第3章 刚体的定轴转动11

1、第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 n一、刚体定轴转动的一、刚体定轴转动的 运动学运动学 n二、刚体定轴转动的二、刚体定轴转动的 转动定律转动定律 n三、刚体定轴转动的三、刚体定轴转动的 动能、势能、机械能动能、势能、机械能 n四、刚体定轴转动的四、刚体定轴转动的 角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律 主要内容主要内容 、刚体及刚体定轴转动、刚体及刚体定轴转动 F刚体：刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。 -物体内任意两点的距离不变物体内任意两点的距离不变 s刚体可以看成是由许多质点构成，每一个质点称刚体可以看成是由许多质点构成

2、，每一个质点称 为刚体的一个质元为刚体的一个质元. . s刚体是一个特殊的质点组，其刚体是一个特殊的质点组，其特殊性特殊性在于在外力在于在外力 作用下各质元之间的相对位置保持不变。作用下各质元之间的相对位置保持不变。 s刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动平动、转动转动。 3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律刚体定轴转动的动能定理和转动定律 s特点：特点：各点位移、速度、加速度均相同各点位移、速度、加速度均相同 F平动：平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方 向始终不变。向始终不变。 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 F转动：转动：刚体

3、各质元都绕同一直线刚体各质元都绕同一直线( (转动轴转动轴) )作圆周运动作圆周运动 s定轴转动定轴转动: : 转轴固定不动的转动转轴固定不动的转动 v s特点：特点： s（1 1）各质元同一时刻角位移、角速度、角加速度均相同）各质元同一时刻角位移、角速度、角加速度均相同 s（2 2）各质元离转轴的位）各质元离转轴的位置置ri不不同同 F刚体的一般运动刚体的一般运动 = = 平动平动 + + 转动转动 ; dt d 大小： 方向： 右手螺旋定则。 rv o P v r A B C 角速度矢量角速度矢量 运动特点：运动特点：各质元绕轴作圆周运动，各质元绕轴作圆周运动，、相同相同 方向方向: :

4、一般规定右手一般规定右手螺螺 旋方向为正旋方向为正 刚体刚体定轴定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示转动的转动方向可以用角速度的正负来表示. . 00 zz 固定轴固定轴 转动平面转动平面 质元质元 角量与线量的关系角量与线量的关系 2 ii iti ini vr ar ar i m 角加速度：角加速度： 2 2 dd dtdt 角位置：角位置： ( ) t 角速度：角速度： d dt 角速度和角加速度角速度和角加速度 i r x 刚体各质元的刚体各质元的、相同相同 角位移：角位移： 例例1 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在 5s内角速度由内角速度由1

5、5rad/s 匀减速地降到匀减速地降到10rad/s 。求：求： (1)角加速度角加速度 ；(2)在此在此5s内转过的圈数；内转过的圈数；(3)还还 需要多少时间轮子停止转动。需要多少时间轮子停止转动。 解 ：因角加速度为恒量。 (1) 2 /1 5 1510 0 srad t (2) 利用公式 2 00 1 62.5 2 ttrad 5秒内转过的圈数 圈。 10 14. 32 5 .62 2 0 N (3) 再利用式 0 0 10/ , 0 010 10 . 1 rad s ts 问：问：质点质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并 仅考虑

6、力的大小和方向所产生的作用；仅考虑力的大小和方向所产生的作用；刚体刚体转动问题，是否转动问题，是否 也可以如此处理也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有影响力的作用点的位置对物体的运动有影响？ 可以反映力及其作用点位置的物理量可以反映力及其作用点位置的物理量力矩力矩 圆盘静止不动圆盘静止不动 圆盘绕圆心转动圆盘绕圆心转动 F F F F 刚体绕刚体绕Oz轴旋转轴旋转, ,力力 作用在刚体上点作用在刚体上点P, ,且在转动平面内且在转动平面内, , 由点由点O 到力的作用点到力的作用点P的径矢为的径矢为 。 力矩力矩 F r z O P F r sinMFr : : 力臂力臂d d M

