复变函数第一章

1、大学数学教程大学数学教程 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 主讲主讲 丁然丁然 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 1.1 1.1 复数及其运算复数及其运算 1.2 1.2 复平面上的曲线和区域复平面上的曲线和区域 1.3 1.3 复变函数复变函数 1.4 1.4 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n16世纪，意大利学者卡当（Cardan）第一个把负数的平方 根写进公式。笛卡尔称为“虚数”

2、，欧拉“纯属虚幻”。 n1747年法国数学家达朗贝尔指出，按多项式四则运算，这 种数的结果总是形式的。 n1730年，棣莫弗公式，1748年欧拉公式，并创作了i作为 虚数单位。 n复平面的表示，并与向量对应，理论逐渐完备。 1.1 复数及其运算复数及其运算 一、复数的概念一、复数的概念 1、产生背景 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 的数称为复数，其中 称为虚单位， iyxz 1i yx, ),Re(zx)Im(zy z 2、定义：形如 为任意实数,且记 分别称为 的实部（real part）与虚部(imaginary part)。 张

3、 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n（1） 当 ，则 称为纯虚数 。 当 时，则 为实数，虚部为0的 复数可以看成实数。 全体实数是全体复数的一部分。 复数是实数 的推广。 虚部不为0的复数称为虚数。 iyxz 0,0 xy ziy 0,0 xy zx 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n（2）复数的相等 n所以，复数为0意味着什么呢？ n两个复数是否可以简单比较大小？ 121212 ,zzxx yy 111 zxiy 222 zxiy 张 长 华 Complex Analysis

4、 and Integral Transform 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚它们的实部和虚 部分别相等部分别相等. 复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部它的实部和虚部 同时等于同时等于0. 说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的 大小大小, 如果不全是实数如果不全是实数, 就不能比较大小就不能比较大小, 也就也就 是说是说, 复数不能比较大小复数不能比较大小. 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n（3）共轭复数 称为z的共轭复数。 记为 是一一对应的关系。例：

5、 zxiy xiy zxiy 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 复平面的定义复平面的定义 复复数数 与与有有序序实实数数对对 ( , ) ( , ) 成成一一一一 对对应应. . 因因此此, , 一一个个建建立立了了直直角角坐坐标标系系的的平平面面可可以以 用用来来表表示示复复数数, , 通通常常把把横横轴轴叫叫实实轴轴或或轴轴, , 纵纵轴轴 叫叫虚虚轴轴或或轴轴. . 这这种种用用来来表表示示复复数数的的平平面面叫叫复复平平 面面. . zxiyx yzxiyx y x x y y . ),( 表示表示面上的点面上的点 可以用复平可

6、以用复平复数复数 yx iyxz ),(yx x y x y o iyxz 二、复数的表示法二、复数的表示法 1 1、( (复平面上的复平面上的) )点表示点表示-用坐标平面上的点用坐标平面上的点(1806(1806高斯高斯 ） 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform r (1)此时的坐标面（称为 复平面）与直角坐标 平面的区别与联系。 y x ),(yxP x y (2)zxiy复数与点（x,y）构成 一一对应关系，复数z=x+iy 由（x,y）唯一确定。 为了方便，复平面复平面中不区分点和复数。为了方便，复平面复平面中不区分点和复数。 张

7、 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 2. 向量表示向量表示-（1）复数的模）复数的模(或绝对值或绝对值) , 的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z , 表示表示可以用复平面上的向量可以用复平面上的向量复数复数OPiyxz . 22 yxrz 记为记为 x y x y o iyxz P r 显然下列各式成立显然下列各式成立 , zx , zy ,yxz . 2 2 zzzz 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform （2）复数的辐角）复数的辐角 . Arg , , , 0

8、z zOPz z 记作记作 的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量 以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在 说明说明,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1 是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 ).( 2Arg 1 为任意整数为任意整数kkz , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地 的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z 辐角不确定辐角不确定. 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 辐角主值的定义辐角主值的定义: .arg , Arg , )0( 0 00

