第四章弯曲应力

1、4-4 4-4 梁横截面上的正应力、梁梁横截面上的正应力、梁的的正应正应 力强度条件力强度条件 一、概述一、概述 二、纯弯曲时梁横截面上的正应力二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 三、横力弯曲时的正应力三、横力弯曲时的正应力 四、梁的正应力强度条件四、梁的正应力强度条件 一、一、 概述概述 M Fs M s F F F aa 一、一、 概述概述 F F Fs Fa M 横力弯曲横力弯曲 F F 纯弯曲纯弯曲 FF 纯弯曲纯弯曲：横截面上：横截面上只只有弯矩没有剪力的弯曲。有弯矩没有剪力的弯曲。 横力弯曲：横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。横力弯曲：横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。 纯弯曲实验纯弯曲实

2、验 2P PP a a a a bb Pa P P 主梁 垫梁(辅助梁) Q M P P Fs Pa M 一、概述一、概述 2P PP a a a a bb Pa P P 主梁 垫梁(辅助梁) Q M P P 1.1.纯弯曲试验纯弯曲试验 二、纯弯曲时梁横截面上的正应力二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 1.1.纯弯曲试验纯弯曲试验 2. 纵向线纵向线： 1. 横向线横向线： 3. 上层纤维缩短，下层纤维伸长上层纤维缩短，下层纤维伸长 直线直线,相对旋转了一个角度相对旋转了一个角度 平行的弧线，平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线距离没有改变，垂直于横向线 梁内梁内横截面横截面变形后仍保持为变形

3、后仍保持为平面平面，只是绕着某只是绕着某 个轴个轴转动一个角度转动一个角度, ,仍然仍然与轴线垂直与轴线垂直 平面平面假设假设: 纵向纤维之间纵向纤维之间没有挤压没有挤压 2. 纵向线：纵向线： 1. 横向线：横向线： 3. 上层纤维缩短，下层纤维伸长上层纤维缩短，下层纤维伸长 直线直线相对旋转了一个角度相对旋转了一个角度 平行的弧线，平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线距离没有改变，垂直于横向线 单向受力单向受力假设假设： 既不伸长、也不缩短的纤维层既不伸长、也不缩短的纤维层 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线 对称面对称面 中性层中性层横截面横截面 横截面对称轴横截面对称轴 轴线轴

4、线 中性层中性层 中性轴中性轴 中性轴中性轴 变形几何关系变形几何关系 l l y 中性层的曲率半径中性层的曲率半径 m m x n n dx y bb d dd y 对于指定的横截面对于指定的横截面=常量常量 (a) d b b o o M M m n n m aa xz y y b 2 2、公式推导、公式推导 b boo oo b bbb bb b bo o o o oo 物理关系物理关系 y (a) E y E (b) 横截面上一点的正应力与该横截面上一点的正应力与该点到点到中性轴的距离成正比中性轴的距离成正比 b. 沿沿横截面的高度横截面的高度，正应力正应力按按线性规律变化；线性规律变

5、化； a. 在在中性轴上为零中性轴上为零 比例极限范围内比例极限范围内: M y z x maxt maxc maxt maxc 横截面上正横截面上正 应力的分布应力的分布 图图 静力关系静力关系 y E (b) M y z dA x yz M 横截面上的应力构成横截面上的应力构成空间平行力系空间平行力系 x F (e) (d) (c) A x Ay E Fd y M Z M 中性轴必须通过横截面的形心中性轴必须通过横截面的形心 z EI M 1 自然满足自然满足 0 z S E A Ad0 A y Ad 0 A z Ad M d y A E Myz A d 2 A E MyA z E I z

6、 0 S 0 yz I 0 yz E I M y z x 1 梁的中性层变形后的曲率，梁的中性层变形后的曲率， z EI梁梁的弯曲刚度的弯曲刚度反映了梁抵抗反映了梁抵抗弯曲弯曲变形的能力变形的能力 在纯弯曲时，梁的轴线被弯曲成在纯弯曲时，梁的轴线被弯曲成 静力关系静力关系 z EI M 1 梁的轴线变形后的曲率梁的轴线变形后的曲率 圆弧圆弧 z I My z M EI 1 y E M该截面的弯矩该截面的弯矩 所求点到该截面所求点到该截面中性轴中性轴的距离的距离y 该截面对该截面对中性轴中性轴的惯性矩的惯性矩 z I 纯弯曲纯弯曲时梁横截面上时梁横截面上 的正应力计算公式的正应力计算公式 符号判