7、对转轴对转轴z的力矩的力矩 F MrF t FdFr或 大小大小 方向：方向： 与角位移的正负规定一致。与角位移的正负规定一致。 Fn Ft k 2、刚体定轴转动的转动定律、刚体定轴转动的转动定律 MJ ii mr 取一质量元和 itit Fma iii MrF i i mr i M i MM 2 i i mr 2 i i Jmr 比例系数 , ii mr M 问题：已知刚体各质元及位矢 求力矩和刚体的角加速度 的关系 M 整个刚体产生 所需的总力矩 z O F r M Fn Ft iit rF 2 ii i Mmr MJ 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 2 2 i i i Jm r 单

8、位 (kg m2) 其中 刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量 3、m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J是对刚体转动惯性大小的是对刚体转动惯性大小的 量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。 说明：说明： 2、力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方 向，所以用正负号表示方向。向，所以用正负号表示方向。 1、 与与 地位相当，地位相当，与与a对应，对应，力矩是使刚力矩是使刚 体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。 MJF ma F 对质量连续

9、分布的刚体：对质量连续分布的刚体： 2 i i i Jmr F 影响转动惯量的三个要素影响转动惯量的三个要素: : (1)(1)总质量总质量 (2)(2)质量分布质量分布 (3)(3)转轴的位置转轴的位置 2 r dm 转动惯量转动惯量 J F 对分立的质点组：对分立的质点组： 2 i i i Jmr 例例2 4 l m m 1 2 22 22 2 3 31 10 0 4 44 41 16 6 ( )() ll Jmmml 1 对转轴 ： 1 222 1 ( )( ) 442 ll Jmmm l 对转轴1： 2 l 练习：求质量为m，长为 l 的匀质细棒对下 列给定转轴的转动惯量。 (1) 转

10、轴通过棒的中心并与棒垂直； (2) 转轴通过棒的一端并与棒垂直。 解： X l x dx o (1) 将细棒分成无穷多 小段，取一小段dx， 该小段对中心轴的转 动惯量 dIc = x2dm dI 各段对中心轴的转动惯量求和 dmxIdI cc 2 代入上式 dx l m dm 2 2 2 3 2 2 2 12 1 3 mlx l m dx l m xI l l l lc (2)利用平行轴定理 代入 2 2 l dmdII c . 3 1 ) 2 1 ( 12 1222 mlmmlI 练习：一细圆环半径为r，质量为m，求圆 环对通过圆心且垂直环面的轴的转动惯量。 解 : 整个圆环对中心轴的转动

11、惯量 dmrI 2 dI = r2dm, r dm m dmr 2 2 mr J = mR2+m1R2 思考思考1. . 环上加一质量为环上加一质量为m1的质点的质点, , J=? 思考思考2. . 环上有一个环上有一个 x的缺口，的缺口，J=? 22 2 m JmRxR R x R O O m R m1 练习：求质量为m，半径为R的圆盘绕通过中 心并与圆面垂直的转轴的转动惯量，设质量在盘 上均匀分布。 dI = r2dm R r dr解: 将圆盘分成无穷多个大大 小小的窄圆环，取其中一个 半径为 r，宽度为 dr 的圆环， 该圆环对中心轴的转动惯量 dm 而 整个圆盘对中心轴的转动惯量 dI

12、I rdr R m 2 2 2 2 dr R mr R drr R m 0 3 2 2 2 2 1 mR 如图所示为在如图所示为在 Laurence Livermore实实 验室中的中子实验室设验室中的中子实验室设 备的重屏蔽门。它是世备的重屏蔽门。它是世 界上最重的安有轴的门。界上最重的安有轴的门。 此门的质量是此门的质量是44000Kg, , 对于通过其大轴的竖直对于通过其大轴的竖直 轴的转动惯量是轴的转动惯量是 8.7104kg.m2，前面宽，前面宽 是是2.4m。忽略摩擦，在。忽略摩擦，在 它的外沿上并垂直于门它的外沿上并垂直于门 加多大的恒定力能使它加多大的恒定力能使它 在在30s从

