基尼系数的计算方法及数学推导_2

1、基尼系数的计算方法及数学推导2001金融二班袁源摘要：本文归纳了基尼系数的四种计算方法：直接计算法、拟合曲线法、分组计算法和分解法，并进行了数学推导和证明。在此基础上，文章比较了各种算法优缺点，分析了误差可能产生的环节。关键词：洛伦茨曲线基尼系数、洛伦茨曲线和基尼系数1905年，统计学家洛伦茨提出了洛伦茨曲线，如图一。将社会总人口按收入由低到高的顺序平均分为10个等级组,每个等级组均占10%的人口，再计算每个组的收入占总收入的比重。然后以人口累计百分比为横轴，以收入累计百分比为 纵轴，绘出一条反映居民收入分配差距状况的曲线，即为洛伦茨曲线。图一为了用指数来更好的反映社会收入分配的平等状况，19

2、12年，意大利经济学家基尼根据洛伦茨曲线计算出一个反映收入分配平等程度的指标，称为基尼系数（G）。在上图中，基尼系数定义为：G= -Sa式（1）Sa+b当A为0时，基尼系数为0,表示收入分配绝对平等；当 B为0时，基尼系数为1，表示收入分配绝对不平等。基尼 系数在01之间，系数越大，表示越不均等，系数越小，表示越均等。二、基尼系数的计算方法式（1）虽然是一个极为简明的数学表达式，但它并不具有实际的可操作性。为了寻求具有可操作性的估算方法，自基 尼提出基尼比率以来，许多经济学家和统计学家都进行了这方面的探索。在已有的研究成果中，主要有四种有代表性的估 算方法，结合自己的计算，笔者将它们归纳为直接

3、计算法、拟合曲线法、分组计算法和分解法。1、直接计算法直接计算法在基尼提出收入不平等的一种度量时，就已经给出了具体算法，而且这种算法并不依赖于洛伦茨曲线，它 直接度量收入不平等的程度。定义式（2）n n,2 = EE Yj-Yi I /n , 0 2u j=1 i=1 |式中，是基尼平均差，IYj-Yi I是任何一对收入样本差的绝对值，n是样本容量，u是收入均值。定义G= /2u, 0 GW 1式（3）可以证明：G= /2u = 2Sa （证明过程见附录一），而由式（1） G= Sa/ Sa+b , Sa+b =1/2 , G=2Sa,因此，式（2）中定义的G即为基尼系数，综合式（2）、（3）

4、,基尼系数的计算方法为：G=12n2 un nEE Yj- Yi I j=1 i=1 |式（4）直接计算法只涉及居民收入样本数据的算术运算，很多学者认为理论上看，只要不存在来源于样本数据方面的误差， 就不存在产生误差的环节。实际上，在附录一证明过程当中将看到，直接计算法依然采用了以直代曲法计算面积，只不过 这个过程在样本数据范围内达到了最小近似，其精确度直接取决于样本数据本身。因此，可以认为它不带任何误差的计算了样本数据的基尼系数值。2、拟合曲线法拟合曲线法计算基尼系数的思路是采用数学方法拟合出洛伦茨曲线，得出曲线的函数表达式，然后用积分法求出B的面积，计算基尼系数。通常是通过设定洛伦茨曲线方

5、程，用回归的方法求出参数，再计算积分。例如，设定洛伦茨曲线的 函数关系式为幕函数：I= a式（5）根据选定的样本数据，用回归法求出洛伦茨曲线，例如，a = m,3 =n.求积分1Sb= / 0mpndp= m式（6）n+1计算G= Sa+bSb = 1 式（7）Sa+bSa+bn+1拟合曲线法的在两个环节容易产生谬误：一是拟合洛伦茨曲线，得出函数表达式的过程中，可能产生误差；二是拟合 出来的函数应该是可积的，否则就无法计算。3、分组计算法这种方法的思路有点类似用几何定义计算积分的方法，在X轴上寻找n个分点，将洛伦茨曲线下方的区域分成n部分,每部分用以直代曲的方法计算面积，然后加总求出面积。分点

6、越多，就越准确，当分点达到无穷大时，则为精确计算。图假设分为n组，每组的收入为i-1iYi，则每个部分 P的面积为:这是精确计算基尼系数的表达式，当分点yi=亠yi= n刀Y得到近似表达式：式（10）n+1)n式（11）Sp=1-2nX Yi + E YinX Y式（8）加总得到：g= Sa 一_ Sa+b Sbi-1in-1 2lim X 1 X 丫千X Yk= 2nXY式(9)G=Sa+bSa+bn个数有限时，定义:2G=2Sa=（y1+2y2+ + nyn） n（证明过程见附录二）分组计算法不依赖于洛伦茨曲线的函数形式，但在以直代曲的环节会出现误差，增加分点的个数可以减少这种误差。4、分