9、 zz z 记作记作的主值的主值称为称为 的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在 , 0 x ) 2 arctan 2 ( x y 其中其中 辐角的主值辐角的主值0 z zarg , 0, 0 yx , 0, 0 yx . 0, 0 yx ,arctan x y , 2 ,arctan x y , 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform （3） 利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差 x y o 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z 21 zz 2 z 两个复数的加减法运算与相应的向量的两个复数的加减法运算与

10、相应的向量的 加减法运算一致加减法运算一致. . 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform （4） 复数和差的模的性质复数和差的模的性质 ;)1( 2121 zzzz .)2( 2121 zzzz , 2121 故故之间的距离之间的距离和和表示点表示点因为因为zzzz 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z . 实轴对称的实轴对称的 复平面内的位置是关于复平面内的位置是关于 在在和和一对共轭复数一对共轭复数zz x y o iyxz iyxz 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transfo

11、rm 3 3、三角（或极坐标）表示三角（或极坐标）表示- )sin(cosiriyxz ,| 22 yxzrarctan y x ,cosrx sinry 由由 得得 4 i zre 、 指 数 表 示 sinicose i 欧拉公式 5、代数表示- iyxz 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 复数的各种表示可相互 转换，在不同的运算中可 选择不同表示式 进行运算。 N S P y z Z x 6*、复球面表示- 将扩充复平面中 | z 的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的 点建立一一对应关系。 张 长 华 Complex

12、 Analysis and Integral Transform Leonhard Euler Born: 15 April 1707 in Basel, Switzerland Died: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia 欧拉资料 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 三、复数的运算三、复数的运算 1、相等两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。 2、和、差、积、商（分母不为0）代数式、三角式、 指数式。按多项式的运算方法进行， 并将 代入。 另外，我们所熟知的代数运算在复数域中依然成立。

13、 2 1i 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 虚数单位的特性虚数单位的特性: ; 1 ii ; 1 2 i; 23 iiii ; 1 224 iii; 145 iiii ; 1 246 iii; 347 iiii ; 1 448 iii 则则是是正正整整数数一一般般地地，如如果果,n , 1 4 n i, 14 ii n , 1 24 n i. 34 ii n 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 复数的代数运算 , 222111 iyxziyxz 设两复数设两复数 1. 两复数的和

14、两复数的和: ).()( 212121 yyixxzz 2. 两复数的积两复数的积: ).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz 3. 两复数的商两复数的商: . 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 2 1 yx yxyx i yx yyxx z z 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 共轭复数的性质共轭复数的性质 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. . , zz 共轭的复数记为共轭的复数记为与与 . , iyxziyxz 则则若若

15、 例例2 2.的积的积与与计算共轭复数计算共轭复数yixyix 解解)(yixyix 22 )(yix . 22 yx .,的积是一个实数的积是一个实数两个共轭复数两个共轭复数zz 结论： 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform )Re(22zxzz ),Im(22ziyizz 222 )Im()Re(|zzzzz z z y xo y y x 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 性质性质: ;)1( 2121 zzzz ; 2121 zzzz ; 2 1 2 1 z z z z ;)2

16、(zz ;)Im()Re()3( 22 zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式证明略以上各式证明略. 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n复数的乘积 )sin()cos( 21212121 irrzz )sin()cos( 2121 2 1 2 1 i r r z z n模和辐角 )()()( 2121 zArgzArgzzArg )()()( 21 2 1 zArgzArg z z Arg n集合相等 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform kzzzz2)a

17、rg()arg()arg( 2121 kzz z z 2)arg()arg()arg( 21 2 1 )sin()cos(ninrz nn n单位复数相乘相当于旋转一个角度，比如 iz 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 模为1时，可得棣莫弗公式 nini n sincos)sin(cos 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 四、复数的四、复数的n n次方根次方根 1 (cossin), 22 (cossin) (0,1,1) n n zri kk wzri nn kn 若则 w n

