第02章流体静力学

1、1 第二章 流体静力学 Chapter 2 Hydrostatics 2 n流体静力学是研究流体在外力作用下处于静止状态 的力学平衡规律。在外力作用下的流体体系，如果 各种力相互平衡，流体处于平衡状态，也就是达到 了静力平衡。 n本章研究的流体静力学原理对于处于相对静止的流 体体系也是适用的（广义的静力平衡）。 例如： 静止杯中的水 以等角速度旋转杯中的水 匀加速直线运动杯中的水 研究对象(Objects of Study) 3 重要特点(Important Features): 处于静力平衡状态的流体，由于无流体的相对运动， 此时无论流体是否具有粘性，相对静止的流体都不会产生 粘性内摩擦阻力

2、和粘性动量传输。所以流体静力学得到的 结论对理想流体和牛顿粘性流体都是成立、适用的。 研究流体静止平衡状态下的力学规律，实质上就是要 确定流体中压力分布规律，以及对其约束容器壁的作用力， 这在工程中具有重要的意义。例如:压力容器的强度及安全 性、水库大坝、铸造抬箱力。 4 按力的作用方式不同，作用在流体上的力可 以分为质量力和表面力。 一、质量力 定义：作用在流体的每一质点（或微元体）的质 量中心上，且与质量成正比的力。 2.1 作用在流体上的力与流体的静压力 Forces on Fluids and Hydrostatic Pressure 5 例如：在密度为 的流体中取一控制微元体 ，其质

3、量 为： ，根据牛顿力学，质量为m的微元体的流体在 各种加速度的作用下，会产生力的效应 。工程中常 见的加速度有三种： n直线加速度 n重力加速度 n离心加速度 V mV Fm q g a 2r 6 对应三种加速度，就会有三种质量力产生： 这三种力可以合成： 为合成加速度。 2 L R Gmg Fma Fmr 重力 直线惯性力 离心惯性力 2 () LR FGFFm garmq q 7 二、表面力 定义：作用在所取的流体的分离体的表面上，且 与表面积大小成正比的力。 例如，作用在自由表面上的力；作用在选取 的微元体上的力等。粘性力也是一种表面力。 8 三、流体的静压力及其特性 Hydrosta

4、tic Pressure and Its Properties 在一个处于静力学平衡态 流体体系上，用任意一AB平面 分割为上下两部分、 。在 剖面AB上显然存在、两部 分两个大小相等，作用方向相反 的力，分离开后，只有分别继续 施加相同的作用力分布，才能使 两个分离部分各自继续保持平衡。 9 考察部分，在AB上面部分的作用力分布 根据流体的连续介质概念，压力分布 在AB面上 应该是连续的。 考察AB面上一点m上所受的压力Pm，设m点的空间坐 标为 ，则 ，称Pm为流体内 部在m点处的静压力（而称 为在任意平面AB 上的静压力分布）： ( , , )P x y z ( , , )P x y z

5、 , , mmm xy z (,) mmmm pp xyz ( , , )P x y z 0 lim m A F P A 10 流体静压力有两个主要特性： Two Properties of Hydrostatic Pressure 流体内部任意一点处的静压力方向始终沿着作用面的 内法线方向（而内法线方向上的力就是压力）。因为 流体不能承受拉、切应力。（外法线是拉应力；不垂 直，会在平面上产生切应力分量）； 从各个方向作用于同一点的流体静压力是相等的。即 作用在该点的静压力大小与该点作用面的空间方位无 关。 注：虽然同一点的各个方向压力相等，但不同点的压力 却是不一样的，是空间位置的函数。 1

6、1 一般情况下，流体体系中的静压力是一个空间位置的 函数，所以为了确定任意流体体系的静压力分布，需要 描述流体静压力分布的微分方程，该方程叫流体静力平 衡微分方程，也称欧拉方程(Euler Equation)。 2.2 流体静力平衡微分方程及等压面 12 一、流体静力平衡微分方程（欧拉方程） 在三维处于静力学平衡的 流体中任意一点(x,y,z)为中心， 取一六面体微元，如图示，设 A点静压力为p(x,y,z)。 下面来分析单元体的受力 情况： 13 表面力： 将该微元体视为一分离体，也处于静态，它的六个表 面受到周围流体的静压力，压力方向均垂直指向表面。 如，x方向法线的左右两表面上的压力分别

