第3章-核反应堆临界理论

1、1 第第3章章 核反应堆临界理论核反应堆临界理论 n研究均匀裸堆的临界问题。主要研究下 面两个问题： n（1）各种形状的反应堆达到临界状态的 条件（临界条件），临界时系统的体积 大小和燃料成分及其装载量； n（2）临界状态下系统内中子通量密度 （或功率密度）的分布。 2 研究方法研究方法 n首先，研究均匀裸堆。 n其次，研究带反射层的反应堆。 n最后，研究非均匀堆。 n方法是先单群，后多群研究。 3 什么是均匀裸堆均匀裸堆？ n均匀：燃料、慢化剂、结构材料等堆芯 内一切材料均匀混合： n裸堆：没有反射层； n中子源：有增殖介质。 n在非均匀堆的研究上，从理论上给出了 均匀堆和非均匀堆的中子通量

2、密度分布 的差别，并对非均匀堆与均匀堆的四因 子公式差别作了简要分析。 4 3.1 均匀裸堆的单群理论均匀裸堆的单群理论 n3.1.1 单群扩散方程单群扩散方程 n中子源S主要是增殖介质的裂变源 n 称为曲率，它等于 ，后者表征 了中子通量密度空间分布的弯曲程度 a k 0 2 SD a 0) 1( 2 a kD 0 22 B 2 B / 2 a D L L k B 2 2 2 , 1 5 裸堆单群临界方程 n裸堆单群临界方程 n材料曲率 2 2 1 L k B a D L 2 1 1 22 BL k 6 3.1.2 平板裸堆平板裸堆 n图3-1 无限宽有限厚的平板均匀裸堆 7 3.1.2 平

3、板裸堆平板裸堆 n均匀平板的波动方程为 n边界条件 n1外边界 n2 中心处 0 2 2 2 B dx d 0 2 a x 0 0 x dx d 8 解 n由于B20，所以方程 的通解 可写为 n (x)AcosBx+CsinBx (3-8) n式中，A和C为待定系数。由边界条件(2)，则 有C0。因而式(38)可写成下列形式 n (x)AcosBx 0 2 2 2 B dx d 9 由边界条件(1) n得 n因为A0，故有 n=1,3,5 n因而 n这些常数Bn，称为该方程的本征值，对 应的函数 n(x)Acos(Bnx)称为本征值Bn 对应的本征函数。 0) 2 cos() 2 ( Ba

4、A a 22 n Ba a n BB n 10 解 n对于临界的反应堆，随着时间变大，除 去第一个模态(n=1)外的所有模态(n1) 都衰减了。渐进的（或持久的）中子通 量密度取决于n=1的模态。于是， n 几何曲率 n临界系统中的中子通量密度分布为 n a BB 1 22 1 2 )( a BBg )cos()(x a Ax 11 系数A n系数A由功率条件决定。一个系统只要是临界的，则中 子通量密度分布中的A可为任意常数。这个事实表明， 从理论上讲，堆功率是可任意提高的。实际上由于热 工传热条件，燃料制造工艺等工程问题的限制，堆功 率总是限止在某一数值以下。因而系数A也由功率条件 限止为某

5、一数值。 n无限长平板堆单位面积所对应的体积所发出的功率为 n积分后得 2 2 2 2 )cos()( a a a affff dx a x AEdxxEP ff aE P A 2 12 3.1.3 有限高圆柱形均匀裸堆 n设一有限高圆柱形 n均匀裸堆，高为H， n半径为R，如图3-2 n所示，采用圆柱形 n坐标，坐标原点位 n于轴线的半高度上。 13 在圆柱形坐标系中 n拉普拉氏算符的表达式为 n中子通量密度分布是对称的，故与 无关。 因而有限高圆柱均匀裸堆的波动方程可以写 为 n(1)不计外推长度时，反应堆外边界上，中子 通量密度为零 n(2) 中子通量密度分布对称 2 2 2 2 2 2

