第27讲 三角形的不等关系W

1、第27讲 三角形中的不等关系几何不等式之所以特别吸引人，是由于人们很容易地掌握它们的陈述，同时它们又是创造性的数学思想和现代数学精神的一个极好的入门。 n.d.扎卡里诺夫知识方法扫描1三角形中边的不等关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；在直角三角形中 ，斜边大于直角边。2三角形中角的不等关系：三角形的一个外角大于它的任何一个不相邻的内角。3同一个三角形中的边角不等关系：大角对大边，小角对小边；大边对大角，大角对大边4两个三角形中的边角不等关系：有两条边相等的两个三角形中，若夹角不相等，则其夹角大的所对的第三边也大；反之，若第三边不等，则第三边大的所对的角也大。5运用几何变换（平移，旋

2、转，对称）的方法来改变几何元素的相对位置关系，是处理几何不等式问题的常用方法。6用代数方法来比较两个几何量的大小，体现了数形结合的思想，也是一种常用的方法。经典例题解析例1（第一届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）设凸四边形abcd的对角线相交于o，且acbd，已知oaoc,obod,求证： bc+adab+cd.证明 在oa上截取oc=oc，在ob上截取od=0d，连结ad,bc,cd.显然有aodaod, cobcob, codcod. 于是有ad=ad,bc=bc，cd=cd. 所以 bc+ad= bc+ ad=bp+pc+ap+pd ab+cd=ab+cd。例2（1997-1998学年度天津

3、市初中数学竞赛试题）如图，四边形abcd中，bccdda,o为ab中点，且aod=cob=60，求证：cd+adbc.证明 如图,在oc上截取oe=od连接de,be, 因eod=180-aod-cob =60， 故doe为等边三角形.又oa=ob，aod=cob，od=oe，于是adobeo, 故ad=be.又在dec中， cedoed, cdce.ad+cdbe+cebc.例3（1982年湖北省初中数学竞赛试题）在等腰三角形abc的一腰ab上取一点d，在另一腰a彻底延长线上取ce=bd，连bd，则debc。证明 作ddbc, eebc, 垂足为d,e.在rtbdd与rtcee中，b=acb

4、=ece,bd=ce,故 bdd cee。于是bd=ce。 所以de=dm+memd+me=md+mc+ce= md+mc+bd=bc.例4（1988年北京市初中数学竞赛试题）如图p为边长为 1的等边三角形 abc形内任意一点.设l=pa+pb+pc, 求证: 1.5lab=1,bp+cpbc=1,cp+apac=1,相加，得2（pa+pb+pc）3, 故l1.5。过p作mnbc，交ab于m，交ac于n。则amn是正三角形。mn=ab.而apnamp=60 , 故paan。 又bppm+mb，pcpn+nc，于是pa+pb+pc an+pm+mb+pn+nc =(an+nc)+(pm+pn)+

5、bm=ac+mn+bm=ac+am+bm=ac+ab=2. 即l2. 所以1.5lac+bd。证明 设bc=a,ca=b,ab=c,ch=h，由勾股定理有 a2+b2=c2, 由面积关系有ab=ch.,于是 (c+h)2=c2+2ch+h2= a2+b2+2ab+ h2=(a+b) 2+ h2(a+b) 2所以 c+h a+b，即ab+chac+bd。例6（1993年浙江省初中数学竞赛试题）如图，在rtabc中，d，e，f分别为ab，ac，bc的中点，h为斜边ab高的垂足，g是dh的中点。设o为ab上任意一点。求证：eof取最大角是egf。证明 连结ef，则efab，四边形edbf是平行四边形

6、。de=bf=bc=hf，而fdg=180-b=180-fhb=fhg, dg=dh，于是fdgfhg，从而eg=fg，egd=fgh。 延长fg到n，使gn=gf，连结on。显然有ofgong，在ego与ngo中, go=go，ge=gn，ogeogn, 于是oeon,于是oeong=ofg.,于是eofegf例7（2000年第15届江苏省初中数学竞赛试题）（1）如图1a，在四边形abcd中，abad，bad60，bcd120，证明：bcdcac； 图1a 图2a（2）如图2a，在四边形abcd中，abbc，abc60，p为四边形abcd内一点，且apd120，证明：papdpcbd。证明（

7、1）如图1b，延长bc至e，使cecd。因bcd120，所以dce60。又cdce，于是cde为等边三角形。故decdce，cde60。又abad，bad60，所以abd为等边三角形，故abadbd，bda60。从而adbcde，adcadbbdccdebdcbde。所以acdbed，因此，acbebccebccd，即acbccd。 图1b 如图2b （2）如图2b，在四边形abcd外侧作正三角形abd，利用apd120，则四边形abdp符合（1）中的条件。于是bpappd。易知bcpbpc，得bcappdpc。因abd是正三角形，故abad，bad60。又易知abc是正三角形，故acab，b

8、ac60，由此得abcadb。故bcdb。所以 papdpcbd例8 （2005年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，aa，bb，cc交于点o，且aa=bb=cc=1，aoc=boa=cob = 60 。 （1）求证:saoc+sboa+scob;（2）求证:saoc, sboa, scob中至少有一个不大于。证明 （1） 证法1 如图，延长oc至d，使得cd=co，延长ob至e,，使得be=bo。连结ed，易知ode是边长为1的等边三角形，在ed上截取ef，使ef=oa, 连结cf，则obaebf, caocfd, 而sode=, 所以saoc+sboa+scob= sfdc+sbef+s