18、 r 0k 的n个值恰为以原点为中心， 的内接正 边形的顶点，当 时， 为半径的圆周 n 0 w称为主值。 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 答疑解惑答疑解惑 答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而 复数是无序的，所以不能比较大小。复数是无序的，所以不能比较大小。 假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持 一致，（因为实数是复数的特例），不妨取一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0 0和和i i加以讨论：加以讨论： 1 1

19、、复数能否比较大小，为什么？复数能否比较大小，为什么？ 0,0,010,iiiii设则得显 然 矛 盾 注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数， 可比较大小可比较大小。 i 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 2 2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的 运运 算是否相同？算是否相同？ 答：有相同之处，但也有不同之处。 加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量 积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、 方根，但向量没

20、有；乘积运算的几何意义不同。 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 典型例题典型例题 例例1 1、判断下列命题是否正确？、判断下列命题是否正确？ （1 1） （2 2） （3 3） 7512ii )57arg()21arg(ii )57Re()57Im(ii （ ） （ ） （ ） 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 例例2 2、求下列复数的模与辐角、求下列复数的模与辐角 （1） （2） （3） （4） i3 i23 1 iii 2510 4 n i 2 31 张 长 华 Comple

21、x Analysis and Integral Transform 解（解（1 1）22 (3)( 1)2, 15 arg( )arctan 63 z z （1） 22 321 131313 z 3 2 arctan)arg(z , 13 2 13 3 )23)(23( 23 23 1 i ii i i （2 2） 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform ,3144 102510 iiiiiii ,103) 1(| 22 z3arctan)arg(z （3） , 1|z ,2 3 )arg( k n z (2 3 n kk 满足的 ） 3 1

22、3 cossin 233 n i inn ei 3 13 arg( )arctan 3) 23 i i ez (模为1, (4) 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 例例3 3、求满足下列条件的复数、求满足下列条件的复数z z： （1） （3） izz2| , 3 )2arg( z （2） 且且 3,zai2|2|z 6 5 )2arg(z 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform zxiy解：（1） 设：则 22 2xiyxyi 22 3 21. 4 xxyyxi 3 由，得,故z= 4

23、 2 (2)3,23212zaizaia 则 a 的值为(- 3, 3)内任一实数, 故满足条件的z有无穷多个. 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 1 3 2 ri 2 3 -2 2 r 2 1 2 r i 111 13 (3)2cossin 3322 zrirr i 设 222 5531 2cossin 6622 zrirr i 1 1 2 2 rz则 12 2,2 3 13 rr zi 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 01 23 zzz 1 23 zzz 例例4 4 求方程

24、求方程的根。并将的根。并将 分解因式。分解因式。 1)1)(1( 423 zzzzz解 ， 101z 0 而的根为z 01 4 z则的其余三个根即为所求 01 4 z 4 20 sin 4 20 cos1 4 k i k z 得 由 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform iizk 2 3 sin 2 3 cos,3 3 时 0sin0cos1i 10sin0cos,0 0 izk时 iizk 2 sin 2 cos,1 1 时 1sincos,2 2 izk时 32 10, 1,zzzii根为 32 1()(1)()zzzzizzi 且 张

25、 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 1.2 1.2 复平面上的曲线和区域复平面上的曲线和区域 一、复平面上的曲线方程一、复平面上的曲线方程 0),(yxF )( )( tyy txx 平面曲线有直角坐标方程平面曲线有直角坐标方程 和参数方程和参数方程两种形式。两种形式。 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 很多平面图形能用复数形式的方 程(或不等式)来表示; 也可以由给定的 复数形式的方程(或不等式)来确定它所 表示的平面图形. 张 长 华 Complex Analysis and I

