第四章 回转体表面的截交线

1、第四章第四章 回转体表面的截交线和相贯线回转体表面的截交线和相贯线 4.1 平面与回转体相交的截交线平面与回转体相交的截交线 4.2 两曲面立体相交的相贯线两曲面立体相交的相贯线 4.1 平面与回转体相交的截交线平面与回转体相交的截交线 基本要求基本要求 平面与圆柱平面与圆柱相交相交 平面与圆锥平面与圆锥相交相交 平面与圆球平面与圆球相交相交 平面与组合回转体相交平面与组合回转体相交 基本要求基本要求 1. 掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆 球相交，求表面交线的方法。球相交，求表面交线的方法。 2. 掌握回转体截交线的性质及求截交线的掌握回转体截交线的性质及求截

2、交线的 方法。方法。 曲面曲面立立体截交线的性质体截交线的性质 1. .曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线， 或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形；或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形； 2. .曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面 的共有线；的共有线； 3. .曲面立体的截交线上的点为立体表面和截平曲面立体的截交线上的点为立体表面和截平 面的共有点。面的共有点。 求截交线的方法步骤求截交线的方法步骤 特殊点特殊点 一、一、平面与圆柱相交平面与圆柱相交 1. .平面与圆柱相交所得截交线形状平面与圆柱相交所得

3、截交线形状 2. .例题例题 1. 平面与圆柱相交所得截交线形状平面与圆柱相交所得截交线形状 两平行直线两平行直线椭圆椭圆圆圆 截平面与圆柱轴线的倾角为截平面与圆柱轴线的倾角为，其交线的，其交线的W W投影投影 为为椭圆椭圆，椭圆的，椭圆的长、短轴长、短轴随随的变化而变化的变化而变化 截平面与圆柱轴线成截平面与圆柱轴线成 45时时, ,投影为圆投影为圆 2. 例题例题 例题例题1 求圆柱截交线求圆柱截交线 1 11 5 4 8 8 8 3 2 5 4 4(5) 2(3)2 3 解题步骤解题步骤 1. . 分析分析: :截平面为正垂面，所截平面为正垂面，所 得截交线为椭圆，其侧面投影得截交线为椭

4、圆，其侧面投影 为圆，水平投影为椭圆；为圆，水平投影为椭圆； 2. .求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点 、 、 ； 3. .求出若干个一般点求出若干个一般点、 、 、； 4. .光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性； 5. .整理轮廓线。整理轮廓线。 7 6 6(7) 6 7 例题例题2 求圆柱截交线求圆柱截交线 4. .光滑且顺次地连接各点，光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见作出截交线，并且判别可见 性；性； 5. 整理轮廓线。整理轮廓线。 3 4 5 33 4(5) 5 4 1(2) 2 1 1 2 解题

5、步骤解题步骤 1. .分析分析: :截交线的侧面投影为截交线的侧面投影为 圆的一部分，水平投影为椭圆的一部分，水平投影为椭 圆的一部分；圆的一部分； 2. .求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ； 3. .求出若干个一般点求出若干个一般点、 ； 21 43 例题例题3 求圆柱截交线求圆柱截交线 3顺次地连接各点，作顺次地连接各点，作 出截交线并判别可见性；出截交线并判别可见性； 4整理轮廓线。整理轮廓线。 1(2) 1(3) 3(4) 2(4) 解题步骤解题步骤 1分析分析: :截交线的水平投影截交线的水平投影 为直线和部分圆，侧面投影为直线和部分圆，侧面投影 为矩形；为矩形； 2

6、求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点 、； 12 34 例题例题4 求圆柱截交线求圆柱截交线 3. .顺次地连接各点，作出截顺次地连接各点，作出截 交线并判别可见性；交线并判别可见性； 4. . 整理轮廓线。整理轮廓线。 1(2) 3(4) 1(3) 2(4) 解题步骤解题步骤 1. .分析分析: :截交线的水平投影截交线的水平投影 为直线和部分圆，侧面投影为直线和部分圆，侧面投影 为矩形和两条线段为矩形和两条线段； 2. .求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、； 例题例题5 求圆孔截交线求圆孔截交线 1(2)(3)(4) 5(6)(7)(8) 1(5) 2(6) 3(7) 4(

7、8) 23 67 14 85 例题例题6 求圆柱截交线求圆柱截交线 解题步骤解题步骤 1分析分析 截交线为矩截交线为矩 形、椭圆及圆和直线形、椭圆及圆和直线 的组合；截交线的水的组合；截交线的水 平投影为已知，侧面平投影为已知，侧面 投影为矩形、椭圆和投影为矩形、椭圆和 直线的组合；直线的组合； 2求出截交线上的特求出截交线上的特 殊点殊点、 、 、 ； 3求一般点求一般点； 4 顺次地连接各点顺次地连接各点 ，作出截交线，并且，作出截交线，并且 判别可见性；判别可见性； 5整理轮廓线。整理轮廓线。 3 3 1 1 2 2 4 4 5 5 3 2 5 14 二、二、 平面与圆锥相交平面与圆锥相