6、 1 )( 1 zrr r rr 0)( 1 2 2 2 B zr r rr 0),( Rr zr 0),( 2 H z zr 0 0 z z 0 0 r r 14 二阶偏微分方程 n采用分离变量法 n代入方程(3-16)得到 n上式等号左边只与r有关，等号右边只与z 有关。因为r和z是两个彼此无关的独立变 量，要使式(3-22)保持相等关系，只有两 边都是常数才行。该常数记为 ,则得到 )()(),(zZrfzr 2 2 2 2 2 111 dz Zd Z B dr df rfdr fd f 2 2 2 2 1 dz Zd Z 0 1 2 2 2 f dr df rdr fd 15 方程（3

7、-23） n方程 n解 n由边界条件(2)，式(3-20)得A20，则 2 2 2 1 dz Zd Z zAzAzZsincos)( 21 zAzZcos)( 1 )cos()( 1 z H AzZ 16 方程（3-24） n方程 n及 n令 n化为零阶贝塞尔方程 n通解 nC1，C2是两个待定常数。J0(x)，Y0(x)分 别是零阶第一类及第二类贝塞尔函数， 它们随x的变化见图3-3。 0 1 2 2 2 f dr df rdr fd 222 1 22 )( H BB xr 0 2 2 2 2 fx dx df x dx fd x )()()( 0201 xYCxJCxf 17 图3-3 零

8、阶贝塞尔函数 18 零阶贝塞尔方程解 n当x0时，J0(0)1，而Y0(0)-。 nr0处堆内中子通量密度有限，所以C2 0。则式(3-32)可写成 n由边界条件式(3-17) n正如图3-3所示，在xx1，x2等处，函 数J0(x)为零，即J0(xn)0。故 必须取 如下的本征值 )()( 01 xJCxf 0)()( 01 RJCrf Rr n R xn n 19 曲率 n同样，当反应堆达到临界时，只有n1 这个本征值有物理意义。 n因为 所以 n临界时，r向的中子通量密度分布为 n反应堆的中子通量密度分布为 RR x405. 2 1 1 222 B 222 )() 405. 2 ( HR

9、 B ) 405. 2 ()( 01 r R JCrf )cos() 405. 2 (),( 0 z H r R AJzr 20 常数A n取环状体积元dv2 drdz，在(r,z)处该体积 元所发出来的功率为 n从零到R对r积分，从-H/2到H/2对z积分可得 到功率 n代入 的表达式，上式可化为 n r rdrdzzrEdP ff ),(2 2/ 00 ),(4 HR ff drdzzrrEP ),(zr dzz H drr R rJAEP RH ff )cos() 405. 2 (4 0 2/ 0 0 21 常数A（续） n分成r积分和z积分，得 VE P JVE P A ffff 64

10、. 3 )405. 2(4 405. 2 1 22 3.1.4 单群临界方程与临界条件单群临界方程与临界条件 n当反应堆临界时，材料曲率应该与几何 曲率相等，即 n材料曲率与几何曲率的关系与堆状态有 关 ： n次临界 keff1 n临界 keff1 n超临界 keff1 22 2 1 gm BB L k 2 g B 2 g B 2 g B 2 m B 2 m B 2 m B 23 临界方程 n临界方程 n解决的问题 n1 n2 1 1 22 BL k 24 临界方程的物理解释 n临界方程 nPL有限大临界裸堆的中子不泄漏几率。 n若无限大，PL1，k=1，无限大临界裸 堆应有k=1， n若有限

11、大，PL1 2222 1 1 11 1BL PPk BL k LL 1, effL L eff kPk N PNk k（临界时） 25 PL为有限大临界裸堆的中子不泄漏几率 n吸收中子数： n泄漏中子数： n v a dv 0 2222 BdvDBdvD vv 22 2 2 2 1 1 1 1 BL B D DBdvDBdv dv P a a a vv a v a L 吸收泄漏 吸收 26 例题例题3-1 n裸堆由直径为2.54cm的天然铀金属长棒 排列成栅距为0.152m的正方形栅格并悬 挂在圆柱形容器内所组成。容器内盛有 重水作为慢化剂。堆芯的高度、直径之 比为1.2。由材料的性质已知 8