7、断法：符号判断法： 1.直接代入直接代入M和和 y代数代数值，值，求出为正，为拉应力；求出为正，为拉应力；求求 出为负，为压应力。出为负，为压应力。 2. 代入代入M和和 y绝对绝对值，再根据梁段的变形情况判断符号值，再根据梁段的变形情况判断符号 公式讨论公式讨论 z I My 正弯矩正弯矩：中性轴以下受拉，中性轴以上受压。：中性轴以下受拉，中性轴以上受压。 负负弯矩弯矩：中性轴以下受压，中性轴以上受拉。：中性轴以下受压，中性轴以上受拉。 的正负号的判断的正负号的判断 上下上下边缘同时达到最大值边缘同时达到最大值： A.横截面关于中性轴对称时横截面关于中性轴对称时(如如矩形矩形、圆形圆形等等)

8、 z I Mymax max max y I W z z maxmaxct 最大应力最大应力 z I My 弯曲截面弯曲截面系数系数 max y I W z z z W M max 其中：其中： max y I W z z z y b h z y D 6 2 bh 12 3 bh 2 h 32 3 D 2 D max y I W z z 64 4 D 反映了梁抵抗反映了梁抵抗弯曲弯曲破坏的能力破坏的能力 A.横截面关于中性横截面关于中性轴对称时轴对称时 z W M max B.横截面关于中性轴横截面关于中性轴不对称不对称 maxmaxct y 200 30 30 z C 170 c z 139

9、 61 z I Mymax max maxt maxc 1 y 2 y c z My I 1 max z My I 2 tmax 三、横力弯曲时的正应力三、横力弯曲时的正应力 可按可按纯弯曲纯弯曲的正应力公式计算的正应力公式计算横力弯曲横力弯曲时的正应力时的正应力 横力弯曲横力弯曲 A.A.变形后，变形后，横截面将发生翘曲横截面将发生翘曲，不再保持为平面，不再保持为平面 B.B.纵向纤维之间还可能会发生纵向纤维之间还可能会发生挤压挤压 精确的分析表明精确的分析表明 当梁的跨长当梁的跨长l与横截面的高度与横截面的高度h之比大于之比大于5 5时时 三、横力弯曲时的正应力三、横力弯曲时的正应力 最大

10、正应力：最大正应力： 弯曲正应力：弯曲正应力： z I My z W M max 例例1 试求图示矩形截面梁试求图示矩形截面梁1-1截面上的截面上的D与与E点的正应力点的正应力 mkN 8 11 M 464 1233 105 12 1010060 12 m m bh I z kN8 A FkN12 B F 1 m A B C 1.5 m1 m F=20kN 1 1 y z 60 100 30 D E 解：解： z D D I yM 11 z E E I yM 11 MPa80 105 1050108 6 33 6 3 105 108 3 1030 mkN 8 11 M y z 60 100 3

11、0 D E 64 5 10 m z I MPa48 z D D I yM 11 z E E I yM 11 MPa80 105 1050108 6 33 MPa48 105 1030108 6 33 （压）（压） （拉）（拉） mkN 8 11 M y z 60 100 30 D E 64 5 10 m z I 或或 MPa8050 30 48 50 30 D E 或或 例例：一跨中受集中荷载作用的简支梁，由：一跨中受集中荷载作用的简支梁，由18b18b号槽钢制成。求此号槽钢制成。求此 梁的最大拉应力和最大压应力，并画出危险截面上的应力分布图。梁的最大拉应力和最大压应力，并画出危险截面上的应力