7、解法上述的计算方法的最终目的都在于求出基尼系数的值，而分解法则是在求出上述值的基础上，力图研究基尼系数的构 成因素，除了得出总的基尼系数的信息之外，在计算过程中还能够获得分解部分内部的基尼系数值。另外，分解法求出基 尼系数的过程一般都依赖于已有部分的基尼系数的值，从这个意义上说，分解法并不是独立计算基尼系数的方法，它更重 要的意义在于对基尼系数的分解，即定义的各个不同基尼系数值之间的相互关系。伦敦经济学院收入分配方法论专家Cowell教授提出，基尼系数在不同人群组之间无法完全分解于尽。总体基尼系数除了包括各个组内差距之外，还应包括组间差距和相互作用项。公式为：kG =刀 WG+I b+ （ f

8、i）式（12）式中，G是总体基尼系数，G是第i组内部的基尼系数（i=1,2,，n）, W是G的权数，Ib是组间的差距指数， （fi） 是相互作用项。 （fi）是各个组之间收入分布的重叠程度。特别地，当各个组之间收入分布完全不重叠时， （fi）= 0。式（12）地意义在于形式化地表述了对总体基尼系数进行分解的思路和框架，但由于没有给出W、lb和 （fi）的具体计算方法，还不能用于基尼系数的计算。经济学家Sun drum （1990）在他的欠发达国家的收入分配一书中介绍了一种对一国或地区基尼系数进行分解的方法，其数学公式为：G=P1UlGi+ P2-2 G2+P1P2 I 出二2- I式（13）u

9、uu式中，G表示总体基尼系数，G1和G2分别表示农村和城镇的基尼系数，P1、P2分别表示农村人口和城镇人口占总人口的比重，uu2、u分别表示农村、城镇和总体的人均收入。对比式（12）和式（13）,可以发现式（13）是式（12）的一种具体运用，P12勺一 G1和P22_G2可以作为以P12出uuk和卩22丄2为权重的刀WG ,P1P2I也二竺一 I则为组间差距指数lb。值得注意的是式中没有（fi）项，意味着 （ fi） =uuu0成立，因此这种算法隐含的假设条件是农村与城镇的收入分布完全不重叠。此外，采用这种计算方法还必须满足条件： 在估算城乡内部的基尼系数时所用的居民收入数据的口径是相同或相近

10、的。这种方法会在可能在两个环节产生误差：一是用其他方法估计城乡各自的基尼系数G1和G2时，可能产生误差；二是城乡收入分布一般会在不同程度上重叠。附录一：证明：G= /2u = 2Sa“ 八“ n n,第一步，分解EE Yj-Yi I1c 22n uj=1 i=1 I设将收入按从低到高排列丫1、丫2、Yn,则上式可以分解为矩阵A :丫1丫2Yn1YnY10丫2 丫1Yn 1丫1Y n Y 1Y2Y2 丫10Yn 1丫2Yn 丫2丫 n 1Y n-1 Y 1Y n-1 Y 20Yn Y n- 1YnYn Y1Y n Y 20将矩阵中各项加总得到：2(n 1) Yn+( n 2)Yn-1 + + Y

11、2(n- 1)Y1 ( n 2)丫2- Y n 1=2(n 1) Yn+( n 3)Y n- 1 +(n 5) Yn2(1 n) Y2(n 1) YJ第二步，计算n取样本均值 u= 丫1+ 丫2+ 丫 = 里丫nn1 = 12=n2n u 2n e 丫综上，第 步、第二步，n得到(n 1 ) Y n + ( n 3 )(1 n ) 丫2 ( n 1 ) YJ式（14） 第三步，计算Sbi-1iii-1Bi如图四，计算每一部分面积SpSp=丄 AB2(AC + BD)12ni-1E Yi + E Yi12ni-1i刀 Yi + E Yi第四步,n刀Y计算SaSA=SA + B 一 I12ni-1

12、E Yi + E Yi12ni-1E Yi+E YiE Yi一、主要内容与适用范围nn i-1nn i-1inE Yi E E Yi + E Yi=( n 1) Yn+( n 2)(1 n) 丫2( n 1) Y1Yn-1 +Y2 ( n 1) 丫！一( n 2) Y2Yn-1=( n 1 )Y n+( n 一 3) Yn1+( n 一 5) Yn- 2nn 卜1inE Y E E y i + E y i丫1比较式(1 n(n 1) Yn+( n 3) Y n-1 +( n 5) Y n-2 ( 1 n) Y2(n 1)2n E Y式(15)14)和式(15)可得G= /2u= 2SA。i分解

