若 则则 )j ()(FFtf )j ()j (

56、d )(d FF t tf )j ()j ( d )(d FF t tf n n n 已知 已知Fu(t)=1/j + d d( )，利用，利用“时域微分特性时域微分特性” 求求d d(t)、d d (t)及及d d(n)(t)的傅里叶变换。的傅里叶变换。 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 试利用试利用求矩形脉冲信号的频谱函数。求矩形脉冲信号的频谱函数。 0 (A) 2/ t 2/ )( tf (A) (E) (-E) ) 2 () 2 ()( d dtEtEtf 2 j 2 j ee)( EEtfF )j ()j ()( FtfF ) 2 (S

57、a ) 2 sin( 2 )j ( E E F 由上式利用由上式利用，得，得 ) 2 sin(j2 E ) 2 sin(j2 E （这一步运算应注意！）（这一步运算应注意！） 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 1）若信号若信号f(t)的面积为的面积为0，即，即F F(0)=0(0)=0 )j ()(F Ftf若 )()0( j )(j d)(F d F F f t 则 j )j ( d)(F F f t 则 )(d)(F)(F)j ( ftfF t f )()(2)()0( j )j ( 1 1 dd fF F 2）)(F)j ( ),(d)()

58、( 1 tFftfff t 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 已知三角脉冲信号已知三角脉冲信号 2/ , 0 2/ , 2 1 ( )( t ttE tf f(t) t0 /2- /2 t0 /2 - /2 t0 /2- /2 E f (t) 2E/ -2E/ f (t) (2E/ )(2E/ ) (-4E/ ) )2/( 2 )( 4 )2/( 2 )(d d d t E t E t E tf 2/2/ 2 242 )(F)( jj e EE e E tjFf )j ()j ( 2 F ) 4 (Sa 2)j ( )j ( )j ( 2 2 2

59、 EF F 为什么能如此处理？为什么能如此处理？ 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 求下图所示截平斜变信号求下图所示截平斜变信号f(t)的频谱的频谱F(j )。 0 00 , 1 0 , / 0 , 0 )( tt tttt t tf f(t) tt00 1 f (t) tt00 1/t0 t t0 0 f (t) (1/t0) (-1/t0) )( 1 )( 1 )( 0 00 tt t t t tf dd )e1 ( 1 )( 0 j - 0 2 t t jF )j ()j ( 2 F 2 2 )j ( )j ( )j ( F F 能如此处理

60、吗？能如此处理吗？ 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 求下图求下图f(t)的频谱的频谱F(j )。 f(t) t 1 1 2 0 )(3e ) 2 Sa( 1 )j ( 2 / j - d j F 中国民航大学 CAUC 3.6 3.6 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 若若F(j )中不含中不含d d( )，则可利用时域微分定理得到：，则可利用时域微分定理得到： F(j )=Fn(j )/(j )n; 若若F(j )中含有中含有d d( )，则利用时域积分定理由，则利用时域积分定理由Fn(j ) 求得求得F(j )。 若已知若已知f(n