杆件变形与刚度计算

1、长沙理工大学长沙理工大学 蔡明兮蔡明兮 20212021年年6 6月月2222日星期二日星期二 杆件变形与刚度计算杆件变形与刚度计算 PP 1 L L b 1 b L LL1 b bb1 L L b b A F N EA LF L N orWhen p AxxF N )(解： L )(xF N dx )(xF N EA dxxF Ld N )( )( E xdx L 0 )L(dL L 0 xdx EE2 L 2 kNF N 32.56 1 解： 2200 1400 P A C B 1 2 kNF N 9 .104 2 11 11 1 AE LF L N 49 3 10610200 4.110

2、32.56 )mm(657.0 22 22 2 AE LF L N 410 223 10310 4.12.2109.104 )mm(912.0 B B 1 L 2 L )mm(657.0L1 H ctg)cosLL(sinL 212V )mm(499.1 )mm(637.1 2 V 2 H UW L P L P L )( Ld L 1 L P dP P1 L P :PdPPP :L )( LdLL )( LPddW 1 L 0 LPdW)( p 若若： LP 2 1 W 则：则： EA PL L EA2 LP WU 2 dy dx dz d d 1 1 :P dxdy :L dz 1 0 dz

3、dxdyddW 1 0 dxdydzd dVddU 1 0 )( 1 0 d dV dU u p if 2 1 u E2 u 2 p 解解： A B P C 1 2 PF N 5 4 1 PF N 5 3 2 EA LF EA LF P NN V 222 1 2 2 21 2 1 )(4 25 9 3 25 16 EA2 aP2 EA25 Pa84 V ? H B 1 1 L V H )( 1VH L 4 5 3 4 EA Pa 25 12 解解：、静静力力学学平平衡衡方方程程1 AB P C 12 aaa L P 2N F 1N F Ax F Ay F 0 x F0 Ax F0 y F0 2

4、1 PFFF NNAy 0mA 032 21 PaaFaF NN 方方程程）、几几何何方方程程（变变形形协协调调2 1 L 2 L 12 L2L 、物物理理方方程程3 EA LF L N1 1 EA LF L N 2 2 12 2 NN FF PFN 5 3 1 PFN 5 6 2 解解：、静静力力学学平平衡衡方方程程1 0 x F060sin30sin 31 o N o N FF 0 y F060cos30cos 321 PFFF o NN o N 方方程程）、几几何何方方程程（变变形形协协调调2 2 o 3 o 1 L30L30L sincos 、物理方程、物理方程3 EA LF L N1

5、1 1 PFN 2 13 1 PFN 3 3 2 A B P C 1 2 o 30 D 3 o 60 A P o 30 o 60 1N F 2N F 3N F 31 3 NN FF PFFF NNN 223 321 231 L2LL3 EA aF N1 32 EA LF L N22 2 EA aFN 23 EA LF L N33 3 EA aF N3 6 231NNN FFF A 1 L 2 L 3 L A PFN 6 33 3 线线膨膨胀胀系系数数： C 2 AB 1 aa L c1 o /单单位位： TLL 即即： 时时的的伸伸长长量量高高单单位位长长度度杆杆每每当当温温度度升升C1 O

6、2N F 1N F Ax F Ay F T 1 L 解解：、静静力力学学平平衡衡方方程程1 0mA 02 21 NN FF 方方程程）、几几何何方方程程（变变形形协协调调2 )(2 1122 FTFT LLLL 、物理方程、物理方程3 TLLT 1 EA LF L NF1 1 TEAFF NN 12 2 TEAFN 5 2 1 TEAFN 5 1 2 N 1 L T 2 L N 2 L TLLT 2 EA LF L NF2 2 C 2 AB 1 aa L 2N F 1N F Ax F Ay F 1 L 2 L 解解：、静静力力学学平平衡衡方方程程1 0mA 02 21 NN FF 方方程程）、

7、几几何何方方程程（变变形形协协调调2 )(2 12 LL 、物理方程、物理方程3 EA LF L N1 1 EA L FF NN 2 2 21 EA L FN 5 2 1 EA L FN 5 2 EA LF L N2 2 1解：解： mm750 20 25 45 钢钢铜铜 LL 钢钢铜铜 AE LF AE LF NN 铜铜铜铜 钢钢钢钢 钢钢 钢钢 AE AE 1 E L )( . 22 2 9 254510 2021 1 10210 750 750 Mpa25131. 铜铜 钢钢 钢钢铜铜 A A 钢钢 7 2 Mpa537. 钢钢 L 铜铜 L TL AE LF AE LF NN )( 钢

8、铜 钢钢铜铜 铜铜铜铜 钢钢钢钢 钢钢钢钢铜铜 钢钢 AE AE 1 ET L )( )( ) . ( 22 2 96 254510 2021 1 1021050104 750 750 Mpa5157. 铜铜 钢钢 钢钢铜铜 A A 钢钢 7 2 Mpa45 mm750 20 25 45 T L钢 钢 F L钢 T L铜 铜 F L铜 F L钢 T L钢 钢 T L铜 铜 F L铜 p GI T dx d L d L 0 p dx GI T p GI TL 称称为为截截面面抗抗扭扭刚刚度度: p GI p GI T dx d )/( max max mrad GI T p )/( max ma