8、交 1. . 平面与圆锥相交所得截交线形状平面与圆锥相交所得截交线形状 2. . 圆锥截交线的求法圆锥截交线的求法 3. . 例题例题 1. 平面与圆锥相交所得截交线形状平面与圆锥相交所得截交线形状 圆圆 椭圆椭圆 过锥顶的两直线过锥顶的两直线 双曲线双曲线抛物线抛物线 平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线 2. 求求圆锥截交线圆锥截交线上上点的方法点的方法 3. 例题例题 例题例题1 求圆锥截交线求圆锥截交线 4光滑且顺次地连接各点光滑且顺次地连接各点 ，作出截交线，并且判别，作出截交线，并且判别 可见性；可见性； 5整理轮廓线。整理轮廓线。 (6

9、)3 6 3 解题步骤解题步骤 1分析分析 截平面为正垂面，截交截平面为正垂面，截交 线为椭圆；截交线的水平投影和线为椭圆；截交线的水平投影和 侧面投影均为椭圆；侧面投影均为椭圆； 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 、 、 ； 3求出一般点求出一般点、； (8)5 (7)4 5 8 7 6 8 7 4 例题例题2 求圆锥截交线求圆锥截交线 4光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。整理轮廓线。 a a a b b( c) 解题步骤解题步骤 1分析分析 截平面为正平面，截交线截平面为正平面，截交线 为双

10、曲线；截交线的水平投影和侧为双曲线；截交线的水平投影和侧 面投影已知，正面投影为双曲线并面投影已知，正面投影为双曲线并 反映实形；反映实形； 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点A、B、C； 3求出一般点求出一般点D、E； c b c d e d e d(e) 例题例题3 求圆锥截交线求圆锥截交线 解题步骤解题步骤 1 1分析分析 截平面为正垂截平面为正垂 面侧平面，截交线为部面侧平面，截交线为部 分椭圆和梯形的组合；分椭圆和梯形的组合； 其水平投影为部分椭圆其水平投影为部分椭圆 和直线的组合，侧面投和直线的组合，侧面投 影为部分椭圆和梯形的影为部分椭圆和梯形的 组合；组合； 2 2求出

11、截交线上的特殊求出截交线上的特殊 点点、 、 ； 3 3出一般点出一般点、 ； 4 4光滑且顺次地连接各光滑且顺次地连接各 点，作出截交线，并且点，作出截交线，并且 判别可见性；判别可见性； 5 5整理轮廓线。整理轮廓线。 a 2 3 1 45 1 1 a 2 3 2( 3) 5 4 4(5) 例题例题4 求圆锥截交线求圆锥截交线 1 4 2( 3) 1 1 3 2 23 4 4 例题例题5 分析圆锥切割后截交线投影的形式分析圆锥切割后截交线投影的形式 例题例题6 分析并想象出圆锥穿孔后的投影分析并想象出圆锥穿孔后的投影 三、三、 平面与圆平面与圆球球相交相交 1. . 平面与圆平面与圆球球相

12、交所得截交线形状相交所得截交线形状 2. . 求求圆圆球球截交线截交线点点的的方法方法 3. . 例题例题 1. 平面与圆平面与圆球球相交所得截交线形状相交所得截交线形状 圆圆 2. 求求圆圆球球截交线截交线上上点的方法点的方法 3. 例题例题 例题例题1 1 求圆球截交线求圆球截交线 4光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。整理轮廓线。 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 56 7 8 7 8 ab c d b a c d 2 1 3(4) 5(6) 7(8) a(b) c(d) 解题步骤解题步骤 1分析分析

13、 截平面为正垂面，截交截平面为正垂面，截交 线为圆；截交线的水平投影和侧线为圆；截交线的水平投影和侧 面投影均为椭圆；面投影均为椭圆； 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ； 3求出若干个一般点求出若干个一般点A、B、 C、D； 2 2 1 例题例题2 求圆球截交线求圆球截交线 3求出各段圆弧求出各段圆弧； 4判别可见性，整判别可见性，整 理轮廓线。理轮廓线。 3 33 1 2 解题步骤解题步骤 1分析分析 截平面为两截平面为两 个侧平面和一个水平面个侧平面和一个水平面 ，截交线为圆弧和直线，截交线为圆弧和直线 的组合；截交线的水平的组合；截交线的水平 投影和侧面投影均为圆投影和