12、分布图。 1 m A B C 2 m F=5kN z 1 y 2 y 2.5kN m 图M 解：解：（1 1）作弯矩图）作弯矩图 max 2.5kN mM （2 2）查表，得）查表，得 4 111cm z I 1 1.84cmy 2 71.845.16cmy （3 3）计算最大应力）计算最大应力 32 max2 max8 2.5 105.16 10 Pa116.2MPa 111 10 t z My I 32 max1 max8 2.5 101.84 10 Pa41.4MPa 111 10 c z My I maxt maxc 试计算图示简支矩形截面木梁平放与试计算图示简支矩形截面木梁平放与 竖

13、放时的最大正应力，并加以比较。竖放时的最大正应力，并加以比较。 m4 mkN2 q 100 200 200 100 竖放 1 max max Z M W 3 2 4 10 Pa 0.1 0.2 6 6MPa 横放 12MPa 4kN m M图图 1 z 2 z 2 max max Z M W 3 2 4 10 Pa 0.20.1 6 解：解： mm 2003021520030 100 157.5 2003020030 C y 33 22 64 200 3030 200 200 30 57.5200 30 57.5 1212 60.1 10mm C z I 例：求例：求 maxmax ,MM 并

14、求各自的最大拉应力和最大压应力并求各自的最大拉应力和最大压应力 max 10kN mM max 20kN mM 10 20 (kN m)M 解：解： 200 200 30 30 2m3m1m q=10kN/m F=20kN A C BD 30kN 10kN y zc yc tmax 33 1 612 20 1072.5 10 Pa24.1MPa 60.1 1010 C B BB z M y I 上上 cmax 33 2 612 20 10157.5 10 Pa52.4MPa 60.1 1010 c B BB z M y I 下下 B截面：截面： C截面：截面： 157.5 mm C y 64

15、60.1 10 mm C z I max 10kN mM max 20kN mM 2 y 1 y 1 23072.5mm C yy 2 157.5mm C yy Ctmax 33 2 612 10 10157.5 10 Pa26.2MPa 60.1 1010 c C z M y I C C下下 Ccmax 33 1 612 10 1072.5 10 Pa12.1MPa 60.1 1010 C C z M y I C C上上 10 20 (kN m)M 200 200 30 302m 3m1m q=10kN/m F=20kN A C BD 30kN 10kN y zc yc 四四、梁的正应力、梁

16、的正应力强度条件强度条件 1.对于对于抗拉抗拉和和抗抗压压强度强度相等相等的材料的材料(如低碳钢如低碳钢) 2.对于对于抗拉抗拉和和抗压抗压强度强度不相等不相等的材料的材料(如铸铁）如铸铁） max max tt max cc max 许用拉压应力许用拉压应力 对等对等直梁：直梁： max M max )( M max )( M 等直梁：等直梁： 中性轴中性轴是是对称轴对称轴 中性轴中性轴不是不是对称轴对称轴 max M max 发生在发生在 的截面上。的截面上。 max M max )( M max )( M （A） （B）截面）截面关于关于中性轴不对称的梁中性轴不对称的梁（脆性材料）：（脆

17、性材料）： 等直梁等直梁： 危险截面：危险截面： 截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称时：时： 要确定最大应力，需分别计算最大正、负弯矩要确定最大应力，需分别计算最大正、负弯矩 所在截面的最大拉、压应力，再作比较。所在截面的最大拉、压应力，再作比较。 已知工字钢已知工字钢=215MPa=215MPa。试选择工字钢型号。试选择工字钢型号。 15 9 .31 1 .28 3.75 13.16 3 3 max 6 13.16 10 m 215 10 Z M W 3 61.2cm 查表查表 N0 12.6工字钢工字钢 WZ=77.5cm3 max 13.16kN mM kN s F kN mM 解：解

18、：1 1、作剪力、弯矩图、作剪力、弯矩图 2 2、选择工字钢型号、选择工字钢型号 由由 max max Z M W 得得 0.937m 0.5m2m 30kN mq A B 46.9kN A F 28.1kN B F 例例 铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材料铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材料的许用的许用 解：解： 试按正应力强度条件校核梁的试按正应力强度条件校核梁的强度。强度。 拉应力拉应力 ，许用许用压应力压应力 ，40 MPa t 100 MPa c B 30kNF D 10kNF M mkN 20 mkN 10 2m A BC 3m1m D kN20 F kN10