13、静止转过从静止转过9090度角。度角。 例例3 2 1 2 tMFdJ 2 2 126 J FN d t 一个飞轮的质量一个飞轮的质量 ，半径，半径 ，正在以转速，正在以转速 转动。现在要制动飞轮，要求在转动。现在要制动飞轮，要求在 内内 使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力 为多为多 大？假定闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为大？假定闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为 ，而，而 飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上。飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上。 60kgm 0.25mR 0 1000r/min5.0st N 0.8 k 练练

14、习习 解解 匀减速转动，角加速度匀减速转动，角加速度 为恒量，方向与角速度方向相反为恒量，方向与角速度方向相反 0 t 2 0 104.7 20.9 rad/s 5 0 1000 2 104.7 rad/s 60 其中其中 0;5.0st 以角速度方向为正以角速度方向为正 f 0 F m N 作用于飞轮的对固定转轴的外力矩是作用于飞轮的对固定转轴的外力矩是摩擦力矩摩擦力矩 根据刚体定轴转动定律得根据刚体定轴转动定律得 MJ k NR 因为飞轮的质量均匀分布在轮的外因为飞轮的质量均匀分布在轮的外 周上，所以飞轮对转轴的转动惯量周上，所以飞轮对转轴的转动惯量 可视为圆环对轴的转动惯量可视为圆环对轴

15、的转动惯量 2 JmR k J N R 2 kk mRmR R 60 0.2520.9 392 0.8 N k MfRNR f 0 F m N mg m R O 如图所示，一质量为如图所示，一质量为m 、半径为、半径为R 的匀质的匀质 圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动. . 圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固 定在滑轮上，另一端悬挂一质量为定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m 的物的物 体，求物体下落时的加速度。体，求物体下落时的加速度。 例例 4 解解 y a 1 T 2 T 滑轮受到的外力矩为绳的拉力矩，对于轴滑轮受

16、到的外力矩为绳的拉力矩，对于轴O 1 MT R 由刚体的定轴转动定律得由刚体的定轴转动定律得 MJ 2 1 2 m R 1 T R 对物体应用牛顿第二定律得对物体应用牛顿第二定律得 2 mgTma 12 ,aR TTT 2 m ag m m 练习：质量为m1， m2 （ m1 m2）的两物体，通 过一定滑轮用绳相连，已知 绳与滑轮间无相对滑动。定 滑轮质量为M，半径为R、r， 忽略转轴的摩擦。求：(1) m1 、m2的加速度；(2)滑轮 的角加速度 及绳中的张力。 R o M m2 a T2 m2g m1 T1 m1g T1 r T2 1 a 2 a 受力分析如图所示受力分析如图所示. . 隔

17、离法隔离法 上下作平动的两物体：上下作平动的两物体：可以视为质可以视为质 点，向下为正，由牛二定律得点，向下为正，由牛二定律得 1111 1 22222 () mm gj T jm a j mm gjT jm aj ：- ： 滑轮定轴转动：滑轮定轴转动：以逆时针为以逆时针为z z轴，轴， 由刚体定轴转动的转动定律得由刚体定轴转动的转动定律得 12 () T RkT rkJ k 解解 11t aaR 运动和受力关联：运动和受力关联：绳与滑轮间绳与滑轮间无相对滑动无相对滑动，所以滑轮边，所以滑轮边 缘上一点的切向加速度和物体的加速度相等，即缘上一点的切向加速度和物体的加速度相等，即 R o M m

18、2 a T2 m2g m1 T1 m1g T1 r T2 y 2 a 1 a 22t aar 解 ： 1111 2222 m gTm a m gTm a 1 12 2 T RT rJ 1 1 aR 2 2 ar R o M m2 a T2 m2g m1 T1 m1g T1 r T2 y 2 a 1 a 解得 2 21 1 2 22 2 2 21 1 1 11 1 2 22 2 () () () m Rm r g Im Rm r Tm gr TmgR 若若m1=m2，滑轮角加速度方向朝哪边？，滑轮角加速度方向朝哪边？ R o M m2 a T2 m2g m1 T1 m1g T1 r T2 y 2

