第2章 自由振动分析-1-修改1

1、高等结构动力学高等结构动力学 第二章第二章 高等结构动力学 自由振动分析 高等结构动力学高等结构动力学 高等结构动力学高等结构动力学 高等结构动力学高等结构动力学 ( ) IDS fffp t (2-1) S fkv (2-2a) I fmv D fcv (2-2b) (2-2c) 高等结构动力学高等结构动力学 ( )0 IDS fvfvfvp tv ( )mvcvkvp t (b)平衡力系平衡力系 高等结构动力学高等结构动力学 体系平衡0 IDS fff t I fmv 0 t mvcvkv (2-12) (2-13) (2-14) 惯性力 得 t g vvv 0 g mvmvcvkv (

2、)( ) geff mvcvkvmvtpt (2-15) (2-16) (2-17) 质量总位移 得 高等结构动力学高等结构动力学 ttt gg mvcvkvcvkv 代入代入 t g vvv 0mv cv kv ( ) ttt ggeff mvcvkvcvkvpt 支座激励的第二种列式支座激励的第二种列式 得得 地震测量为加速度，速度和位移需要积分一次和两次地震测量为加速度，速度和位移需要积分一次和两次 才可获得，少用才可获得，少用！ 将质量总位移将质量总位移 (2-18) 高等结构动力学高等结构动力学 高等结构动力学高等结构动力学 * m v tc v tk v tpt （2-19） 高等

3、结构动力学高等结构动力学 高等结构动力学高等结构动力学 高等结构动力学高等结构动力学 0mv tcv tkv t st v tGe (2-21) (2-20) exp( ) st ste RI GGiG 或 exp()GGi cos R GG G G sin I iGiG Re 图图 2-4 复平面中的复常数表示法复平面中的复常数表示法 高等结构动力学高等结构动力学 首先讨论复常数首先讨论复常数G，它可以如图，它可以如图2-4所示用复平面的一个矢量来表示。此图所示用复平面的一个矢量来表示。此图 表明矢量可用实、虚部表明矢量可用实、虚部cartesian分量来表示。分量来表示。 （2-22a）

4、也可以在极坐标中用绝对值也可以在极坐标中用绝对值 （即矢量的长度）和自实轴逆时针转过的角度（即矢量的长度）和自实轴逆时针转过的角度 来表示：来表示： （2-22b） 另外，由如图所示的三角关系，显然式（另外，由如图所示的三角关系，显然式（2-22a）可改写为）可改写为 （2-22c） 利用这个表达式并注意到利用这个表达式并注意到 及 ， 容易证明一个矢量和容易证明一个矢量和i相乘，是该矢量在复平面中逆时针旋转相乘，是该矢量在复平面中逆时针旋转 弧度和弧度和90度度 的结果。同样，乘以的结果。同样，乘以-i可以看成是顺时针旋转可以看成是顺时针旋转90度的结果。现在令式（度的结果。现在令式（2-2

5、2c） 和式（和式（2-22b）相等，同样注意到负的虚部分量对应于负的矢量角，这可得到）相等，同样注意到负的虚部分量对应于负的矢量角，这可得到 用于三角函数与指数函数变换的用于三角函数与指数函数变换的Euler对：对： RI GGiG G cossinGGiG cossin(2)sincos(2) 2 exp()GGi 高等结构动力学高等结构动力学 exp()cossin exp()cossin ii ii 1 cosexp()exp() 2 sinexp()exp() 2 ii i ii 2 0 st mscsk Ge 2 k m (2-24) (2-23) 高等结构动力学高等结构动力学 2

6、2 0 c ss m (2-25) 高等结构动力学高等结构动力学 12 i ti t v tGeG e (2-26) (2-27) cossin i t etit sincosv tAtBt (2-9*) (2-31) 0vB 0vA 0 sin0 cos v v ttvt (2-33) C0si 高等结构动力学高等结构动力学 无阻尼自由振动反应无阻尼自由振动反应 自由振动旋转矢量表示自由振动旋转矢量表示 高等结构动力学高等结构动力学 2 f 21 T f cosv tt 2 2 0 0 v v 1 0 tan 0 v v (2-34) (2-35) (2-36) (2-37) (2-38)

