高考真题解析分类汇编（文科数学）7：立体几何 Word版含答案

1、2013年高考解析分类汇编7：立体几何 一、选择题 （2013年高考重庆卷（文8）某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）abcd【答案】d 【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。由三视图可知该几何体是个四棱柱。棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5。所以梯形的面积为，梯形的周长为。所以四棱柱的表面积为，选d. （2013年高考课标卷（文9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(a)(b) (c) (d)【答案】a【解析】在空间直角坐标系中，先画

2、出四面体的直观图，以zox平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选a. （2013年高考课标卷（文11）某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为 （）abcd【答案】a【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2,圆柱的高为4。上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2,2,4.所以半圆柱的体积为，正方体的体积为，所以该几何体的体积为，选a. （2013年高考大纲卷（文11）已知正四棱锥的正弦值等于（）abcd【答案】a 【解析】如图，因为bd平面acc1a1，所以平面acc1a1平面bdc1，在rtcc1o中，过c作chc1o于h，连结dh，则cd

3、h即为所求，令，显然，所以，故选a. （2013年高考四川卷（文2）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）a棱柱b棱台c圆柱d圆台【答案】d 【解析】由三视图可知，该几何体为圆台. （2013年高考浙江卷（文5）已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）a108cm3b100 cm3c92cm3d84cm3【答案】b 【解析】此图的直观图是一个底面边长为6和3，高为6的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为3,4,4.如图。所以该几何体的体积为，选b. （2013年高考北京卷（文8）如图,在正方体中,为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有

4、（）a3个b4个c5个d6个【答案】b 【解析】设正方体边长为3，则，故共有4个不同的取值。 （2013年高考广东卷（文）某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是（）abcd【答案】b 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选b. （2013年高考湖南（文7）已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于_（）ab1cd【答案】d 【解析】本题考查三视图的计算。因为侧视图是一个面积为的矩形，所以侧视图的底长为，即侧视图看到的是正方形的对角线，所以正视图和侧面图面积相同，即为，选d.（2013年高考浙江卷

5、（文4）设m.n是两条不同的直线,.是两个不同的平面,（）a若m,n,则mnb若m,m,则 c若mn,m,则nd若m,则m【答案】c 【解析】平行的传递性只有在线性和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以a,b错误。两条平行线中的一条直线垂直于某个平面，则另一条也垂直该平面，所以c正确，选c.（2013年高考辽宁卷（文10）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,则球的半径为（）abcd 【答案】c 【解析】由球心作面abc的垂线，则垂足为bc中点m。计算am=，由垂径定理，om=6，所以半径r=,选c.（2013年高考广东卷（文）设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）a若,则

6、b若,则 c若,则d若,则【答案】b 【解析】平行的传递性只有在线性和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以a错误.垂直于同一条直线的两个平面平行，所以b正确。c中，所以错误。d中，也有可能。所以选b.（2013年高考山东卷（文4）一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）abcd8,8【答案】b 【解析】由三视图可知四棱锥的底面边长是2，高为2，侧面上的斜高是，所以，故选b.（2013年高考江西卷（文8）一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为（）a200+9b200+18c140+9d140+18 【答案】a 【解析】本题考查三视

7、图以及空间几何体的体积。由三视图可在，该几何体下半部分为长方体，边长分别为810,4,5，所以体积为。上半部分为平放的半圆柱，上底半径为3，高是2，所以半圆柱的体积为，所以该几何体的体积为，选a.二、填空题（2013年高考课标卷（文15）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为_。【答案】【解析】设正四棱锥的高为，则，解得高。则底面正方形的对角线长为，所以,所以球的表面积为.（2013年高考湖北卷（文16）我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸

8、,则平地降雨量是_寸. (注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)【答案】3 【解析】本题考查圆台的体积公式。做出圆台的轴截面如图,由题意知，（单位寸，下同），,即是中点，所以为梯形的中位线，所以，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为。喷口的面积为，所以，即平地降雨量是3寸。 （2013年高考课标卷（文15）已知是球的直径上一点,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_.【答案】【解析】因为截球所得截面的面积为，所以截面小圆的半径.设球半径为，则，所以.在直角三角形中，即，解得，所以球的表面积为。（2013年高考卷（文10）某四棱锥的三视图如图所示,该四