19、 a 1 a 应用刚体转动定律解刚体定轴转动问题的方法和步骤：应用刚体转动定律解刚体定轴转动问题的方法和步骤： 1 1、选取对象选取对象：采用隔离法：采用隔离法 3 3、运动分析运动分析：建立坐标系，质点平动和刚体转动：建立坐标系，质点平动和刚体转动 2 2、受力分析：受力分析：画出受力图，确定转轴和画出受力图，确定转轴和对轴力矩对轴力矩。 5 5、动力学方程动力学方程：牛顿第二定律（对质点）和转动定律：牛顿第二定律（对质点）和转动定律 （对刚体）。方程采取分量式并包括必要的辅助方程。（对刚体）。方程采取分量式并包括必要的辅助方程。 4 4、转动惯量计算转动惯量计算 三、刚体定轴转动的动能、势

20、能、机械能三、刚体定轴转动的动能、势能、机械能 1、刚体的动能（定轴转动）、刚体的动能（定轴转动） 动能：动能： F在刚体上取一质元在刚体上取一质元 ： i p 2 1 2 kiii Emv 22 1 2 i i mr F对刚体上所有质元的动能求和：对刚体上所有质元的动能求和： 22 1 2 ki i Emr 2 1 2 J 则刚体的转动动能则刚体的转动动能 2 1 2 k EJ i r i m i v 2、刚体的动能定理（动能定理）、刚体的动能定理（动能定理） 质点组动能定理质点组动能定理 刚体特性刚体特性 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 int21extkk WWEE 质点间

21、无相对位移质点间无相对位移 int 0W 21extkk WEE F刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理： 22 21 11 22 WJJ 刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理： 合外力合外力/矩矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量 功的力矩表示功的力矩表示 z P r dr F d dWF dr sinFdr Md 力矩的功力矩的功 F力矩力矩M 2 1 dWM o y x r dP dr F drdsrd sindWFrd F力力 对质元对质元P所做的元功：所做的元功：F sinFr h hi hc x O m C

22、m 一一个质元：个质元： ii ghm i i iP hgmE c i ii mghhmg )( 整个刚体：整个刚体： 3、刚体的势能、刚体的势能 u：刚体的重力势能等于其质心的重力势能。刚体的重力势能等于其质心的重力势能。 c i ii h m hm u：质量均匀分布质量均匀分布的刚体，质心的位置为它的几何中心。的刚体，质心的位置为它的几何中心。 4、刚体的机械能及其守恒定律、刚体的机械能及其守恒定律 含定轴转动刚体的系统含定轴转动刚体的系统 机械能守恒定律机械能守恒定律 222222 总总 111111 222222 () cM EJmmghkx 刚体的机械能：刚体的机械能： 2 2 1

23、1 2 2 Mc EJmgh 质点和刚体的机械能：质点和刚体的机械能： 外外非非保保 若若 0 0 或或只只有有保保守守力力作作功功()WW 系统的机械能守恒，即系统的机械能守恒，即 对对 质点和刚体组成的系统：质点和刚体组成的系统： 总总 恒恒定定 M E 例例5一匀均细杆长l， 质量m，垂直放置，o点 着地。杆绕o点自由倒 下，求杆的另一端点a 着地时的角速度、线 速度v、法向加速度an及 切向加速度 a 。 a c mg c l m a o 解 杆在倒下过程中机械能守恒 22 ) 3 ( 2 1 2 ml ll mg gllv 3 杆着地时刻，根据转动定律 M=I ) 3 ( 2 2 m

24、l ll mg l g 2 3 a c mg c l m a o l g3 glan3 2 mg 一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀的均匀 细棒细棒, , 棒的一端可绕通过棒的一端可绕通过O点点 并垂直于纸面的轴转动并垂直于纸面的轴转动, , 棒的棒的 另一端有质量为另一端有质量为m 的小球。的小球。 开始时，棒静止地处于水平位开始时，棒静止地处于水平位 置置A。当棒转过。当棒转过 角到达位角到达位 置置B，棒的角速度为多少，棒的角速度为多少? ? 取小球、细棒和地球为系统取小球、细棒和地球为系统, , 在棒转动过程中机械能守在棒转动过程中机械能守 恒恒, , 设设A位置为重力势能零点