26、ntegral Transform i 2 zz y , 2 zz x 0),(yxF 由代入知 曲线C的方程可改写成复数形式0) 2 , 2 ( i zzzz F iyxz)()()(tiytxtz )(tzz 若令，而，则 曲线C的参数方程等价于复数形式 。 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 例1 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复 数形式的方程来表示. 解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表 示为 121 121 (), () (). xxt xx t yyt yy 因此, 它的复数形

27、式的参数方程为 z=z1+t(z2z1). (t+) 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以 写成 z=z1+t(z2z1). (0t1) 取 , 得知线段 的中点为 1 2 t 1 2 z z 12 2 zz z 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 例2 求下列方程所表示的曲线: 1)| 2; 2)|2 | |2|; 3)Im()4. zi ziz iz 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transfor

28、m 解1) | 2zi 设z=x+iy, 方程变为 22 22 |(1) | 2 (1)2, (1)4 xyi xy xy 为一圆 i Ox y 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 几何上, 该方程表示到点2i和2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和2的线段的 垂直平分线, 方程为yx, 也可用代数的方法求出 2)|2 | |2|ziz O x y 2 2i yx 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 设z=x+iy, 那末 3)Im()4.iz (1) Im(

29、)1 izxy i izy 可得所求曲线的方程为y3. O y x y3 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 1( )( )( ) ()( ), ( ) ( ) z tx tiy tatbx t y t tz t 、连续曲线设，其中 是实变量的连续函数，则表示复平面上的连续曲线C。 二、简单曲线与光滑曲线二、简单曲线与光滑曲线 22 2 , ( )( ) ( ) ( )0( )( )( ) ta bx ty t x ty tz tz az b C 、光滑曲线若对，有和连续且不同时为零， 即，则称为光滑曲线。称和为曲 线 的起点和终点。 1

30、212121 3,( )( )( ) 11 atb atbttz tz tz tC、若对，当而有时，点称为曲线 的重点。 没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jardan）曲线。 （识别曲线的类型教材P ） 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n除在z(a)=z(b)外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如， 是一条简单闭曲线（如图）. )20(sincosttitz 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结” 情形的连续曲线，即简单曲线自身

31、是不会相交 的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外， 还必须是封闭的，例如，图中的 是简单曲线， 是简单闭区域，图中的 ， 不是简单曲线，但 是闭曲线. 1 C 2 C 3 C 4 C 3 C 图 图 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 三、区域三、区域 1、去心邻域)( 0 zN 3、区域及分类 2、内点与开集 区域连通的开集。 有有洞洞或或有有瑕瑕点点多多连连通通域域 无无瑕瑕点点无无洞洞单单连连通通域域 、 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n邻域邻域 平面上以 为心， 为半

32、径的圆： 内部所有点 的集合称为点的 邻 域，记为 ，即 称集合 为 的去心 邻域， 记作 . 0 z0 0 zx ),( 0 zN ),( 00 zzzzN 0 0 zzz 0 z 0 ( , )N z 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n内点：设G为复平面上的点集，若 且存在 的一个邻域 ，则称 为G的内点。 n边界点：若点 而P的任意一个邻域内既包含有 G的点又包含有不属于G的点，则称P为G的边界点。 G的边界点所组成的集合称为G的边界。 Gz 00 z GzN)( 00 z GP 张 长 华 Complex Analysis a

33、nd Integral Transform n开集开集 如果点集 的每一个点都是 的内点， 则称 为开集. n闭集闭集如果点集 的余集为开集，则称 为闭 集. n连通集连通集 设是 开集，如果对于 内任意两点， 都可用折线连接起来，且该折线上的点都属 于 ，则称开集 是连通集. n区域（或开区域）区域（或开区域） 连通的开集称为区域或开 区域. n闭区域闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭 区域，记为 . D D D DD DD DD D D 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n3. 单连通域、多连通域 n设 是复平面上一区域，如果