13、nE Y E E Yi + E Yi得到矩阵BnnE Yn卜1iE E Yi + E YinnE Yin卜1i-E EYi+E YiY1+ 丫2+Yn+ Y1Y n+ Yn-1 +Y2Y1+ 丫2+YnY1 + Y1+ Y 2Y n+ Yn-1 +Y3-丫1Y1+ Y 2+ Y1 + Y2+ Y 3Y n+ Yn-1 +丫4-丫1- 丫2Y1+ 丫2+YnY1+ 丫2 + Y n-2+ Y1 + Y2+Y n-1Yn Y1 丫2一Yn-2Y1+ 丫2+YnY1+ 丫2 + Yn 1+ Y1 + 丫2+Yn丫 1 丫 2Yn 1加总最后一行，得到:附录二：证明：当分点个数 n 有限时，G=2Sa

14、= 2 (y1+2y2+ + nyn) ( Jn+ )nn定义：yi=活E YSp=丄-AB(AC+ BD)=1Yi +Yi = 1(环 i |22nYi2nYiYi-1inSb =1Yi +Yin2nYi-1inni-1i1Sa=Sa + B Sb =n41Yi +Yi =1nY (Yi +Yi)nn _22nY2nYinninni1 nY (2Yi YC)1nYi(2Yi Yi)=2nn -Yi2nnYin+12nn in=(2n 2： yi + 2刀 yi) 2nn i分解n yi得到矩阵C:nn iyin n iyiy1+ y2 +-yny1Yn+ Y n-1 +丫2y1 + y2 +

15、-yny1 + y2Yn+ Y n-1 +丫3y1 + y2+ y3Yn+ Y n-1 +丫4y1+ y2 +-yny1 + y2+ yn-1Yny1+ y2 +-yny1 + y2+ yn0加总最后一列，得到n in yi =( n-1 ) yn+ (n 2) yn 1 +y2Sa = 1- (2n 2yi + 2yi) n+1 2n2n=( y计 2y2+ + nyn)n2nG=2Sa= _2 (y1+2y2+ + nyn) ( 0+1 ) nn参考资料:1、Sun drum.R.M,1990,l ncom Distribution in Less Developed Cou nties,

16、 Lo ndon and New York:Routledge2、Cowell.F.A,2000,Measureme nt of In equality, in Han dbook of In come Distributio n, eds. By A.Atkirrs on and F.Bourguig non, Northholla nd3、 熊俊：基尼系数估算方法的比较研究；财经问题研究2003年1月第1期4、 王文森：基尼系数及推广应用；统计与预测；2003年1月第1期办公室卫生管理制度1本制度规定了办公室卫生管理的工作内容和要求及检查与考核。2.此管理制度适用于本公司所有办公室卫生的管

17、理二、定义1公共区域：包括办公室走道、会议室、卫生间，每天由行政文员进行清扫；2-个人区域：包括个人办公桌及办公区域由各部门工作人员每天自行清扫。1. 公共区域环境卫生应做到以下几点：1) 保持公共区域及个人区域地面干净清洁、无污物、污水、浮土，无死角。2) 保持门窗干净、无尘土、玻璃清洁、透明一3) 保持墙壁清洁，表面无灰尘、污迹。4)保持挂件、画框及其他装饰品表面干净整洁。5) 保持卫生间、洗手池内无污垢，经常保持清洁，毛巾放在固定(或隐蔽)的地方。6) 保持卫生工具用后及时清洁整理，保持清洁、摆放整齐。7)垃圾篓摆放紧靠卫生间并及时清理，无溢满现象。2. 办公用品的卫生管理应做到以下几点

18、：1) 办公桌面：办公桌面只能摆放必需物品，其它物品应放在个人抽屉，暂不需要的物品就摆回柜子里，不用的物品要及时清理掉。2) 办公文件、票据：办公文件、票据等应分类放进文件夹、文件盒中，并整齐的摆放至办公桌左上角上。3)办公小用品如笔、尺、橡皮檫、订书机、启丁器等，应放在办公桌一侧，要从哪取使用完后放到原位。4 )电脑：电脑键盘要保持干净，下班或是离开公司前电脑要关机。5)报刊：报刊应摆放到报刊架上，要定时清理过期报刊。6)饮食水机、灯具、打印机、传真机、文具柜等摆放要整齐，保持表面无污垢，无灰尘，蜘蛛网等，办公室内电器线走向要美观，规范，并用护钉固定不可乱搭接临时线。7)新进设备的包装和报废设备以及不用的杂物应按规定的