12、.6m-2。试估算使这一反应堆刚好临界的 天然铀质量。 2 m B 27 解 n有限高圆柱堆的几何曲率 n因为H/(2R)1.2,即H2.4R代入 n对于临界反应堆， nR2=0.8721m2，R=0.93m n H=2.4R=2.4x0.93=2.23m 222 )() 405. 2 ( HR Bg 2 222 50. 7 ) 4 . 2 () 405. 2 ( RRR Bg 6 . 8 50. 7 2 2 2 mg B R B 28 解（续1） n燃料棒位于栅距为0.152m的正方形栅格 节点上。因此每根棒分得的有效面积为 0.0231m2，堆芯的横截面积为R2 (0.93)22.72m2

13、，所以燃料棒数为 2.72/0.0231117.6。每根棒的直径为 2.54cm，其长度和堆芯相同，即2.23m。 燃料棒体积V为 n m3 132. 011723. 20254. 0) 4 1 ( 2 V 29 解（续2） n金属铀的密度19.0 x103 kg /m3，所以 燃料总质量为 n mV0.132191052.51103kg 30 平板临界尺寸 n一般说来，对于无限长有限厚的平板堆， 临界时，其厚度应满足 n即 2 2 2 )( 1 aL k B 1 k L a 31 圆柱堆最小临界尺寸 n对于有限高圆柱堆，临界时，其高度H与 半径R须满足 n该式只给出R与H的关系而不能给出确定

14、 的值。但如果再加上一个条件，即要求 最小临界体积，便能从式(3-43)中解得所 谓最佳半径或最佳高度。 n反应堆的体积为VR2H 22 2 2 )() 405. 2 ( 1 HRL k B 22 2 2 )( )405. 2( H B R 32 圆柱堆最小临界尺寸（续） n将R2值代入体积表达式(3-44)求V的极小值。令 可得 n具有最小临界体积的圆柱均匀堆，要求半径与 高之比大约为即直径与高大致有1:1的关系 0 dH dV 0 )( 23 2222 22 222 BH HB BH 2 2 2 0 2 3 B HH 2 2 2 0 2 2 )405. 2(3 B RR 33 22 0 2

15、 00 148 2 )405. 2(33 BB HRVV 33 表表3-1 实际动力堆堆芯尺寸实际动力堆堆芯尺寸 投入运行年月电站或核船名称输出功率/MWe堆芯高直径/mm 1972.4施塔德Stade KKs6302.993.05 1972.5缅茵杨基Maine YanKee7933.63.5 1973.5哈钦森岛1 Hutchinson Is18253.53.5 1974.9勇士Trojan11303.663.3 1976.8比布利斯B，Biblis B11803.93.6 1962.3萨瓦娜号核商船 NSSavannch 1.71.6 1968.10奥托哈恩号核商船 NSOtto Hah

16、n 1.121.15 1991秦山一期核电厂3002.902.486 1995大亚湾核电厂9003.653.36 2002.1秦山三期7005.9456.286 2006田湾10003.533.16 34 3.1.5 中子通量密度分布不均匀系数中子通量密度分布不均匀系数 n中子通量密度分布不均匀系数定义为堆 芯最大热中子通量密度与堆芯平均热中 子通量密度的比值， n 为最大中子通量密度。 n 为平均中子通量密度 n max V K max V V V dzr Vd dzr v),( 1 v v),( )cos() 405. 2 (),( 0 z H r R AJzr 35 圆柱堆 nr=0处，

17、其中子通量密度最大，即 n其中体积 A)0 , 0( max 2/ 2/0 0 2)cos() 405. 2 ( 1 v).( 1 H H R V rdrdzz H r R AJ V dzr V HRV 2 zr RH H V KK dzz H rdrr R J HR K 0 2/ 2/ 0 2 )cos(2) 405. 2 ( 36 中子通量密度分布不均匀系数中子通量密度分布不均匀系数 n中子通量密度分布 n径向不均匀系数为 n中子通量密度分布 n轴向不均匀系数 n有限高圆柱堆的 n中子通量密度分布不 均匀系数 R r rdrr R J R K 0 0 2 2) 405. 2 ( 2/ 2/