9、x m 180 GI T o p p GI TL p I TR max 180 GR L max 180 6 1095 1025 2 1 1079 6 39 )(.m0891 )(mN468 300 20 7024m1 )(mN1170 300 50 7024m2 )(mN702 300 30 7024m3 mN468 mN702 max max p W T 3 T16 d max 3 6 1040 70216 )(.mm744 max 180 GI T p 4 180 G T32 d max 4 92 301080 18070232 . )(.mm364 )(mm65d m2m2 2 1 3

10、 B b a ABC M ABC M B M ABC M ABC B M B M B M B p GI Ma p B GI baK)( )(baKGI Ma p B 0 x m0MMM BA M baKGI KbGI M p p A )( b h max 2 hb T max max 1 1 3 hbG TL 10 b h 3 1 h 2 h 3 1 T max 3 h 3 1 G TL )(xq A B m P y y x )x(fy y EI xM1)( 2 3 2 y1 y1 )( tany y EI )x(M y x EI )x(M y dx dy Cdx EI xM )( dxy D

11、Cxdxdx EI xM )( ox y a ox y b ax 0 0y bx 0y y x o x y L EI o x y mxM )( EI m dx yd 2 2 Lx 0y L m EI 0 )(XL EI m 2 XL EI2 m Y)( EI mL max EI2 mL Y 2 max P max PxxM )( EI Px dx yd 2 2 Lx 0y 0 )( 22 XL EI2 P )( 323 xxL3L2 EI6 P Y EI2 PL2 max EI3 PL Y 3 max max o x y L EI q 2 qx 2 1 xM )( EI2 qx dx yd 2

12、 2 2 Lx 0y 0 )( 33 XL EI6 q )( 434 xxL4L3 EI24 q Y EI6 qL3 max EI8 qL Y 4 max max mL EI1 1 mL EI2 2 PL EI2 2 PL EI3 3 qL EI6 3 qL EI8 4 m P q Lx0 EI4 qLx dx yd 2 2 ,0 x ;0y 1 2 Cx EI8 qL 11 3 DxCx EI24 qL Y y A x L L B C q qLx 4 1 )x(M L2xL 2 )Lx(q 2 1 qLx 4 1 )x(M 2 2 2 )Lx( EI2 q EI4 qLx dx yd ,L2

13、x ;0Y 2 32 C)Lx( EI6 q x EI8 qL 22 43 24 DxCLxLx EI q y)( ,Lx yy ,0 x 0y ;0D 1 ,Lx ; 21 CC ,Lx yy;0 21 DD ,L2x 0y EI qL CC 48 7 3 21 x EI qL 48 7 3 x EI qL 48 7 3 EI qL 48 7 3 EI qL 48 7 3 n ax n ax)( )ax( 0)ax( n ax dx d 1n axn x n dxax 1n ax 1n 1 )0n( )ax( 0 )ax( )ax( x dx)ax( 0 ax y A x a BC qaP

14、aaa DE 2 qam q 段：AB qa 8 7 qa 8 9 M 段：BC M 段：CD M 段：DE M qax 8 9 2 qaqax 8 9 02 )ax(qaqax 8 9 202 )a2x( 2 q )a2x(qa)ax(qaqax 8 9 2202 )a3x( 2 q )a2x( 2 q )a2x(qa)ax(qaqax 8 9 2202 a3x 2 q a2x 2 q a2xqaaxqaqax 8 9 M M M a P a star q a end q a 0 M axM !0 1 1 p axP !1 1 2 qstar axq !2 1 2 qend axq !2 1

15、 y o x Pmq y A x a BC qaP aaa DE 2 qam q qa 8 7 qa 8 9 2202 a3x 2 q a2x 2 q a2xqaaxqaqax 8 9 M 2202 2 2 a3x 2 q a2x 2 q a2xqaaxqaqax 8 9 M dx yd EI Ca3x 6 q a2x 6 q a2xqa 2 1 axqaqax 16 9 EI 332122 DCxa3x 24 q a2x 24 q a2xqa 6 1 axqa 2 1 qax 16 3 EIy 443223 ,0 x ,0y ;0D ,a4x ,0y 3 96 133 qaC xqaax q

16、 ax q axqaaxqaqaxEIy 3443223 96 133 3 24 2 24 2 6 1 2 1 16 3 3332122 96 133 3 6 2 6 2 2 1 16 9 qaax q ax q axqaaxqaqaxEI C aa ABC q qq q q q 1 c c B 1 C B C 1 C B C EI6 a2q 3 )( EI6 qa 3 EI6 qa7 3 EI8 a2q 4 )( EI8 qa 4 a EI6 qa 3 EI24 qa41 4 A L q A BC q B q A C qL 2 1 q A C A C qL 2 1 1 A 2 A EI6 2

17、 L q 3 )( EI2 2 L 2 qL 2 )( EI24 qL 3 C A 1 A 2 A EI8 2 L q 4 )( EI3 2 L 2 qL 3 )( EI384 qL5 4 L q A CB 2 L qL L q A CB 2 L C B 2 L qL C qL 2 qL q A B A B 2 qL 1 B 2 B 3 C EI qL 24 3 EI LqL 3 2 EI2 2 L qL 2 )( EI12 qL5 3 C 2 )( 21 L BB 3 C EI qL 48 7 4 EI3 2 L qL 3 )( EI qL 48 9 4 2 L q A BC 2 L 同学们自己考虑同学们自己考虑 ABC 3 L 3 L 3 L m D m AB