学时31：直线与圆﹑圆与圆的位置关系

1、 直线和圆直线和圆 的位置的位置 图形图形 公共点公共点 个数个数 圆心到直线圆心到直线 距离距离d与半与半 径径r的关系的关系 公共点公共点 名称名称 直线直线 名称名称 相交相交2dr无无无无 基础知识基础知识 自主学习自主学习 要点梳理要点梳理 1直线和圆的位置关系：直线和圆的位置关系： (1)设设r是是 O的半径，的半径，d是圆心是圆心O到直线到直线l的距离的距离. (2)切线的性质：切线的性质： 切线的性质定理：圆的切线切线的性质定理：圆的切线 经过切点的半径经过切点的半径 推论推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过：经过切点且垂直于切线的直线必经过 推论推论2：经过圆心且垂直于切

2、线的直线必经过切点：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且切线的判定定理：经过半径的外端并且 这条半径这条半径 的直线是圆的切线的直线是圆的切线 (4)三角形的内切圆：和三角形三边都三角形的内切圆：和三角形三边都 的圆叫做三角形的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心是的内切圆，内切圆的圆心是 ， 内切圆的圆心叫做三角形的内切圆的圆心叫做三角形的 ，内切圆的半径是内心，内切圆的半径是内心 到三边的距离到三边的距离 垂直于垂直于 圆心圆心 垂直于垂直于 相切相切 三角形三条角平分线的交点三角形三条角平分线的交点 内心内心 两圆位置两圆位置图形图形公共点个数公

3、共点个数d与与R、r的关系的关系 外离外离0dRr 外切外切1dRr 相交相交2Rrd Rr 内切内切1dRr 内含内含0dRr 2圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系： 设两个圆的半径为设两个圆的半径为R和和r(Rr)，圆心距为，圆心距为d. 难点正本疑点清源难点正本疑点清源 1 1与圆的位置关系与圆的位置关系 理解点与圆、直线与圆、圆与圆的三种位置关系，培养用类比方法理解点与圆、直线与圆、圆与圆的三种位置关系，培养用类比方法 获取知识，用运动观点分析问题的能力获取知识，用运动观点分析问题的能力 直线与圆：两个交点直线与圆：两个交点直线与圆相交；一个交点直线与圆相交；一个交点直线与圆相切；直线

4、与圆相切； 没有交点没有交点直线与圆相离直线与圆相离 圆与圆：两个交点圆与圆：两个交点圆与圆相交；一个交点圆与圆相交；一个交点圆与圆相切圆与圆相切( (外切或外切或 内切内切) )；没有交点；没有交点圆与圆相离圆与圆相离( (外离或内含外离或内含) ) 2 2分类思想在与圆相关问题中的应用分类思想在与圆相关问题中的应用 在一些没有给定图形的几何题中，由于点、线、面等几何图形位置在一些没有给定图形的几何题中，由于点、线、面等几何图形位置 的不确定性，直接影响了问题的结果，这时就需要分类讨论常见的分的不确定性，直接影响了问题的结果，这时就需要分类讨论常见的分 类有：根据点的位置在圆内或圆外；两条平

5、行弦在圆心的同侧或异侧；类有：根据点的位置在圆内或圆外；两条平行弦在圆心的同侧或异侧； 弦所对的圆周角的顶点在优弧上或在劣弧上；相切两圆是内切或外切；弦所对的圆周角的顶点在优弧上或在劣弧上；相切两圆是内切或外切； 内切两圆内切两圆“包含包含”或或“被包含被包含”；相交两圆的圆心在公共弦的同侧或异；相交两圆的圆心在公共弦的同侧或异 侧，侧， 等等等等 基础自测基础自测 1(2012青岛青岛)如图，在如图，在RtABC中，中，C 90，B 30，BC 4 cm，以点，以点C为圆心，以为圆心，以2 cm的长为半径作的长为半径作 圆，则圆，则 C与与AB的位置关系是的位置关系是() A相离相离 B相切