19、q 200 170 30 30 危险截面危险截面 max max c t c t CB MM , 1 1、作梁的弯矩图、作梁的弯矩图 12 200139 mmyy 200 170 30 30 1 z 2 y 1 y 2 2、计算截面的几、计算截面的几 何性质何性质 z y C 2 200 30 15 170 303085 61mm 200 30 170 30 y 33 2 2 74 200 3030 170 200 3061 15170 30 (308561) 1212 4.03 10 mm z I 3 3、强度计算、强度计算 MPa 330 2 max . I yM z B B MPa 06

20、9 1 max . I yM z B B B B截面截面 C C截面截面 MPa 534 1 max . I yM z C C t MPa 215 2 max . I yM z C C c t c MPa MPa 5 .34 0 .69 max max t c t c kN30 QB FkN10 RD F 2m A BC 3m1m D kN20 F kN10q C 200 170 30 30 z y 1 z 2 y 1 y M mkN 20 mkN 10 强度满足要求强度满足要求 4、讨论、讨论 (1)若梁的载荷不变，将若梁的载荷不变，将T形横截面形横截面倒置倒置(成成形横截面形横截面)， 是

21、否合理？是否合理？ 因此因此:倒置不合理倒置不合理 MPa MPa 5 .34 0 .69 max max t c MPa MPa 5 .34 0 .69 max max c t t kN30 QB FkN10 RD F 2m A BC 3m1m D kN20 F kN10q C 200 170 30 30 z y 1 z 2 y 1 y 例例 铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材 料料的许的许用用拉应力拉应力 ,许用压应力许用压应力 ， 其中其中 ， ,试试计算该梁的许可载荷计算该梁的许可载荷F。 解：解： FM FM C A 6 . 0

22、8 . 0 危险危险截面为截面为 MPa 40 t MPa 160 c 4 10180cm z I cm64. 9 1 h 1400 A C 600 B F F2 C 150 200 50 50 y z 1 h 2 h M F60. F80. 2 1 8 max 0.89.64 10 757.6 10180 10 A t A z M hF F I 2 2 8 max 0.8259.6410 1207.2 10180 10 A c A z FM h F I 作作弯矩图弯矩图 A截面：截面： C截面：截面： 1400 A C 600 B F F2 C 150 200 50 50 y z 1 h 2

23、 h M F60. F80. 2 max 2 8 0.6259.6410 10180 10 905.4 C t C z M h I F F 2 1 8 max 0.69.64 10 568.2 10180 10 C c C z M hF F I 6 max 905.440 10 tt F 6 cc F1207.2 maxmax = = =160 10 =160 10 44.2kNF kN2 .44 F 132.5kNF 对全梁对全梁 由由 得得 由由 得得 故许可荷载故许可荷载 图示结构承受均布荷载，图示结构承受均布荷载，ACAC为为1010号工字钢梁，号工字钢梁，B B 处用直径处用直径d=

24、20mmd=20mm的钢杆的钢杆BDBD悬吊，梁和杆的悬吊，梁和杆的许用应许用应 力均为力均为 160MPa 160MPa 。不考虑切应力，试计算结构。不考虑切应力，试计算结构 的许可荷载的许可荷载 qq。 FB 3 4 A q F 9 4 B q F 2 2、根据梁、根据梁的的强度条件确强度条件确 定荷载定荷载 2m1m A B D C q d 解：解：1 1、作弯矩图、作弯矩图 q 3 4 q 5 4 q s F图 0.75m q 1 2 q 9 32 M图 max 2 q M 9 4 NBD q F 查表得查表得 NONO. .1010工字钢工字钢: : 3 49cm z W FA ma

25、x max z M W 0.5 z q W 66 49 10160 10 N/m15.68kN/m 0.50.5 Z W q 2 9 4 4 NBD q F dA 故许可荷载故许可荷载 2 1 9 qd 266 1 2010160 10 N/m 9 15.68kN/mq 22.3kN/m 3 3、根据拉杆、根据拉杆的的强度条件确定荷载强度条件确定荷载 d d d 2 d 2 d d 2 d 2 d 例：例： 承受承受相同弯矩相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。的三根直梁，其截面组成方式如图所示。 图（图（a a）的截面为一整体；图（）的截面为一整体；图（b b）的截面由两矩形截面并