9、棱锥的体积为_.1俯视图侧（左）视图正（主）视图 2 1 1 2 【答案】3【解析】由题意，该四棱锥底面为边长等于3的正方形，体高为1，.（2013年高考陕西卷（文12）某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为_. 【答案】 【解析】 综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 = 。 （2013年高考大纲卷（文16）已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,则球的表面积等于_.【答案】 【解析】如图，公共弦mn=r,中点为e，连oe、ke，则，所以，在rtome中，即，所以.所以球的表面积为.（2013年上海高考数学试题（文科10）已知圆柱的母线长为,底面半径为,是

10、上地面圆心,、是下底面圆周上两个不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则_.【答案】 【解析】 （2013年高考天津卷（文10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 _.【答案】 【解析】设正方体的棱长为，则正方体的体对角线为直径，即，即球半径。若球的体积为，即，解得。（2013年高考辽宁卷（文13）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_.【答案】 【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。.（2013年高考江西卷（文15）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ab/cd,则直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_. 【答

11、案】4【解析】本题考查空间立体几何中的线面位置关系的判断在正四面体题中，取cd的中点h,则,又ab/cd，所以平面平行于正方体的左右两个侧面，所以直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数由图象可知4。（2013年高考安徽（文）如图,正方体的棱长为1,为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号).当时,为四边形;当时,为等腰梯形;当时,与的交点满足;当时,为六边形;当时,的面积为.【答案】【解析】（1），s等腰梯形，正确，图如下：（2），s是菱形，面积为，正确，图如下：（3），画图如下：，正确（4），如图是五边形，不正确；（

12、5），如下图，是四边形，故正确【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。三、解答题（2013年高考辽宁卷（文）如图,(i)求证:(ii)设【答案】(i) 由ab式圆o的直径，得acbc.由pa平面abc，bc平面abc，得pabc,又paac=a,pa平面pac，ac平面pac,所以bc平面pac.（ii） 连og并延长交ac与m，链接qm，qo.由g为aoc的重心，得m为ac中点，由g为pa中点，得qm/pc.又o为ab中点，得om/bc.因为qmmo=m,qm平面qmo.所以qg/平面pbc. （2013年高考浙江卷（文）如图,在在四棱锥p-abcd中,pa面abcd,a

13、b=bc=2,ad=cd=,pa=,abc=120,g为线段pc上的点.()证明:bd面pac ; ()若g是pc的中点,求dg与apc所成的角的正切值;()若g满足pc面bgd,求 的值.【答案】解:证明:()由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30,且,所以;、,又因为; ()设,由(1)知,连接,所以与面所成的角是,由已知及(1)知:, ,所以与面所成的角的正切值是; ()由已知得到:,因为,在中,设 （2013年高考陕西卷（文）如图, 四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形, o为底面中心, a1o平面abcd, . () 证明: a1bd / 平面cd1b1; ()

14、 求三棱柱abd-a1b1d1的体积. 【答案】解: () 设. . .(证毕) () . 在正方形ab cd中,ao = 1 . . 所以,. （2013年高考福建卷（文）如图,在四棱锥中,.(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若为的中点,求证:;(3)求三棱锥的体积.【答案】解法一:()在梯形中,过点作,垂足为, 由已知得,四边形为矩形, 在中,由,依勾股定理得: ,从而 又由平面得, 从而在中,由,得 正视图如右图所示: ()取中点,连结, 在中,是中点, ,又, , 四边形为平行四边形, 又平面,平面 平面 () 又,所以

15、解法二: ()同解法一 ()取的中点,连结, 在梯形中,且 四边形为平行四边形 ,又平面,平面 平面,又在中, 平面,平面 平面.又, 平面平面,又平面 平面 ()同解法一 （2013年高考广东卷（文）如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1) 证明:/平面;(2) 证明:平面;(3) 当时,求三棱锥的体积. 【答案】(1)在等边三角形中, ,在折叠后的三棱锥中 也成立, ,平面, 平面,平面; (2)在等边三角形中,是的中点,所以,. 在三棱锥中, ; (3)由(1)可知,结合(2)可得. （2013年高考湖南（文）如