25、位置为重力势能零点. . o A B 练练 习：习： 解解: : ,m l m mg 1 sin 2 l kApAkBpB EEEE 0 kAPA EE kApAkBpB EEEE 2 1 2 kB EJ 12 JJJ 222 14 33 Jmlmlml (sinsin ) 2 pB l Emgmgl 3 sin 2 mgl 22 23 0sin 32 mlmgl 1 2 3sin () 2 g l mg o A B ,m l m mg 1 sin 2 l 例例6质量m1，半径为R的定滑轮（当作均质圆 盘）上绕一轻绳，绳的端固定在滑轮上，另一端挂 一质量为m2的物体而下垂，如图所示。忽略轴处摩

26、 擦，求物体m2由静止下落h高度时的速度。 ) 2 1 ( 2 1 2 1 22 1 2 22 Rmvmghm 21 2 2 2 mm ghm v 得 h R O m2 m1 解 根据机械能守恒定律 Rv 2、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位 置无关。置无关。 （B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置 无关。无关。 （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。）取决于刚体的质量、质量

27、的空间分布和轴的位置。 （D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间 分布无关。分布无关。 质点质点运动状态的描述运动状态的描述pmv 刚体刚体定轴转动运动状态的描述定轴转动运动状态的描述 LJ 0,0p j p i p 0,0p 3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律 ( (动量矩动量矩/ /角动量角动量) ) r m pmv O 1 1 质点的动量矩质点的动量矩 Lrprmv 大小大小sinLrmv 一、质点的动量矩和刚体的动量矩一、质点的动量矩和刚体的动量矩 o z mv r 90 方向：符合右

28、手法则方向：符合右手法则. . （圆周运动）（圆周运动） 2 Lrmvmr z mv r L 2 刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩 二、刚体定轴转动的动量矩定理二、刚体定轴转动的动量矩定理 2 i i i Lmr刚刚体体转转动动的的动动量量矩矩 i m i v z O i r LJ 22 11 21 tL tL MdtdLLLL 刚体定轴转动的动量矩定理刚体定轴转动的动量矩定理 2 1 21 t t MdtLJJ 2 iiiiii i mLrmvmr质质元元圆圆周周运运动动动动量量矩矩 2 i i i mr ()d J d L dt d t MJ d J dt 22 11 tt tt

29、FdtpMdtL 与与 的的关关系系与与 的的关关系系 三、刚体定轴转动的动量矩守恒定律三、刚体定轴转动的动量矩守恒定律 L 常量则则 若若 0M 讨论讨论 对于绕固定轴转动的刚体，因对于绕固定轴转动的刚体，因J 保持不变，当对轴的保持不变，当对轴的合合 外力矩外力矩为零时，其角速度恒定。为零时，其角速度恒定。 0 物体系物体系内力矩不改变系统的动量矩内力矩不改变系统的动量矩. . 物体系的动量矩守恒物体系的动量矩守恒 2 1 t t MdtL 解解: : 两个转动惯量分别为两个转动惯量分别为 J1 和和 J2 的圆盘 的圆盘A和和B。A是机器上的是机器上的 飞轮飞轮, , B是用以改变飞轮转

30、速的离合器圆盘。开始时是用以改变飞轮转速的离合器圆盘。开始时, ,他们他们 分别以角速度分别以角速度1 和和2 绕水平轴转动。然后 绕水平轴转动。然后, ,两圆盘在沿水两圆盘在沿水 平轴方向力的作用下啮合为一体平轴方向力的作用下啮合为一体, , 其角速度为其角速度为。 齿轮啮合后两圆盘的角速度。齿轮啮合后两圆盘的角速度。求求 例例 112212 ()JJJJ 1122 12 () JJ JJ 以两圆盘为系统，在衔接过程中以两圆盘为系统，在衔接过程中 有受外力：重力、轴对圆盘支持有受外力：重力、轴对圆盘支持 力及轴向正压力，但他们均不产力及轴向正压力，但他们均不产 生力矩；圆盘间切向摩擦力属于生