26、列而成）的截面由两矩形截面并列而成 （未粘接）；图（未粘接）；图（c c）的）的截面截面由由两两矩形截面上下叠合而成（未粘矩形截面上下叠合而成（未粘 接）。三根梁中的最大正应力分别为接）。三根梁中的最大正应力分别为max（a）、 max（b）、 max（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正 确的。确的。 maxmaxmax maxmaxmax maxmaxmax maxmaxmax ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ()( )( )( ) Aabc Babc Cabc Dabc ； ；

27、； 。 (a)(b) (c) z max33 6 ( ) 6 zz MM a dd z max3 2 6 2 ( ) . 2 6 z z M M b d d d z z max23 12 2 ( ) 2 6 z z M M c d d d 答案：答案：B B 4.5 4.5 梁横截面上的梁横截面上的切切应力、应力、 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 横力弯曲横力弯曲 另一些梁则是因另一些梁则是因切应力切应力达到剪切强度极限而破坏达到剪切强度极限而破坏 横截面上既有横截面上既有正应力正应力、又有、又有切应力切应力 实践表明实践表明 有些梁是因有些梁是因正应力正应力达到拉伸或压缩强度极限而破坏

28、达到拉伸或压缩强度极限而破坏 跨度小、截面高的木梁跨度小、截面高的木梁 一、狭长矩形截面梁的切应力一、狭长矩形截面梁的切应力 假设：假设： 1 1、横截面上的、横截面上的方向与方向与FS平行平行 2 2、沿截面宽度是均匀分布的沿截面宽度是均匀分布的 z y Fs 即横截面上距中性轴等远各点处的切应力相等。即横截面上距中性轴等远各点处的切应力相等。 b y y z 2h 2h F a a dA 1 y A 1N F 2N F x dx 1 1 2 2 12 aa y y M dMM y aa 12 dx b 0 * 1 * 2 bdxFF yNN *1 * 1 A N dAF * 1 A z d

29、A I My *1 A z dAy I M *2 * 2 A N dAF * 1 A z dA I ydMM bdxdAy I dM y A z * 1 z S dx dM bI S z z y * bI SF z zs * Fs 横截面上的剪力；横截面上的剪力； IZ 截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性矩； b 截面截面的宽度；的宽度； * sz Z F S I b max b z y A y 0 y 2 h 2 h 2 max 8 s Z F h I 2 3 8 12 s F h bh 3 2 s F A 矩形截面梁弯曲时横截面上矩形截面梁弯曲时横截面上 任一点的切应力计算公式任一点

30、的切应力计算公式 SZ 该点横线以外部分的 该点横线以外部分的面积对中性轴的面积对中性轴的静矩。静矩。 0 2 2 / 2 () 22 24 Z SA y hhy byy bh y 2 2 () 24 s y Z Fh y I 切应力沿截面高度抛物线分布，中性轴切应力沿截面高度抛物线分布，中性轴 上切应力最大，上、下边缘处为零。上切应力最大，上、下边缘处为零。 矩形截面简支梁，加载于梁中点矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。，如图示。 求求max , max 。 F 2l2l h b max 4 Fl M 2 6 Z bh W max max Z M W 2 4 1 6 Fl bh 2 3

31、 2 Fl bh max 2 s F F max 3 2 s F A 3 2 2 F bh 3 4 F bh 解：解： F/2F/2 FS M F/2 F/2 Fl/4 矩形截面简支梁，加载于梁中点矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。，如图示。 求求max , max 。 F 2l2l h b max 4 FL M 2 6 Z bh W max max Z M W 2 4 1 6 FL bh 2 3 2 FL bh max 2 s F F max 3 2 s F A 3 2 2 F bh 3 4 F bh max max 2 3 2 3 4 FL bh F bh 2L h 5 L h ma