34、在 内任作一条简 单闭曲线 ，其内部的所有点都在 中，则称区 域 为单连通区域；否则称 为多连通区域或复 连通区域. n任一去心邻域、环形域都是多联通的。 DD CD DD 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞 （点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有 “洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围 成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线 段而形成的区域（如图）. C 图 属于单连通区域属于单连通区域D D内的任一条简单闭曲线，在内的任一条简单闭曲线，在D D内可以经过内可以经过 连续的变形而收缩成一

35、点。连续的变形而收缩成一点。 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 覆覆盖盖不不可可被被半半径径有有限限的的圆圆域域无无界界域域 盖盖可可被被半半径径有有限限的的圆圆域域覆覆有有界界域域 注：闭区域注：闭区域 的的边边界界区区域域DDD ，它不是区域。，它不是区域。 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C把复平面分为三个不相把复平面分为三个不相 交的点集：有界区域称为交的点集：有界区域称为 C C的内部；无界区域，的内部；无界区域， 称为称为 C C的外部；的外部； C C，称为内部与外部的边界。，称为内部与外部的边界。 张 长 华

36、Complex Analysis and Integral Transform (1) 圆环域圆环域:; 201 rzzr 0 z 2 r 1 r 课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界? (2) 上半平面上半平面:; 0Im z (3) 角形域角形域:;arg 21 z (4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界. x y o 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 1.3 1.3 复变函数复变函数 一、复变函数的概念一、复变函数的概念 1、定义、定义)(zfw 对于集合对

37、于集合G中给定的中给定的 iyxz，总有一个（或几个）确定的复数，总有一个（或几个）确定的复数 ivuw与之对应，并称与之对应，并称G为定义集合，而为定义集合，而 GzzfwwG),(| * 称为函数值集合称为函数值集合(值域值域). 多多值值函函数数 单单值值函函数数 分类分类 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 2、复变函数、复变函数 )(zfw 与实函数的关系与实函数的关系 ),(),( )( ),(),( yxvvyxuu zfw vuyx wz f f 讨论一个复变函数 )z(fw 研究两个实二元函数 ),( ),( yxv y

38、xuu 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n例例1 将定义在全平面上的复变函数 化 为一对二元实变函数. n解解 设 ， ，代入 得 n比较实部与虚部得 ， 1 2 zw iyxzivuw 1 2 zw ivuw1)( 2 iyx 22 12xyixy 1 22 yxuxyv2 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n例例2 将定义在全平面除原点区域上的一对二元实 变函数 ， （ ） n化为一个复变函数. n解解 设 ， ， 则 将 ， 以及 代入上式，经整理后，得 22 2 yx

39、x u 22 yx y v 0 22 yx iyxzivuw 22 2 yx iyx ivuw )( 2 1 zzx )( 2 1 zz i y z zyx 22 )0( 2 1 2 3 z zz w 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 教材教材P14（例（例1.3.2)1.3.2)0( 1 z z w是否为单值函数是否为单值函数 i yx y yx x yx iyx iyxz ivuw 222222 11 令令 ,iyxz,ivuw 则 2222 , yx y v yx x u 均为单值的实二元函数 )0( 1 z z w是单值函数。

40、故 3 3、复变函数的单值性讨论、复变函数的单值性讨论 ( , ), ( , )u x y v x y对应的两个实二元函数的单值性讨论。 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform zw 2 教材P14 (例1.3.3）是单值函数吗？ 2222 ()2,wuivuvuvizxiy方法一：由得 yuv xvu 2 22 ，均为多值的实二元函数 2 ,xyuy wz 对 给 定， 存 在 两 组与 之 对 应 ， 故是 多 值 函 数 方法二、 见教材P15,P15,（复数的n次方根） 张 长 华 Complex Analysis and Integ