7、为： p dx dydz x dydz p dx dydz x 1 左面： (p-) 2 为作用面积 1 右面： (p+) 2 14 所以，作用在微元体上沿x方向的流体总静压力为： 同理，作用于微元体y、z方向的总静压力分别为： xmn pp FFFdx dydzdx dydz xx p dxdydz x 11 (p-)(p+) 22 y z p Fdxdydz y p Fdxdydz z 15 质量力： 考虑任意方向的质量力 ，为不失一般性，可分解 为在x,y,z轴上的三个分量： 式中X,Y,Z分别为合成加速度在x轴，y轴，z轴上的 投影，即 2 2 2 x y z x y z x z W

8、Xgar M W Ygar M W Zgar M FX xdydz FY xdydz FZ xdydz 式中： F W qX iY jZ k M 16 所取微元体处于静力学平衡态，要求在x,y,x三个坐标 方向的所有力都平衡，即： 式（2-3）为流体静力学平衡微分方程，也称欧拉方程。 0 023 0 xx yy zz p X x FF p FFY y FF p Z z 17 在只有重力场作用下： (2-3)式变化为： , x y z Xg qgYg Zg (24) x y z p g x p g y p g z 18 式(2-3)或(2-4)式流体静力平衡方程在三个坐标方向上的 分量方程形式，

9、在实际应用时，将这三个方程写成全微 分方程的形式更加方便。做法是用dx, dy和dz分别乘(2-3) 式各方程的两边，相加适当整理得： () ppp dxdydzXdxYdyZdz xyz 19 因为在静力学平衡条件下，流体中的静压力只是空间坐 标(x,y,z)的函数，所以上式左端实际可以视为在(x,y,z)点 流体压力p(x,y,z)的全微分： 则上式得到全微分形式的欧拉方程： ppp dpdxdydz xyz ()(25)dpXdxYdyZdz 20 对于不可压缩的流体（密度为常数），方 程(2-5)的右端可以视为某一势函数的全微分： 也即： UUU dUdxdydz xyz U X x

10、U Y y U Z z 21 欧拉方程可进一步写成简化形式： dU 的具体形式取决于流体所处于质量力场 (26)dPdU 22 等压面：流场中凡是压力相等的各点组成的曲面（空间）。 根据等压面的定义，等压面方程为: P(x,y,z)=Constant 或：dP=0. 由(2-6)式有： dU=Xdx+Ydy+Zdz=0 (2-7) 也称为等压面微分方程。 二、等压面的概念 23 等压面具有以下三个重要的特点： 等压面的实质就是等势面； 静止流体中任意一点的质量力必然垂直于通过该 点的等压面； 处于平衡态的非混合的两种不同流体的接触分界 面必然为等压面。 24 例题：求重力场下静止流体的等压面？

11、 解： 取坐标Z轴垂直向上， 当质量力仅仅为重力时： 将 X=Y=0，Z=-g，代入方程（27） Xdx+Ydy+Zdz=0 则： -gdz=0 z=常数 结论：等压面为一簇水平面 25 如图所示的流体体系中， 只有向下的重力，则质量力 在各坐标轴上的投影为： X=0，Y=0，Z= -g，且流体不 可压缩，则(2-5)式变为： 积分得： 式中，c为积分常数，可由边 界条件确定。 2.3 流体静压力基本方程及其意义 dPgdz (29) P zC g 26 (2-9)式表明：在重力作用下，静止流体中的任一点的 压力能与位能之和为常数，即任意两点压力能与位能之 和相等。若取自由表面z=z0,p=p

12、0作为基准点，代入方程 (2-9)得： 式中：h=z0-z 为任意一点距自由表面的深度。 n定义任意一点的流体位势能与压力势能之和为总势能； n定义任意一点的位置水头与压力水头之和为静水头。 0 (2 10)PPgh 27 28 结果与讨论： 物理意义：在静止的不可压缩、密度均匀的流 体中，任意的单位质量流体的总势能保持不变； 几何意义：在静止的不可压缩、密度均匀的流 体中，任意点的静水头连线为一平行于基准线 的水平线； 位置水头与压力水头可以相互转换。 29 大气压力： 绝对压力： 相对压力（表压）： 真空压力(真空度)： 此时 即表压和真空度是数值 相等符号相反的两个量 2.4 不同基准的