31、力矩；圆盘间切向摩擦力属于 内力，因此系统动量矩守恒内力，因此系统动量矩守恒 对转动惯量可变的物体，对转动惯量可变的物体，所受合外力矩为零时动量矩所受合外力矩为零时动量矩 也守恒。也守恒。 J t常量 J t J t 动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律. . 花样滑冰运动员通过改变身体姿花样滑冰运动员通过改变身体姿 态即改变转动惯量来改变转速态即改变转动惯量来改变转速. 51 跳水运动员的跳水运动员的“曲身曲身展体展体”动作，动作， 当运动员跳水时曲身，转动惯量较小，转当运动员跳水时曲身，转动惯量较小，转 速较快；在入水前展体，转动惯量增大，速较快；在入水

32、前展体，转动惯量增大， 转速降低，垂直入水。转速降低，垂直入水。 飞轮飞轮 1 2 航天器调姿航天器调姿 53 o 1 o 2 例：例：人与转盘的转动人与转盘的转动 惯量惯量J0= =60kg m2, ,伸臂伸臂 时臂长为时臂长为 1m，收臂时，收臂时 臂长为臂长为 0.2m。人站在。人站在 摩擦可不计的自由转摩擦可不计的自由转 动的圆盘中心上，每动的圆盘中心上，每 只手抓有质量只手抓有质量 m= =5kg 的哑铃。伸臂时转动的哑铃。伸臂时转动 角速度角速度 1 = = 3 s- -1, ,求收求收 臂时的角速度臂时的角速度 2 ，机，机 械能是否守恒？械能是否守恒？ 54 o 1 o 2 解

33、：解：整个过程合外力整个过程合外力 矩为矩为0，角动量守恒，角动量守恒， 2211 JJ 2 101 2m lJJ 2 15260 2 202 2m lJJ 2 2 .05260 2 mkg70 2 mkg4 .60 55 2211 JJ 2 11 2 J J 由转动惯量的减小，角速度增加。由转动惯量的减小，角速度增加。 在此过程中机械能不守恒，因为人收在此过程中机械能不守恒，因为人收 臂时做功。臂时做功。 1 5 . 3 4 .60 703 s 哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示，哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示， 它距离太阳最近的距离是它距离太阳最近的距离是 ,

34、, 速率速率 ；它离太阳最远时的速率；它离太阳最远时的速率 ，这时它离太阳的距离，这时它离太阳的距离 远日远日 v 近日近日 v 近日近日 r 远日远日 r 10 8.75 10 mr 近日 4-1 5.46 10 m sv 近日 例例 2-1 9.08 10 m sv 远日 r 远日 ？ 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太 阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中动量矩守恒阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中动量矩守恒. . 于于 是有是有 rvrv 远日远日近日近日， rv r v 近日 近日 远日 远日 12 5.26 10 mr 远

35、日 代入数据可得代入数据可得 解解: : rvrv 远日远日近日近日 n一、刚体定轴转动的一、刚体定轴转动的 运动学运动学 n二、刚体定轴转动的二、刚体定轴转动的 转动定律转动定律 n三、刚体定轴转动的三、刚体定轴转动的 动能、势能、机械能动能、势能、机械能 n四、刚体定轴转动的四、刚体定轴转动的 角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律 主要内容主要内容 瞬时效果瞬时效果 质点运动质点运动刚体定轴转动刚体定轴转动 速度速度 加速度加速度 角速度角速度 角加速度角加速度 质量质量 m 转动惯量转动惯量 2 Jr dm 力矩力矩M力力F dv a dt d dt d dt dr v dt 运

36、动定律运动定律转动定律转动定律MJFma 1、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果 这几个力的矢量和为零，则此刚体（这几个力的矢量和为零，则此刚体（ ） （A）必然不会转动）必然不会转动 （B）转速必然不变）转速必然不变 （C）转速必然改变）转速必然改变 （D）转速可能不变，也可能改变）转速可能不变，也可能改变 2、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位 置无关。置无关。 （B）取决于刚体的质

37、量和质量的空间分布，与轴的位置）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置 无关。无关。 （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。 （D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间 分布无关。分布无关。 n3.一匀质圆环和匀质圆盘，它们的半径、质量 都相同，都绕通过各自的圆心垂直平面的固定 轴匀速转动，角速度均为w0，若某时刻它们 同时受到相同的阻力矩作用，则（ ） nA、圆环先静止 B、圆盘先静止 nC、同时静止 D、无法确定 M R m 1、质量为质量为M=16kg的实心滑轮，半径为的