41、ral Transform 二、映射二、映射 复变函数的几何图形表示复变函数的几何图形表示 ( )yf xxy实自变量 与因变量 都在同一个平面内。 其几何描述，函数图形为曲线。 ( )( , ) ( , ) wf zzx yz wu v 复自变量的几何描述在 平面内， 因变量的几何描述需在另一个平面（w平面）内。 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 函数函数在几何上可以看着是把在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点平面上的一个点 集集 D （定义域）（定义域）变到变到 w 平面上的一个点集平面上的一个点集 G （值（值 域）的一个映射

42、（或映照）。域）的一个映射（或映照）。 ;映象象原象GD 的象叫的象叫DGzw ( )wf z注：单值函数的反函数存在且为单值函数。 D 与 G 中的点为一一对应 映射为双射映射为双射 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 典典 型型 例例 题题 2 zw例例1、求、求 z 平面上的下列图形在映射平面上的下列图形在映射下的象。下的象。 , 4 0 2 20r ,Cyx 1 22 3 ； 2 2Cxy ,x 4.y 4 , 20 ) 1 ( r 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 解解:

43、 : xyvyxuzw2, 222 )arg(2)arg(,| 2 zwzw 乘法的模与辐角定理乘法的模与辐角定理 How complex the expression are! 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform u v 4i 图a 4 20 )( ，rrezew ii , 2 2, 40 映为 虚轴上从点虚轴上从点0到到4i的一段（见图的一段（见图a ）。）。 (1)记记 ，则，则 即即w平面内平面内 0,02 4 0,04 2 r （2）同理知，z平面上， 映为w平面上扇形域（见图b）， 即 4 图b v u 4i （3）见教材）见

44、教材P16 例例1.3.4（3） 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 映为 x vu, （4 4） 将直线将直线 建立建立所满足的象曲线方程所满足的象曲线方程 yv ,yu2 22 y，消，消 ， )(4 222 uv 是以原点为焦是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图点，开口向左的抛物线（见图c1)c1) v u 图图c 12 )(4 222 uv 其是以原点为焦点，其是以原点为焦点，开口向右的抛物线（见图开口向右的抛物线（见图c2c2）。）。 y 22 ,2uxvx 将将 线线映为映为 ，消，消 x 得得 张 长 华 Complex

45、Analysis and Integral Transform 22 9xy（ 1） 22 (1)1xy（2） z w 1 例例2 2、 求下列曲线在映射求下列曲线在映射下的象下的象 解法一解法一（1 1） 2222 , 1 yx y v yx x u z w 消 x, y 建立 u, v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数 反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原象曲线方程即得象 曲线方程 9 11 22 22 yx vu 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 22 111 vu ivu ivu iyx w z

46、z w （2） 22 22 vu v y vu u x 1)1()( 2 22 2 22 vu v vu u 代入原象曲线方程，得 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 解法二解法二 )3|(9zzz或 w z, w z z w 111 22 9xy（1）将化为 9 11 ww 代入原象方程得代入原象方程得 9 1 ww 1 | 3 w （ 或） 9 1 22 vu化为实方程形式化为实方程形式 （2 2）留作练习。）留作练习。 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 2222 11 3(

47、)(1)(1) f zxiy xyxy z 例将函数 改写成关于 的解析式. z zzf zz i yzzx 1 )( )( 2 1 , )( 2 1 )( 代入得 将共轭法解法一 22 ()( ) 111 ( )()() f zxiy f zxiyxiyzzz xyz zz 解法二拼凑法将的表达式凑成的因式. 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 2 () 0( ) ( ) 111 ( )(1)( ) yf xzxf z f xxxf zz xxz 解法三 设零法 令得的表达式.再以 代换 得 注：象曲方程与原象曲线方程的表示 多采用一致

48、形式，即要么均为实方程 形式,要么均为复数方程的形式. 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 复复变变函函数数的的极极限限一一、 1.4 1.4 复变函数的极限和连续复变函数的极限和连续 性性 定义、1 0 0 0 lim( ) ()(), ( ) lim( ) zz zz f zA zzf z A f z 形式与一元实函数的极限一致,记 理解与二元 多元 实函数的极限一致 几何描述 对任何的方式路径,趋近于同一个 确定的复数 掌握判别不存在的方法 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform

49、n复变函数的极限 n定义定义 设函数 在 的某去心邻域内有定义， 若对任意给定的正数 （无论它多么小）总存在 正数 ，使得适合不等式 的所有 ，对应的函数值 都满足不等式 则称复常数 为函数 当时 的极限，记 作 或 )(zf 0 z )( )(0 0 zz z )(zf Azf)( A )(zf 0 zz Azf zz )(lim 0 )()( 0 zzAzf 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 有如下的定理存在有如下的定理存在 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n定理定理1.4

50、.1 设 ， 则 的充分必要条件为: 且 ),(),()(yxivyxuzf 000 iyxz 00 )(lim 0 ivuAzf zz 0 0 0 lim ( , ) xx yy u x yu 0 0 0 lim ( , ) yy xx v x yv 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n复变函数的极限四则运算法则： n设 ， ，则 (1) (2) (3) Azf zz )(lim 0 Bzg zz )(lim 0 BAzgzfzgzf zzzz

51、zz )(lim)(lim)()(lim 000 ABzgzfzgzf zzzzzz )(lim)(lim)()(lim 000 )0( )(lim )(lim )( )( lim 0 0 0 B B A zg zf zg zf zz zz zz 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n例例1 试求下列函数的极限. （1） （2） 解解 （1）法法1 设 ，则 ，且 得 z z iz1 lim 1 1 lim 1 z zzz z z iyxziyxz z z iyx iyx 22 2222 2xyxy i xyxy 1 lim zi z z

52、 i yx xy i yx yx yy xx 22 1 22 22 1 2 limlim 11 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 法法2 （2） 设 ，则 ，得 1 lim zi z z i i i z z iz iz 1 1 lim lim 1 1 iyxziyxz 1 1 lim 1 z zzzz z 1 ) 1)(1( lim 1 z zz z 1 lim(1)2 z z 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n例例2 证明函数 在 时极限不存在. n证证 设 ， n而 ， .

53、 n考虑二元实函数 当 沿着 （ 为 任意实数）趋向于 ，即 n ( ) z f z z 0z iyxz ( ) z f z z 22 2222 2xyxy i xyxy 22 22 ( , ) xy u x y xy 22 2 ( , ) xy v x y xy ( , )u x y ( , )x yykxk 0 2 2 ( , )(0,0)0 () 1 lim( , )lim( , ) 1 x yx y kx k u x yu x y k 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform n 显然，极限值随 值的不同而不同，所以 根据二元实变函数极

54、限的定义知， 在 趋向于 时的极限不存在，即得结论. k ( , )u x y( , )x y 0 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 例例3 3 证证 : . 0 )Re( )( 不存在不存在 时的极限时的极限当当证明函数证明函数 z z z zf , iyxz 令令,)( 22 yx x zf 则则 , 0),(,),( 22 yxv yx x yxu , 趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 22 00 lim),(lim yx x yxu kxy x kxy x 22 0 )( lim kxx x x 张 长 华 Comple

55、x Analysis and Integral Transform )1( lim 22 0 kx x x , 1 1 2 k , 值的变化而变化值的变化而变化随随 k , ),(lim 0 0 不存在不存在所以所以yxu yy xx , 0),(lim 0 0 yxv yy xx 根据定理可知根据定理可知, . )(lim 0 不存在不存在zf z 张 长 华 Complex Analysis and Integral Transform 2、 存 在 判 别 法转 化 为 实 函 数 极 限 存 在 性 判 别 000 00 18 00000 00 (1.4.1) ( )( , )( , ), lim( )lim( , ), lim ( , ) , zzxxxx yyyy Pf zu x yiv x y Aui f zAu x yu vzxiy v x yv 见教材定理设 则 3、四则运算法则类似一元实函数的极限