6、相切 C相交相交 D相切或相交相切或相交 B D C 3(2011杭州杭州)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，以点中，以点(3,4)为圆心，为圆心， 4为半径的圆为半径的圆() A与与 x 轴相交，与轴相交，与 y 轴相切轴相切 B与与 x 轴相离，与轴相离，与 y 轴相交轴相交 C与与 x 轴相切，与轴相切，与 y 轴相交轴相交 D与与 x 轴相切，与轴相切，与 y 轴相离轴相离 解析如图，点解析如图，点(3,4)到到x轴的距离轴的距离dx4r，所以圆与，所以圆与 x 轴相切；点轴相切；点(3,4)到到 y 轴的距离轴的距离 dy3r，所以圆与，所以圆与 y 轴相交轴相交 C C 5

7、(2011济宁济宁)已知已知 O1与与 O2相切，相切， O1的半径为的半径为3 cm， O2的半径为的半径为2 cm，则，则O1O2的长是的长是() A1 cm B5 cm C1 cm或或5 cm D0.5 cm或或2.5 cm 解析解析 当当 O1与与 O2内切时，内切时，d321 cm； 当当 O1与与 O2外切时，外切时，d325 cm. 综上所述，综上所述，d1 cm或或5 cm. C 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 题型一判断直线与圆、圆与圆的位置关系 (2)(2011枣庄枣庄)如图，小圆的圆心在原点，半径为如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的，大圆的 圆心坐标为圆心坐标为

8、( a, 0 )，半径为，半径为5. 如果两圆内含，那么如果两圆内含，那么 a 的取的取 值范围是值范围是_ 解析当大圆与小圆内含时，解析当大圆与小圆内含时，0d53，即，即0d2. 又又d|a|，0|a|2，2ar 直线与圆相离；直线与圆相离； dr 直线与圆相切；直线与圆相切； dr 直线与圆相交直线与圆相交 知能迁移知能迁移1(1)如图，已知在如图，已知在OAB中，中，OAOB13，AB 24， O的半径长为的半径长为r5.判断直线判断直线AB与与 O的位置关系，的位置关系， 并说明理由并说明理由 C (2)(2011襄阳襄阳)在在ABC中，中，C90，AC3 cm，BC4 cm，若，若

9、 A、 B的半径分别为的半径分别为1 cm、4 cm，则，则 A、 B 的位置关系是的位置关系是() A外切外切 B内切内切 C相交相交 D外离外离 解析在解析在RtABC中，中，AC3，BC4，C90， AB5.由由145，得，得 A、 B外切外切 A (3)(2011大理大理)如图，已知如图，已知 B与与ABD的边的边AD相切于点相切于点C， AC4， B的半径为的半径为3，当，当 A与与 B相切时，相切时， A的半径的半径 是是() A2 B7 C2或或5 D2或或8 解析连接解析连接BC，则有，则有BCAD， 在在RtABC中，中，AC4，BC3，则，则AB5. 当当 A与与 B外切时

10、，外切时， A的半径为的半径为532； 当当 A与与 B内切时，内切时， A的半径为的半径为538. D 题型二圆的切线性质题型二圆的切线性质 【例例 2】如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，C为为 O上一点，上一点，AD和过和过C点点 的切线互相垂直，垂足为的切线互相垂直，垂足为D，求证：，求证：AC平分平分DAB. 解证明：连接解证明：连接OC. CD切切 O于于C， OCCD. ADCD， ADOC， DACOCA. OAOC， OCAOAC. OACDAC， 即即AC平分平分DAB. 探究提高探究提高遇到切点，通常作的辅助线是连接圆心和切点，遇到切点，通常作的辅助线是连接圆心和切点

11、， 这样运用切线的性质，构造出直角三角形，再进一步解这样运用切线的性质，构造出直角三角形，再进一步解 答记住：由切线联想到直角，从而充实题中的已知条答记住：由切线联想到直角，从而充实题中的已知条 件件 题型三根据切线判定，证明直线与圆相切题型三根据切线判定，证明直线与圆相切 【例例 3】(2012舟山舟山) 如图所示，如图所示，AB是是 O直径，直径，OD弦弦BC于于 点点F，且交，且交 O于点于点E，且，且AECODB. (1)判断直线判断直线BD和和 O的位置关系，并给出证明；的位置关系，并给出证明； (2)当当AB10，BC8时，求时，求DFB的面积的面积 解题示范解题示范规范步骤，该得