7、高等结构动力学高等结构动力学 高等结构动力学高等结构动力学 2 2 22 cc s mm 2 c cm (2-40) (2-39) 12 t v tGG t e 00 1 t t vvtv t e (2-42) (2-43) 12 2 c c ss m (2-41) 高等结构动力学高等结构动力学 图图 2-9 具有临界阻尼的自由振动反应具有临界阻尼的自由振动反应 高等结构动力学高等结构动力学 2 c cc cm (2-44) 2 2 s D si 2 1 D 12 12 DD DD t itt it ititt v tGeG e eGeG e sincos t DD v teAtBt (2-4

8、8) (2-45) (2-46) (2-47) 高等结构动力学高等结构动力学 图图 2-10 频率比与阻尼比之间的关系频率比与阻尼比之间的关系 图图 2-11 低阻尼体系自由振动反应低阻尼体系自由振动反应 高等结构动力学高等结构动力学 00 sin0 cos t DD D vv v tetvt (2-49) cos t D v tet (2-50) 1 2 2 200 0 D vv v (2-51) 高等结构动力学高等结构动力学 1 00 tan 0 D vv v 2 1 2 ln22 1 n nD v v 2 2 (2) 12 2! e (3-34*) (2-52) 高等结构动力学高等结构动

9、力学 2 1 n n v ee v 1 1 2 nn n vv v 2 nn m n m vv m v (2-59) (2-56) (2-57) 高等结构动力学高等结构动力学 2 1s 2 1 (2-60) 1 sinhcosh t v teAtBt (2-62) (2-61) 高等结构动力学高等结构动力学 高等结构动力学高等结构动力学 将广义单自由度结构区分为二类：将广义单自由度结构区分为二类： （1）刚体的集合）刚体的集合，在这种集合中弹性变形完全限定于，在这种集合中弹性变形完全限定于 在局部的弹簧元件中发生；在局部的弹簧元件中发生； （2）体系具有分布弹性，在这个体系里变形可以在整）体系

10、具有分布弹性，在这个体系里变形可以在整 个结构上或它的某些元件上连续。个结构上或它的某些元件上连续。 高等结构动力学高等结构动力学 高等结构动力学高等结构动力学 ( , )v x tx Z t ( , )v x t x Z t 2 0 1 ( , ) 2 L Tm xv x tdx (2-23*) (2-24*) (2-25*) 高等结构动力学高等结构动力学 2 0 1 ( , ) 2 L t VEI x vx tdx 2 0 1 ( , ) 2 L e tv x tdx 2 0 ( , ) 2 L N N Vv x tdx (2-26*) (2-27*) (2-28*) 2 1 0 t t

11、TV dt 2 1 00 0 , ( , )0 tLL tt t L m x vx tv dxEI x vx tvx dx Nv x tvdx dt 高等结构动力学高等结构动力学 t g vvv vZ vZ t vv vZ vZ vZ (2-30*) 2 1 2 00 2 2 00 ( )( ) ()0 tLL g t LL Z Zm xdxZv tm xdx Z ZEI xdxNZ Zdx dt (2-31*) vZ 高等结构动力学高等结构动力学 2 1 * ( )0 t geff t m Zk Zk ZptZdt (2-32*) *2 0 L mm xdx 广义质量 * 2 0 () L

12、kEI xdx 广义刚度 2 * 0 L g kNdx 广义几何刚度 * 0 ( )( ) L effg ptvm xdx 广义有效荷载 (2-33*) 高等结构动力学高等结构动力学 * ( )( )( ) eff m Z tk Z tpt * g kkk (2-34*) (2-35*) 高等结构动力学高等结构动力学 2 * 2 00 ()0 LL gcr kkkEI xdxNdx 2 0 2 0 () L cr L EI xdx N dx （2-36*） 高等结构动力学高等结构动力学 * ( )( )( )( )m Z tc Z tk Z tp t ,( )v x tx Z t 2 *22 0 0 L iiii mm xxdxmI 2 *2 0 L ii cc xxdxc (2-37*) (2-38*) 高等结构动力学高等结构动力学 22 *2 00 LL ii kk xxdxEI xxdxk (2-39*) 2 * 0 L G kNxdx (2-40*) 2 * 0 L G kN xxdx (2-40a*) 高等结构动力学高等结构动力学 * 0 ( )( , ) L ii p tp x tx dxp (2-41*) * k * G k*-k 高等结构动力学高等结构动力学 高等结构动力学高等结构动力学 广义单自由度体系得特性 （d）弹性特征 （e）轴向荷载 （f）作用荷载