32、x max 10 对细长等直梁对细长等直梁 解：解： max min 二、工字形截面梁的切应力二、工字形截面梁的切应力 横截面上的切应力横截面上的切应力( (95-95- 9797) )由腹板承担由腹板承担, ,而翼缘而翼缘 仅承担了仅承担了(3-5) (3-5) , ,且翼且翼 缘上的切应力情况又比较缘上的切应力情况又比较 复杂复杂. .为了满足实际工程中为了满足实际工程中 计算和设计的需要仅分析计算和设计的需要仅分析 腹板上的切应力腹板上的切应力. . * sz Z F S I d z d b h h0 t 腹板：狭长矩形腹板：狭长矩形 * max Z Z I S 查表获得查表获得 式式中

33、：中： 整个工字形截面对中整个工字形截面对中 性轴的惯性矩性轴的惯性矩 该点横线以外部分面该点横线以外部分面 积对中性轴的静矩积对中性轴的静矩 腹板的宽度腹板的宽度 Z I z S d 对工字型钢，对工字型钢， 发生在中性轴上，发生在中性轴上，max 三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力 z y d max 4 3 S F A 2 4 d A D d max 2 S F A A A为圆环形截面面积为圆环形截面面积 四、四、梁梁的切应力强度条件的切应力强度条件 * maxmax max SZ Z FS I b 最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边最大正应力发生在

34、最大弯矩截面的上、下边 缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处 于单轴应力状态；于单轴应力状态； 最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴 处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯 剪切剪切应力状态。应力状态。 (2) 在设计梁的截面时：在设计梁的截面时： (1) (1) 对于对于细长梁细长梁： d d. .木梁木梁 a a. .小跨度梁小跨度梁 b b. .支座附近有支座附近有较大荷载较大荷载 c c. .铆接、焊接或胶合而成的梁铆接、焊接或胶合而成的梁 * max

35、max Sz z F S I b 再按再按切切应力强度条件应力强度条件校核校核 一般不必校核弯曲一般不必校核弯曲切切应力强度应力强度 但在以下几种情况中，必须考虑弯曲但在以下几种情况中，必须考虑弯曲切切应力强度应力强度 讨论：讨论： 通常先按通常先按正应力强度正应力强度条件设计条件设计 其控制因素通常是其控制因素通常是弯曲正应力弯曲正应力 max max z My I 例例: :试试求图示矩形截面梁求图示矩形截面梁1-11-1截面上的截面上的D与与E点的切点的切应力应力. . 解：解： 1 8 kN S F 33 64 0.06 0.1 5 10 m 1212 z bh I 0 E 43 60

36、20404.810 mm ZD S *349 1 63 8104.81010 1.28 MPa 5106010 SzD D z FS I b 8kN A F 12kN B F 1 m A B C 1.5 m1 m F=20kN 1 1 y z 60 100 30 D E F L b h 两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料 许用应力为,其许可荷载F为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则 其许可荷载F为多少?若螺栓材料许用切应力为,求螺栓的最小直径. 两梁叠加: z z z W M 2 max max 6 2 2 bh FL 2 3 bh FL max 2 3 bh

37、FL L bh F 3 2 两梁用螺栓连接两梁只有一个中性轴 z W M max max 6 2 2 hb FL 2 2 3 bh FL L bh F 3 2 2 将两个梁连接 成一个整体后,承 载能力提高一倍. 梁中性层处切应力 A Fs 2 3 max bh L bh 2 3 2 2 3 2 L h 2 中性层剪力 bLFs max A Fs 4 2 2 d b h hb d 2 例例 T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知已知 c=100MPa ， t=50MPa， =40MPa，yc=17.5mm， Iz=18.2104mm4。求：。求：1)C左侧截面左侧截面E

38、点的正应力、切点的正应力、切 应力；应力；2)校核梁的正应力、切应力校核梁的正应力、切应力强度。强度。 C A D 1m 1kN 1kN/m 1m1m 40 40 10 10 yc z E B C A D 1m 1kN 1kN/m 1m1m 40 40 10 10 yc z E B 1 FS 0.25 0.75 (kN) _ + M (kN.m) 0.25 0.5 + _ 0.25kN1.75kN AC FF， 0.75kN0.5kN m SCC FM 左左 ， 2 2）作梁的）作梁的Fs和和M图图 1 1）求）求支座约束力支座约束力： 0.25kN 1.75kN 33 412 *39 412