16、图2.在直菱柱abc-a1b1c1中,bac=90,ab=ac=,aa1=3,d是bc的中点,点e在菱bb1上运动.(i)证明:adc1e;(ii)当异面直线ac,c1e 所成的角为60时,求三菱子c1-a2b1e的体积.【答案】解: () . . (证毕) (). . （2013年高考北京卷（文）如图,在四棱锥中,平面底面,和分别是和的中点,求证:(1)底面;(2)平面;(3)平面平面【答案】(i)因为平面pad平面abcd,且pa垂直于这个平面的交线ad 所以pa垂直底面abcd. (ii)因为abcd,cd=2ab,e为cd的中点 所以abde,且ab=de 所以abed为平行四边形,

17、所以bead,又因为be平面pad,ad平面pad 所以be平面pad. (iii)因为abad,而且abed为平行四边形 所以becd,adcd,由(i)知pa底面abcd, 所以pacd,所以cd平面pad 所以cdpd,因为e和f分别是cd和pc的中点 所以pdef,所以cdef,所以cd平面bef,所以平面bef平面pcd. （2013年高考课标卷（文）如图,三棱柱中,.()证明:;()若,求三棱柱的体积.【答案】【答案】(i)取ab的中点o,连接、,因为ca=cb,所以,由于ab=a a1,ba a1=600,故为等边三角形,所以oaab. 因为ocoa=o,所以ab平面oac.又a

18、cc平面oac,故abac. (ii)由题设知 （2013年高考山东卷（文）如图,四棱锥中,分别为的中点()求证:;()求证:【答案】 （2013年高考四川卷（文）如图,在三棱柱中,侧棱底面,分别是线段的中点,是线段上异于端点的点.()在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;()设()中的直线交于点,求三棱锥的体积.(锥体体积公式:,其中为底面面积,为高)【答案】解:()如图,在平面abc内,过点作直线,因为在平面外,bc在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,平面. 由已知,是bc中点,所以bcad,则直线, 又因为底面,所以, 又因为ad,在平面内,且ad与相交,

19、 所以直线平面 ()过d作于e,因为平面,所以, 又因为ac,在平面内,且ac与相交,所以平面, 由,bac,有,dac, 所以在acd中, 又,所以 因此三棱锥的体积为 （2013年高考湖北卷（文）如图,某地质队自水平地面a,b,c三处垂直向地下钻探,自a点向下钻到a1处发现矿藏,再继续下钻到a2处后下面已无矿,从而得到在a处正下方的矿层厚度为.同样可得在b,c处正下方的矿层厚度分别为,且. 过,的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为.()证明:中截面是梯形;()在abc中,记,bc边上的高为,面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体

20、积)时,可用近似公式来估算. 已知,试判断与v的大小关系,并加以证明. 第20题图【答案】()依题意平面,平面,平面, 所以a1a2b1b2c1c2. 又,且 . 因此四边形、均是梯形. 由平面,平面,且平面平面, 可得aa2me,即a1a2de. 同理可证a1a2fg,所以defg. 又、分别为、的中点, 则、分别为、 的中点, 即、分别为梯形、的中位线. 因此 , 而,故,所以中截面是梯形. (). 证明如下: 由平面,平面,可得. 而ema1a2,所以,同理可得. 由是的中位线,可得即为梯形的高, 因此, 即. 又,所以. 于是. 由,得,故. （2013年高考课标卷（文）如图，直三棱柱中，分别是，的中点，。（）证明：平面；（）设，求三棱锥的体积。【答案】 （2013年高考大纲卷（文）如图,四棱锥都是边长为的等边三角形.(i)证明: (ii)求点 【答案】()证明:取bc的中点e,连结de,则abed为正方形. 过p作po平面abcd,垂足为o. 连结oa,ob,od,oe. 由和都是等边三角形知pa=pb=pd, 所以oa=ob=od,即点o为正方形abed对角线的交点, 故,从而. 因为o是bd的中点,e是bc的中点, 所以oe/cd.因此,. ()解:取pd的中点f,连结of,则of