13、压力表示方法 a pp 大气 a ppgh 绝 a pppgh 表绝 ,0 a ppp 绝表 va pppghp 绝表 30 (2-10)式给出的压力为绝对压力，在工程中测量某一 绝对压力是较复杂的，而采用开口测压管测压力要方便 很多。该法测得的压力相对大于大气压，所以又称为相 对压力，也称为表压。 工程上常常会遇到绝对压力小于大气压的情况，此时 采用相对压力法，测得得表压是负值。将绝对压力不足 于大气压的差值称为真空压力(简称为真空度)，用Pv表示 各种压力表示方法的相互关系如下图所示。 va pppghp 绝表 31 32 压力的单位： 我国推行采用国际标准单位制，采用法定计量单位为： 帕

14、斯卡，符号：Pa Pa=1N/m2 ； 大气压： 液柱高度： 2 2 1101325/0.1 198100/ N mMPa N m 标准大气压 工程大气压 2 5 1()133.322 1()9.80665 110 mmHgPa mmH OPa barPa 毫米汞柱 毫米水柱 33 压力的测量 34 35 在工程中，常常遇到旋 转容器中液体相对静止平 衡问题，较典型的例子是 立式和卧式离心铸造。一 般是采用流体静力学方法 来求解这一动力学问题， 此时，需要将垂直于旋转 轴的平面坐标上的质量力 引入惯性力。 2.5 等角速度旋转容器中液体的相对平衡 36 如图2-13所示，此稳定旋转液体中任意一

15、 点m的加速度在X, Y, Z三个坐标上的分量分别 为： 式中：r为质点m所在半径，x, y为r在x, y轴上 的投影。 22 22 cos sin Xrx Yry Zg 37 将质量力代入全微分形式的流体静力平衡方程： 得： 积分得: 或： 利用边界条件，当r = 0, z = 0时P = P0可定出积分常数 C=P0。则图中液体中任意一点m压力分布表达式: （227） 可见压力分布是有关半径r的二次曲线。 ()dpXdxYdyZdz 22 ()dpxdxydygdz 2222 () 22 xy PgzC 2 2 () 2 r PgzC ) 2 ( 22 0 z g r gPP 38 等压面

16、方程： 将上述单位质量力的分力代入等压面微分方程(2-7)： Xdx+Ydy+Zdz=0 得： 积分得： 或： (2-28) 即等压面是一簇绕z轴旋转的抛物面。 22 0 xdxydygdz 2222 11 22 xygzC 22 /2rgzC 39 自由表面方程： 将自由表面上一点r = 0,z = 0代入上式，则C=0，得 自由表面方程： (2-28a) 或： (2-28b) 22 /20 s rgz 22 /2 s zrg 40 讨论： 将(2-28b)代入(2-27)，可得： 可见，绕垂直轴等角速度旋转容器中液体的静压力 公式(2-27)与静止流体中静压力公式(2-11)完全相同。即,

17、 液体内任一点的静压力等于液面上的压力P0加上液体的 密度与重力加速度及该点淹深的乘积。 00 ()(229) s PPg zzPgh 41 一、作用在平面上的总压力 一容器盛(水)液体高度为h，作用在底面上的(面积 为A)总压力为： 可见，作用在水平面上的总压力只与液体的种类(密 度)，作用面积A，液深及自由表面压力有关。而与容器 的形状无关(即与体积无关)。 2.6 静止液体作用在平面及曲面上的总压力 0 ()FPAPghA 42 图2-12所示的具有相同底面积A，相同的液高，但形 状不同的四个容器底面受到的总压力是一样的。 43 二、倾斜平面所受的压力 如图所示，如容 器侧壁为一倾斜的平

18、面， 面积为A，平面倾斜角为 ，坐标轴选取如图示， 为求作用在此平面上的 液体总压力，在该平面 上取微元面dA其深度为h， 该处的压力为p垂直于平 面，则微元体的总压力 为： 44 45 46 47 由 可得如下结论： 作用在倾斜平面A上的液体总压力为一假想体积的液 体重量，该假想体积是以面积为A的平面为底，以平面形 心淹深hc为高的柱体。 当液体表面上的压力为P0 时，倾斜面所受到的总压力为： 例： =()-()-() (1) (1) s f FF GG FF 抬 抬 抬箱力 铁水对上箱砂型的总压力 上箱砂型重量上砂箱重量 压铁重量抬箱力 c Fgh A 0 () c FPghA 48 例题 49 50 三、静止液体作用在曲面上的总压力 1.作用在曲面上各点的流体静压力均垂直于容器器壁，形