38、实心滑轮，半径为R。一根细绳。一根细绳 绕在滑轮上，一端挂一质量为绕在滑轮上，一端挂一质量为m=8kg的物体的物体,求求 （1）由静止开始）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离秒钟后，物体下降的距离; （2）绳子的张力。（）绳子的张力。（ g =10 m.s-2 ） 2 8 10 52 28 8 mg am s mM 分 1 16 5403 2 N 分 ; R a MaT 2 1 22 11 5 12.53 22 hatm 分 2 1 (2) 2 JMR分;JTR 对空间积累的效果对空间积累的效果 质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动 动能动能转动动能转动动能 2 /2 k Emv

39、2 /2 k EJ 动能定理动能定理动能定理动能定理 22 0 11 22 WJJ 22 0 11 22 Wmvmv 力的功力的功 力矩的功力矩的功 0 WMd b a WF dr 机械能守恒机械能守恒 只有保守力作功时只有保守力作功时 机械能守恒机械能守恒 只有保守力作功时只有保守力作功时 kp EE恒恒量量 重力势能重力势能 p Emgh 重力势能重力势能 pC Emgh kp EE恒恒量量 a 如图所示，一个光滑的质量均匀分布的定如图所示，一个光滑的质量均匀分布的定 滑轮，其质量为滑轮，其质量为M,M,半径为半径为 R R。通过质量可忽略。通过质量可忽略 的绳子，两端分别悬挂质量为的绳子

40、，两端分别悬挂质量为m m1 1和和m m2 2的物体，的物体， 则下列说法正确的是则下列说法正确的是 ( )( ) (A) (A) 定滑轮和两个物体组成的系统机械能定滑轮和两个物体组成的系统机械能 守恒守恒 (B) (B) 两个物体的势能改变量之和等于它们两个物体的势能改变量之和等于它们 的动能改变量之和的动能改变量之和 (C) (C) 两个物体的加速度大小不相同两个物体的加速度大小不相同 (D) (D) 定滑轮的转动动能改变量等于两个物定滑轮的转动动能改变量等于两个物 体势能的改变量体势能的改变量 66 例例、一个质量为、半径为的定、一个质量为、半径为的定 滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳

41、，滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂 一质量为的物体而下垂。忽略轴处一质量为的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体由静止下落高度时摩擦，求物体由静止下落高度时 的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。 解：据机械能守恒定律：解：据机械能守恒定律： Mm mgh vRv 2 4 可解出 22 2 1 2 1 mvJmgh 67 2 m 例：如图所示，滑轮转动例：如图所示，滑轮转动 惯量惯量J=0.01kgJ=0.01kg，半径，半径 R=7cmR=7cm物体质量物体质量m=5kgm=5kg，由，由 一绳与倔强系数一绳与倔

42、强系数K=200N/mK=200N/m 的弹簧相连，若绳与滑轮的弹簧相连，若绳与滑轮 间无相对滑动，忽略轴上间无相对滑动，忽略轴上 摩擦，求（摩擦，求（1 1）当绳拉直，）当绳拉直， 弹簧无伸长时，使物体由弹簧无伸长时，使物体由 静止而下落的最大距离；静止而下落的最大距离； （2 2）物体速度最大值的）物体速度最大值的 位置及最大速度。位置及最大速度。 m J R K 68 ，代入数据得 ，得时当达 点。有以初位置为重力势能零 ，机械能守恒，设下落为 性力作功，物体下落时仅重力及弹解 mx kmgxvx Jmvmgxkx x 49. 02008 . 952 ,20, 0 ) 1 (0 2 1 2 1 2 1 ) 1 ( max maxmax 222 69 。求得最大速度代入 及相应数据及最大，以时，即 ，得 以上式右边有，时，上式左边最大，所当 有由 1 max max 22 3 . 1)2( 245. 0 245. 0 200 8 . 95 0 21 2 1 2 1 2 1 ) 1 ()( smv R v k mg xvmx m k mg x dx xkxmgd vv xkxmgJmv 对时间积累的效果对时间积累的效果 质点运动质点运动刚体定轴转动刚体定轴