18、 )cos( H H z dzz H H K 646. 3571. 1321. 2 zrV KKK zrV KKK 37 表表3-2 临界均匀裸堆的曲率、中子通量密度分布与最小体积临界均匀裸堆的曲率、中子通量密度分布与最小体积 堆芯几何 形状 尺寸 几何曲 率 中子通量密度 分布 A 最小体积 无限平板 厚 1.57 - 长方体 3.88 无限高圆 柱 半径 R 2.32 - 有限高圆 柱 半径R 高H 3.64 球体半径 R 3.29 max 2 )( a 222 )()()( cba 2 ) 405. 2 ( R 22 )() 405. 2 ( HR 2 )( R )cos(x a A )

19、cos( )cos()cos( z c y b x a A ) 405. 2 ( 0 r R AJ )cos() 405. 2 ( 0 z H r R AJ )sin( 1 r Rr A ff aE P 57. 1 ff VE P 87. 3 f ER P 2 738. 0 ff VE P 64. 3 ff ER P 2 4 )( 161 3 cba B )55. 0( 148 3 HR B 3 130 B a cba 38 3.4.7 二群扩散方程和二群临界方程二群扩散方程和二群临界方程 n 一群扩散理论虽然简单，但只能给出一 些近似结果。对于压水堆，由于堆芯中 存在大量的快中子和热中子，因

20、而一群 扩散理论的计算将会带来较大的偏差。 n把中子的整个能区分成二部分。第一部 分(能量较高的部分)称快群，第二部分称 为热群。 39 多群扩散理论 堆型 重水 堆 压水 堆 高温 气冷 堆 快中子 反应堆 能群 数 1-2446-18 40 PWR少群能量划分 能群序 号 中子能量范围能区名称中子谱 1(10-0.821)MeV高能区裂变谱 20.821MeV- 5.53keV 中能区1/E谱 35.53keV- 0.625eV 共振能区 1/E谱修 正 40.625eV-0eV热能区麦克斯韦尔 谱 41 快群中子 n介质对快中子的吸收很弱，因而a0 , n转移截面FT表示快中子与介质核发

21、生 散射，有部分中子转移到热中子群 n快中子源为(k/p)aTr，因而快群的扩 散方程为： 0 2 TaTFTFFF p k D 42 热群中子 n 热群的扩散方程为 n这里我们感兴趣的是临界条件。正象在 处理单群扩散方程时一样，中子通量密 度满足波动方程 0 2 FTFTaTTT pD 0 22 B 0)( 2 TaTFTFF p k BD 0)( 2 TaTTFTF BDp 43 3.1.6 单群修正模型单群修正模型 n单群扩散理论虽然简单，只能给出一些 近似结果。对于压水堆，压水堆是欠慢 化系统，堆芯中有大量的超热中子。因 而单群扩散理论的计算将会带来较大的 偏差。 44 克莱姆法则 n

22、 ， 非零解的必要条件是其系数行列 式为零 0 )( )( 2 2 aTTTF TFF BDp p k BD F T 45 行列式解 n展开后为 n或 n上式可以改写为 n其中 ， n这就是二群扩散理论所得的均匀裸堆临 界方程 0)( 22 aTTFaTTTFF kBDBD 1 22 aT aTT TF TFF BDBD k 1 )1)(1 ( 222 TT LBB k TFFT D /aTTT DL/ 2 46 不泄漏几率 n令 分别为快中子慢化过 程中和热中子扩散过程中不泄漏几率。 则有 n如果将上式的分母部分展开，并略去B4 项(因为对于大堆它们是非常小的)，方程 就化为 即 n其中 称

23、徙动面积 222 1 1 , 1 1 LB P B P TF 1 effTF kPPk 1 )(1 22 LB k 1 1 22 MB k 22 LM 47 单群修正模型公式单群修正模型公式 n单群临界方程（式3-40，41）中，L2用 年龄和扩散面积L2之和（徙动面积M2） 来代替。此时的临界方程可以写为 n即 22 2 1 gm BB M k 1 1 22 BM k 48 快群参数快群参数 慢化剂DF/mFT/m-1/10-4m2 H2O0.01134.1927 D2O0.01290.985131 Be0.005620.551102 石墨0.010160.276368 49 热群参数热群参

