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1、2002川大高等代数及答案2002川大高等代数及答案 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2002川大高等代数及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为2002川大高等代数及答案的全部内容。7四川大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试题一、(本题满分24分,每小题8分)解答下列各题。1.证明多项式

2、在有理数域上不可约。证明：由、，又 有的可能值为，带入验证有、 故不含有理根，则只能分解为二次多项式和三次多项式的乘积有或得方程和,两方程无解故在有理数域上不可约2.设为阶方阵且。其中为阶单位矩阵。证明： ，其中表示矩阵的秩。证明：即 由，得有的列向量全部是方程的解，有即 由、，得3。设维线性空间上的线性变换满足：.证明：可逆，其中为恒等变换.证明：取的一组基令在这组基下的矩阵为，有在这组基下的矩阵为由，得的特征值为、，有的特征值为、,则故可逆,则可逆二（本题满分12分）设，求。解: ,有的特征值为、当时，有基础解系有个向量构成，当时，有基础解系有个向量构成,令可逆矩阵,有,有有三、（本题满分

3、12分）设是数域上的三维线性空间。证明：不存在的线性变换使得在的两组基下的矩阵分别为:和证明：反证法，设存在这样的矩阵、.由、为同一线性变换在的两组基下的矩阵，则有,有的特征值为、当时，有故特征值对应个线性无关的特征值向量 ，有的特征值为、当时，有故特征值对应个特征向量 由、与矛盾，则假设矛盾故不存在的线性变换使得在的两组基下的矩阵分别、四（本题满分12分)设是三次方程的根,求的值。解：令、,的首项为，有有取、，有，有 取、，有，,有 取,有，有 由、,得、有由方程根与系数的关系得，、得五、（本题满分16分）利用正交变换将实二次型化为标准形。并写出相应的正交变换和标准形。解：二次型矩阵为的特征

4、值为、当时，有基础解系由个线性无关的向量构成，、当时，有基础解系由个向量构成,把、正交化、令正交矩阵,有，即有六、(本题满分12分，每小题6分）设、是阶实正交矩阵， 为矩阵的特征根的重数.证明：（1）的充要条件是为偶数。（2）的秩。证明:(1)由、是阶实正交矩阵，有，则为实正交矩阵由，得，即由与对应相同的特征值，则与对应相同的特征值有实正交矩阵的特征值只能是和故，则有的充要条件是为偶数（2）由可逆，有七、（本题满分12分）设为欧氏空间的一组线性无关向量，而和为的两组正交向量组。假设对每个，和均可以由线性表出.证明：存在个实数使得 。证明：令取两组标准正交基、有、则、为对角矩阵，有、为对角矩阵，有 则为正交矩阵由和均可以由线性表出，有 、则、为上三角矩

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