14、侧面投影均为圆 弧和直线的组合；弧和直线的组合； 2求出截交线上的特求出截交线上的特 殊点殊点、 ； 例题例题3 求圆球截交线求圆球截交线 例题例题4 求圆球截交线求圆球截交线 四、四、 平面与组合回转体相交平面与组合回转体相交 例题例题1 分析并想象出物体的投影。分析并想象出物体的投影。 例题例题2 求出物体切割后的投影求出物体切割后的投影 4(5) 5 4 4 5 2(3) 3 2 2 3 例题例题3 求顶针截交线的水平投影。求顶针截交线的水平投影。 2(3)1 4(5) 6 1 1 3 2 2 3 (5) (4) 4 5 6 6 7(8) 87 10 9 8 7 9(10)10 9 例题

15、例题4 分析并想象出物体切割后的投影。分析并想象出物体切割后的投影。 基本要求基本要求 1. 掌握两回转体相贯线的性质与求法掌握两回转体相贯线的性质与求法 2. 掌握相贯线可见性的判别方法掌握相贯线可见性的判别方法 3. 掌握相贯线的特殊情况和作图掌握相贯线的特殊情况和作图 4.2 两曲面立体相交的相贯线两曲面立体相交的相贯线 一、相贯线的性质一、相贯线的性质 二、求曲面立体相贯线的方法二、求曲面立体相贯线的方法 三、求相贯线的一般步骤三、求相贯线的一般步骤 四、曲面立体相贯的三种基本形式四、曲面立体相贯的三种基本形式 五、相贯线的变化趋势五、相贯线的变化趋势 六、相贯线的特殊情况六、相贯线的

16、特殊情况 七、例题七、例题 主要内容主要内容 一、相贯线的性质一、相贯线的性质 1. . 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线 上的点是两曲面立体表面的共有点。上的点是两曲面立体表面的共有点。 2. . 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形 状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空 间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。 图例 曲面立体相贯线的性质图例曲面立体相贯线的性质图例 二、求曲面立体相贯线的方法二、求曲面立体相贯线的方法 正交

17、圆柱相贯线正交圆柱相贯线 1. 表面取点法表面取点法 采用表面取点法的条件：采用表面取点法的条件： 至少有一个立体是圆柱，至少有一个立体是圆柱， 并且圆柱轴线垂直于某投并且圆柱轴线垂直于某投 影面（这样投影积聚为圆影面（这样投影积聚为圆 ）。）。 2. 辅助平面法辅助平面法 三、三、 求相贯线的一般步骤求相贯线的一般步骤 2求作相贯线上的特殊点。求作相贯线上的特殊点。 3根据需要求出若干个一般点。根据需要求出若干个一般点。 4光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。 5整理轮廓线。整理轮廓线。 例题例题1 求两圆柱的相贯线求两圆柱的相贯线

18、 yy yy de d e c a b a(b) c d(e) ba c 解题步骤解题步骤 1. .分析分析: :相贯线的水平投影相贯线的水平投影 和侧面投影已知，可利用和侧面投影已知，可利用 表面取点法求共有点；表面取点法求共有点； 2. .求出相贯线上的特殊点求出相贯线上的特殊点 A、B、 C； 3. .求出若干个一般点求出若干个一般点D、 E； 4. .光滑且顺次地连接各点光滑且顺次地连接各点 ，作出相贯线，并且判别，作出相贯线，并且判别 可见性；可见性； 5. .整理轮廓线。整理轮廓线。 例题例题2 求圆柱与圆锥的相贯线求圆柱与圆锥的相贯线 yy PW1PV14 yy 4 PV2PW2

19、 3PV3PW3 5 1 1 2 2 4 5 3 3 5 用辅助平面求共有点示意图 解题步骤解题步骤 1. .分析分析: :相贯线的相贯线的 侧面投影已知，可侧面投影已知，可 利用辅助平面法求利用辅助平面法求 共有点；共有点； 1 2 2. .求出相贯线上的求出相贯线上的 特殊点特殊点 、 、 ； 3. .求出若干个一般求出若干个一般 点点； 4. .光滑且顺次地连光滑且顺次地连 接各点，作出相贯接各点，作出相贯 线，并且判别可见线，并且判别可见 性；性； 5. .整理轮廓线。整理轮廓线。 用水平面作为辅助平面求共有点 四、曲面立体相贯的三种基本形式四、曲面立体相贯的三种基本形式 2外表面与内表面相交；外表面与内表面相交； 1. . 两外表面相交；两外表面相交； 3两内表面相交。两内表面相交。 五、相贯线的变化趋势五、相贯线的变化趋势 1两圆柱两圆柱相贯线相贯线的的变化趋势（一）变化趋势（一） 2两圆柱两圆柱相贯线相贯线的的变化趋势（二）变化趋势（二） 3圆柱与圆锥圆柱与圆锥相贯线相贯线的的变化趋势变化