24、数 aT 2 T L 慢化剂密度 /103kg/m3 DT/m aT/m-1 /10-4m2 H2O1.00.00161.978.1 D2O1.100.00872.9x10-33.0 x104 Be1.850.0050.104480 石墨1.600.00842.4x10-23500 2 T L 50 例3-2 n设一轻水冷却圆柱形反应堆堆芯，其核 参数为： ， ， ， 加硼后 。 n求：（1）设堆芯高度H=3.55m，试求堆 芯的临界半径。 n （2）如果给定堆芯半径R=1.56m，求 反应堆的有效增殖因数为多少？ 242 107 . 4mL 24 1048m m tr 097. 0 072.

25、 1 k 51 解 n1）求出反应堆堆芯的外推距离 n m，根据修正单群 理论，材料曲率为 n几何曲率为 n由 n m，则临界半径 n m 0689. 0097. 07104. 07104. 0 tr d 66.13 10)7 . 448( 1072. 11 42 2 M k Bm 22 2 ) 0689. 0255. 3 () 405. 2 ( R Bg 22 mg BB 67. 0 R 601. 00689. 067. 0 dRR 52 解2） nR=1.56m，几何曲率为 n有效增殖因数为 90. 2) 0689. 056. 1 405. 2 () 0689. 0255. 3 ( 222

26、 g B 056. 1 90. 2107 .521 072. 1 1 422 g eff BM k k 53 3.2 有反射层的均匀堆有反射层的均匀堆 n3.2.1 反射层作用反射层作用 n1 减少堆芯的中子泄漏，使得堆芯的临 界尺寸小于无反射层时临界尺寸。节省 所需易裂变物质数量； n2减小中子通量密度分布不均匀系数。有 反射层时将会增加反应堆的平均功率输 出。 54 反射层材料的要求 n良好散射性能 n吸收截面小 n因此，良好的慢化剂材料通常也是良好 的反射层材料。 55 3.2.2 反射层节省反射层节省 n反射层节省定义：反应堆堆芯包有反射 层而引起的堆芯临界尺寸减少的量。例 如，如果无

27、反射层的球形裸堆的临界半 径为R0，有反射层堆的临界半径为R，则 反射层节省的定义为： n反射层节省常常用多组法计算 RR 0 56 有反射层的平板堆 n平板堆堆芯临界厚度由如下的临界方程 确定 ： n 反射层节省定义为 n由于 所以上式变为 n )() 2 ( rr rc cc L T cth L DaB tgBD )( 2 1 0 aa )() 2 ( 0 rr r ccc L T cth L Da tgBBD 2/2/ 0 aBc )()( rr r ccc L T cth L D BctgBD )()( rr rcc c L T th D LBD Btg 57 平板堆的反射层节省与反射

28、层厚度的关系表达式 n关系式 n对于大型堆，Bc比1小很多 n反射层节省和堆芯曲率无关 n n反射层很薄 n反射层很厚 n反射层节省依赖于反射层的厚度.轻水堆约为 0.06m,但对石墨堆则大于0.5m。 )( 1 1 rr rcc c L T th D LBD tg B )( r r r c L T thL D D )( r r L T thL T D D r c r r c L D D cc BctgB/1 58 3.2.3 反射层对中子通量密度分布的影响反射层对中子通量密度分布的影响 59 3.2.4 反照率反照率 n反照率描述了不同物理性质介质在交界 面上粒子的入射和反射的情况。它是描 述出射该介质的中子占入射该介质的中 子的份额。换句话说，反照率也是一个 中子通过介质表面入射并从此表面返回 的几率。它主要用来描述堆芯和反射层 交界面处的边界条件。 60 反照率表达式 n根据斐克定律，反照率可以表示成 n此时在进行堆芯物理计算时，在堆芯和