第八章 电子的自旋

1、第八章第八章 电电 子子 的的 自自 旋旋 本本 章章 要要 求求 1.电子的内禀属性电子的内禀属性自旋的概念自旋的概念 电子的自旋算符和自旋波函数电子的自旋算符和自旋波函数 电子的自旋概念电子的自旋概念 电子的自旋态和自旋算符电子的自旋态和自旋算符 教教 学学 内内 容容 1 电子的自旋概念电子的自旋概念 （一）（一）电子自旋的引入电子自旋的引入 Z 处于处于s态的态的 银原子银原子 NS 许多实验证实电子具有自旋，许多实验证实电子具有自旋， 斯特恩斯特恩(Stern)-盖拉赫盖拉赫(Gerlach) 实验就是其中之一。实验就是其中之一。 实验结论实验结论 I. 银原子有磁矩银原子有磁矩 因

2、在非均匀磁场中发生偏转因在非均匀磁场中发生偏转 II. 银原子磁矩只有银原子磁矩只有两种两种取向取向 即空间是量子化的即空间是量子化的 理论分析理论分析 设银原子磁矩为设银原子磁矩为 ，非均匀磁场为，非均匀磁场为 ，方向是，方向是 z 向。则原子在外场中的附加势能向。则原子在外场中的附加势能 B UB cos z B 银原子沿银原子沿z 方向的受力：方向的受力： z (cos ) or zz z BBU F zzz 若原子磁矩可任意取向，则若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在可在 (-1, +1)之间之间 连续变化，感光板将呈现连续带。连续变化，感光板将呈现连续带。 磁矩与磁场磁矩与磁场 (

3、z轴轴)之夹角之夹角 但实验结果是出但实验结果是出 现两条分立线，对应现两条分立线，对应cos = -1 和和+1 。处于。处于s态的银态的银 原子原子 =0，没有轨道磁矩。，没有轨道磁矩。 那么那么原子磁矩来自哪里原子磁矩来自哪里 呢？又如何解释原子的这种空间取向量子化呢？呢？又如何解释原子的这种空间取向量子化呢？ 为了解释实验现象，乌伦贝克为了解释实验现象，乌伦贝克(Uhlenbeck) 和古和古 德斯密特德斯密特(Goudsmit)于于1925年提出年提出电子自旋电子自旋假设：假设： 类似于地球绕太阳的运动，电子一方面绕类似于地球绕太阳的运动，电子一方面绕 原子核运转，相应有轨道角动量，

4、一方面又原子核运转，相应有轨道角动量，一方面又 有自转有自转(自旋自旋)，有自转，有自转(自旋自旋)角动量。角动量。 其理论主要内容：其理论主要内容： （1）每个电子都具有自旋角动量）每个电子都具有自旋角动量 ，它在，它在空间任何空间任何 方向上方向上的投影只能取两个数值：的投影只能取两个数值： s 2 z s 所以所以Stern-Gerlach实验实验中，原子磁矩应该来自于中，原子磁矩应该来自于 电子的自旋运动，即自旋磁矩，它在电子的自旋运动，即自旋磁矩，它在 z 向投影有向投影有2个个 值，所以观察到值，所以观察到2条个分立线。条个分立线。 （2）每个电子都具有自旋磁矩）每个电子都具有自旋

5、磁矩 ，它与自旋角动量，它与自旋角动量 的关系为：的关系为： (SI); (CGS) ee ss mmc ( m 电子折合质量电子折合质量 ) 自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个值：自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个值： (SI) 2 zB e m 电子自旋运动的几点说明：电子自旋运动的几点说明： 电子自旋运动与电子的电子自旋运动与电子的“轨道轨道”运动不同，主运动不同，主 要表现在两方面：要表现在两方面： u 电子自旋角动量的电子自旋角动量的z分量分量sz =/2；电子；电子 “轨道轨道”角动量的角动量的z分量分量lz = m。 u 二者的朗德因子二者的朗德因子(g因子因子)或回

6、转磁比率不同。或回转磁比率不同。 z s z e g sm 自旋运动自旋运动 2 l l z e g lm “轨道轨道”运动运动 自旋是电子的一种自旋是电子的一种内禀属性内禀属性，和电子的坐标，和电子的坐标 以及动量无关，是以及动量无关，是描述电子运动状态的第四个变描述电子运动状态的第四个变 量量或自由度。（电子状态变量或自由度。（电子状态变量=空间坐标空间坐标+自旋）自旋） 自旋角动量用自旋算符自旋角动量用自旋算符 描写，它描写，它无经典对无经典对 应应，因为不能写成坐标和动量的函数。，因为不能写成坐标和动量的函数。 s 那么，那么，电子的自旋算符该如何表示？计及自电子的自旋算符该如何表示？

7、计及自 旋后，电子的态函数旋后，电子的态函数 又该如何表示？又该如何表示？ 2 电子的自旋态和自旋算符电子的自旋态和自旋算符 （一）（一）电子自旋态的描述电子自旋态的描述 考虑自旋后，电子的波函数写为二分量形式：考虑自旋后，电子的波函数写为二分量形式： ( ,) 2 ( ,) ( ,) 2 z r r s r 第第4个变量个变量 自旋向上分量自旋向上分量 sz = /2 自旋向下分量自旋向下分量 sz = -/2 2 ( ,2)r 自旋向上且位置在自旋向上且位置在r处的概率密度处的概率密度 2 ( ,2)r 自旋向下且位置在自旋向下且位置在r处的概率密度处的概率密度 (1) 2 ( ,2)rd