39、3 0.5 107.5 10 3)20.6MPa() 18.2 1010 0.75 10(400 12.5) 10 2.1MPa 18.2 101010 10 CE E Z SzC E z M y I FS I b 左左 拉拉 40 40 10 10 yc z EM (kN.m) 0.25 0.5 + _ A C B D 0.75kN 0.5kN m SC C F M 左左 44 17.5mm 18.2 10 mm C Z y I 该梁满足正应力强度要求该梁满足正应力强度要求 tmaxt cmaxc tmaxt cmaxc 4) (50) 44.6MPa 24.0MPa 48.0MPa (50

40、) 89.2MPa Bc B z Bc B z Cc C z Cc C z My I M y I M y I My I 40 40 10 10 yc z EM (kN.m) 0.25 0.5 + _ A C B D max * max max 329 4123 1010 (50) / 2 10 18.2 101010 10 2.9MPa Sz z c FS I b y 5)5)切切应应力力强强度度校校核核： 该梁满足切应力强度要求该梁满足切应力强度要求 1 FS 0.25 0.75 (kN) _ + 40 40 10 10 yc z E 例例 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为悬臂梁由三块木板粘

41、接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应胶合面的许可切应 力为力为0.34MPa，木材木材的的= 10 MPa，=1MPa，求许可荷载。求许可荷载。 max max2 6 z MFl Wbh 1.1.画梁的剪力图和画梁的剪力图和 弯矩图弯矩图 2.2.按正应力强度条件按正应力强度条件计算计算 许可荷载许可荷载 S F F 2 729 10100 15010 3750N3.75kN 66 bh F l max max 33 22 FF Abh S 3.3.按切应力强度条件计算许可荷载按切应力强度条件计算许可荷载 66 2/ 321010015010/ 310000N10kNFbh 解：解： M Fl

42、 F l 100 50 50 50 2 * 3 43 3 12 SZ Z h Fb F SF bhI bbh b 胶胶 胶胶 4.4.按胶合面强度条件计算按胶合面强度条件计算 许可荷载许可荷载 66 3 3 100 150 100.34 10 44 3825N3.825kN bh F 胶胶 5.5.梁的许可荷载为梁的许可荷载为 3.75kNF F l 100 50 50 50 z S F F M Fl 4.64.6 梁的合理设计 max max z M W 1弯曲正应力是控制梁强度的主要因素；弯曲正应力是控制梁强度的主要因素； 2提高梁强度的措施；提高梁强度的措施； 1)采用合理的截面形状，采

43、用合理的截面形状，提高弯曲截面提高弯曲截面系数系数Wz 2)采用等强度梁或变截面梁采用等强度梁或变截面梁 3)改善梁的受力条件，降低改善梁的受力条件，降低Mmax 一、梁的合理截面形状 1面积面积A不变，不变，Wz越大，则截面越大，则截面 形状越合理形状越合理 2)优先采用工字形、槽形、箱形和圆环形截面优先采用工字形、槽形、箱形和圆环形截面 1)为提高为提高Wz/A，截面上的材料应尽可能远离中性轴，截面上的材料应尽可能远离中性轴 z y z y z y 2材料特性对截面形状的要求材料特性对截面形状的要求 2)抗拉、压强度不同的材料，采用中性轴偏向受抗拉、压强度不同的材料，采用中性轴偏向受 拉侧的截面形状，如拉侧的截面形状，如T形形、槽形等、槽形等截面截面 1)拉压强度相等的材料，拉压强度相等的材料，采用关于中性轴对称的截面采用关于中性轴对称的截面 3同时需考虑弯曲切应力强度同时需考虑弯曲切应力强度 由腹板和翼缘组成的薄壁截面，如型钢截面等，弯曲由腹板和翼缘组成的薄壁截面，如型钢截面等，弯曲正