12、的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：解：(1)直线直线BD和和 O相切相切11分分 证明：证明：AECODB，AECABC， ABCODB. ODBC， DBCODB90， DBCABC90.即即DBO90. 直线直线BD和和 O相切相切55分分 题型三根据切线判定，证明直线与圆相切题型三根据切线判定，证明直线与圆相切 【例例 3】(2012舟山舟山) 如图所示，如图所示，AB是是 O直径，直径，OD弦弦BC于于 点点F，且交，且交 O于点于点E，且，且AECODB. (1)判断直线判断直线BD和和 O的位置关系，并给出证明；的位置关系，并给出证明； (2)当当AB10，BC8

13、时，求时，求DFB的面积的面积 探究提高探究提高当已知条件中给出直线与圆有公共点时，只要证当已知条件中给出直线与圆有公共点时，只要证 明圆心与公共点的连线垂直于这条直线，就可以判定直线明圆心与公共点的连线垂直于这条直线，就可以判定直线 与圆相切，连接圆心和公共点是常作的辅助线与圆相切，连接圆心和公共点是常作的辅助线 知能迁移知能迁移4(2011陕西陕西)如图，在如图，在ABC中，中，B60， O是是ABC外接圆，过点外接圆，过点A 作作 O的切线，交的切线，交CO的延长的延长 线于线于P点，点，CP交交 O于于D. (1)求证：求证：APAC； (2)若若AC3，求，求PC的长的长 答题规范答

14、题规范 考题再现考题再现 1在直径等于在直径等于10 cm的的 O中，有两条平行弦中，有两条平行弦AB和和CD分别分别 等于等于6 cm和和8 cm，求梯形，求梯形ABCD的面积的面积 11忽视弦和圆心之间的位置关系造成漏解 2已知相交两圆的半径分别为已知相交两圆的半径分别为5 cm和和4 cm，公共弦长为，公共弦长为6 cm， 求这两圆的圆心距求这两圆的圆心距 老师忠告老师忠告 1在有关圆的问题中，若忽视弦和圆心的位置关系，将会在有关圆的问题中，若忽视弦和圆心的位置关系，将会 导致漏解画两条平行弦，同学们往往习惯将圆心画在平导致漏解画两条平行弦，同学们往往习惯将圆心画在平 行弦之间，而忽略了

15、平行弦在圆心同一旁的情况；画两圆行弦之间，而忽略了平行弦在圆心同一旁的情况；画两圆 相交的图形时，同学们往往习惯把公共弦画在两圆圆心之相交的图形时，同学们往往习惯把公共弦画在两圆圆心之 间，忽略了公共弦可能在两圆圆心同旁的情况间，忽略了公共弦可能在两圆圆心同旁的情况 2解答几何题目时，若条件没加以设定，应该将各解答几何题目时，若条件没加以设定，应该将各 种情况都考虑进去，这也是发散思维的一个很重种情况都考虑进去，这也是发散思维的一个很重 要的标志要的标志 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 方法与技巧方法与技巧 1. 1. 圆的切线有三种判定方法：圆的切线有三种判定方法：和圆只有一个公共点和圆

16、只有一个公共点 的直线是圆的切线；的直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径到圆心的距离等于半径的直线是圆的的直线是圆的 切线；切线；过半径外端且和这条半径垂直过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线的直线是圆的切线 注意：只有知道直线和圆有公共点时，才能用切线的判注意：只有知道直线和圆有公共点时，才能用切线的判 定方法定方法. . 2. 2. 遇到切点时，常作过切点的半径构造直角，相切两遇到切点时，常作过切点的半径构造直角，相切两 圆经常连结连心线经过切点，相交两圆连结连心线和公共弦圆经常连结连心线经过切点，相交两圆连结连心线和公共弦 构造直角构造直角 失误与防范失误与防范 1 1以下容易混淆的概念问题：以下容易混淆的概念问题： (1)(1)直线和