8、 电子自旋向上的总概率电子自旋向上的总概率 2 ( ,2)rd 电子自旋向下的总概率电子自旋向下的总概率 归一化条件归一化条件 1d *( ,)*( ,) 22 rr ( ,) 2 1*( ,)*( ,) 22 ( ,) 2 r rrd r 共轭态共轭态 复数共轭复数共轭 * 厄米共轭厄米共轭 + 22 ( ,2)( ,2)1rrd 归一化条件归一化条件 因此，电子波函数归一化时，必须因此，电子波函数归一化时，必须同时对自旋求和同时对自旋求和 以及对空间坐标积分以及对空间坐标积分。 电子自旋向上电子自旋向上 的概率的概率 电子自旋向下电子自旋向下 的概率的概率 若自旋和轨道相互作用可以忽略，则

9、电子波函数若自旋和轨道相互作用可以忽略，则电子波函数 可分离变量：可分离变量： ( ,)( ) () zz r srs (sz)即是描述即是描述自旋态的波函数自旋态的波函数，其一般形式，其一般形式 () z a s b 自旋波函数自旋波函数 其归一化形式其归一化形式 22 *1 a abab b 自旋向上的概率自旋向上的概率自旋向下的概率自旋向下的概率 自旋角动量的自旋角动量的z分量算符分量算符 的本征态：的本征态：zs 1 2 1 0 z s 1 2 0 1 z s （本征值（本征值/2）（本征值（本征值-/2） ( 理由理由? ) （二）电子自旋算符和（二）电子自旋算符和PauliPaul

10、i矩阵矩阵 电子的自旋角动量可用自旋算符电子的自旋角动量可用自旋算符 描写，它虽描写，它虽 然无经典对应，但作为角动量，应该满足角动量然无经典对应，但作为角动量，应该满足角动量 的一般定义：的一般定义： s ssi s , , , xyz yzx zxy SSi S SSi S SSi S 分量形式分量形式 （参见第（参见第3章角动量算章角动量算 符部分）符部分） (2) 1. 自旋算符自旋算符 由于由于自旋角动量自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取在空间任意方向上的投影只能取 /2 两个值，所以两个值，所以 , , xyz SSS 的本征值都是的本征值都是 /2，其平方为，其平方为 /22

11、 2 S 算符的本征值是算符的本征值是 22222 3 4 xyz SSSS 仿照仿照 22 (1)ll l 222 3 4 1 2 (1)sSs s 自旋量子数自旋量子数s s只有只有 一个数值一个数值 1 21 2 ( ,)( ,) 2 zzz sr sr s 本征值本征值/2（自旋向上），本征函数（自旋向上），本征函数 1/2 : 1 2 ( , ) ( ,), () 2 2 0 zz r r ss 自旋向上的态自旋向上的态 (3) (4) 1 21 2 ( ,)( ,) 2 zzz sr sr s (5) 本征值本征值-/2（自旋向下），本征函数（自旋向下），本征函数 -1/2。 下面

12、先计算下面先计算 。其本征值方程如下。其本征值方程如下(3)和和(5)式：式： zs 1 2 0 ( ,), () 2( ,) 2 zz r ss r 自旋向下的态自旋向下的态 (6) 2 z ab s cd 令令由由(3)-(6)式，易知式，易知 10 2 01 z s 如何计算如何计算 ？, xy ss 引入引入Pauli算符算符 ： 2 s 2. Pauli算符算符 2 2 2 xx yy zz S S S 分量形式分量形式 Pauli算符算符 是否厄米是否厄米 算符？算符？ xyz SSS、 的本征值都是的本征值都是 /2， xyz 、的本征值都是的本征值都是1； 2 2 2 xyyx

13、z yzzyx zxxzy i i i 分量形式分量形式 2 SiSi S 对易关系对易关系 的本征值都是的本征值都是1 。 222 xyz 、 即：即： 222 1 xyz 基于基于的对易关系，可以证明的对易关系，可以证明各分量之间满足各分量之间满足: 0 0 0 xyyx yzzy zxxz 由对易关系和反对易关系还可以得到关于由对易关系和反对易关系还可以得到关于 Pauli 算算 符的如下非常有用性质：符的如下非常有用性质： xyyxz yzzyx zxxzy i i i 反对易关系反对易关系 3. Pauli算符的矩阵表示算符的矩阵表示Pauli矩阵矩阵 10 2 01 z s 2 z

14、z S 10 01 z 再求再求 Pauli 算符的其他两个分量。令算符的其他两个分量。令 x ab cd zxxz (反对易关系反对易关系) 1010 0101 a ba b c dc d aba b cdc d 0 0 a d x简化为：简化为： 0 0 x b c 由力学量算符厄密性由力学量算符厄密性 * * 000 000 xx bbc ccb 得：得：b = c* (或或c = b*) * 0 0 x c c * 2 00 00 x cc cc 2 2 | |0 0| | c c I 1| 2 c 令：令：c = expi (为实），则为实），则 0 0 i x i e e 习惯上取习惯上取= 0 0 1 1 0 x (?)(?) yzx i 再由再由 1001 0110 y i 0 0 y i i 0 1 1 0 x 0 0 y i i 10 01 z Pauli矩阵矩阵( z 表象表象) 0 1 1 0 x 0 0 y i i 10 01 z 2 s 0 1 2 1 0 x S 0 20 y i S i 10 2 01 z S , , xyz SSS的本征值的本征值 /2，相应的本征矢？，相应的本征矢？ () z a s b 10 2