9、cob0，所以a+b+c-ab-bc-ca1-abc1.即saoc+sboa+scob，sboa ，scob，记oa=a,ob=b,oc=c,则，所以abc(1-a)(1-b)(1-c), 而02ab（b）ac=2ab（c）ac2ab（d）acaeep(b)aeapep(c) apepae(d) epaeap3（1998年第九届希望杯数学邀请赛试题）如图，rtabc中，bac90，ab=ac， bd平分abc交ac于d，作cebd交bd的延长线于e，过a作ahbc交bd于m，交bc于h，则bm与ce的大小关系是（ ）（a）cfgb（b）cfgb（c）cfgb（d）无法确定的4（2000年江苏省

10、初中数学竞赛试题）如图，ad是abc的中线，e，f分别在ab，ac上，且dedf，则（ ）（a）be+cfef（b）be+cf=ef（c）be+cfac,ad，ae分别是bc边上的中线和a的平分线，则ad和ae的大小关系是ad ae。（填“”,“bc，则下列命题：以a2,b2,c2为长度的三条线段一定能构成一个三角形以为长度的三条线段一定能构成一个三角形以a+b,b+c,c+a为长度的三条线段一定能构成一个三角形以a-b,b-c,a-c为长度的三条线段一定能构成一个三角形其中正确的命题是_。(填写正确命题的序号)10（2000年 全国初中数学联赛试题）设正三角形abc的边长为2，m是ab边上的

11、中点，p是边bc上的任意一点，papm的最大值和最小值分别记为s和t，则s2-t2=_。三 解答题11（1991年杭州市第三届“求是杯”初二学生数学竞赛试题）如图,abc中,ae是a的外角平分线,d是这条平分线上的任一点,试确定ab+ac和bd+dc之间的大小关系,并加以证明。12（1994年“祖冲之杯”数学邀请赛试题）如图，abc中，adbc，d在bc上，已知abcacb,p是ad上的任意一点，证明：ac+bp ab+cp.13（杭州市第四届初中数学竞赛试题）如图，在锐角abc中,bcab,ah是bc边上的高，bm是ac边上的中线，且ah=bm，求证：（1）mbc=30；（2）abc(2)已

12、知:如图2,在abc中,ab上的高为cd.试判断(ac+bc)2与ab2+4cd2之间的大小关系,并证明你的结论.15（1984年上海市初中数学竞赛试题）平面上有a，b，c，d四个点，其中任意三点都不在一条直线上。求证：在abc, abd,acd, bcd中，至少有一个三角形的一个内角不超过45。 同步训练题参考答案1d如图，延长cb至d,使db=ab,连结ad，则 bad=d, abc=2d, c=d, ad=ac. ab+bdad.即 2abac.2. abe=bd=dc, 则beccda. ape=pac+acp=pcd+acp=60,eap60=apeaeep.3a如图：延长ce交ba

13、的延长线于f,则 rtfbertcbe, ce=ef=cf.又rtabdrtacf, bd=cf.在abm中，bam=45abm, ammd.bmmb,bmbd=cf=ce.4a延长fd到g，连结eg，bg。易证egdefd，bgdcfd，于是cf=bg，ef=eg。be+cf=be+bgeg=ef.5b设，又 。 即 。662由ababbc, 得cba，a=180-（b+c）180-2c=627因abac,故bec,故e点在d点和c点之间，aed=c+cae b+bad =ade, 于是adae。8c点关于bd的对称点为a,连结ae，ae与bd的交点就是pe+pc最小的p点。这是因为若p是b

14、d上的另外一点，则pe+pc=pa+pcae=pa+pe 此时 pa+pe=ae=9不正确，如a=5,b=4,c=3时，a2=b2+c2，以a2,b2,c2为长度的三条线段不能构成一个三角形。不正确，因(a-b)+(b-c)=a-c, 以a+b,b+c,c+a为长度的三条线段不能构成一个三角形。的证明如下 ：因b+ca,故b+ca，即，+.的成立是显然的10先求s。因paac,pmcm,故pa+pmca+cm=2+.当点p为顶点c时等号成立，则s=2+.再求t，如图 作正abc，设m为ab的中点，则pbmpbm.故pm=pm，pa+pm=pa+pmam.连结cm,则acm=90.所以am=,即

15、t= .于是s2-t2=(2+)2-()2=411在ba上截取af=ac,连结df，易证adfadc, 于是df = dc。ab+ac=ab+afacb,故acab，cd2=ac2-ad2ab2-ad2=bd2,于是dcdb.在dc上截取db=db，连结ab交pc于q，连结pb。显然adbadb， pdbpdb，于是ab=ab，pb=pb。所以 ac+bp= ac+bpaq+ qc +qb+pq= ab+cp=ab+cp.13.(1) 过m作mnah交bc于n，于是mn=ah，又因ah=bm, 故mn=bm.在rtbmn中,mn=bh, 所以mbn=30，即mbc=60.(2) 因m是ac的中点，所以sbcm=sbam. 即 bcbmsinmbc = bmbasinmba，因而bcsinmbc= ba