刚体定轴转动转动定律

1、刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 3.2.1 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 3.2 刚体定轴转动动力学刚体定轴转动动力学 3.2.2 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 3.2.4 例题分析例题分析 3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 3.2.1 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 1. 力矩力矩 对于定点转动而言：对于定点转动而言： M FdM r m F d o FrM sinFr 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 对于定轴转动而言：对于定轴转动而言： z o r

2、 F P / F F FrM Fr 注意注意: : ( (1) )力矩是对点或对轴而言的力矩是对点或对轴而言的; ( (2) )一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动 时时 ；使刚体顺时针绕定轴转动时；使刚体顺时针绕定轴转动时 . . 0 M0 M 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 2. 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 对质元对质元 ，由，由 牛顿第二运动定律得牛顿第二运动定律得 i m iia mFF 内内力力外外力力 z o i r 内力内力 F i i m i 外力外力 F , 其中其中 是质元是质元 绕绕 轴作圆运动的加速度，轴作圆运动的

3、加速度， 写为分量式如下：写为分量式如下： i a i m iiii iniii amFF amFF sinsin coscos 内内力力外外力力 内内力力外外力力 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 其中其中 和和 是质元是质元 绕轴作圆运动绕轴作圆运动 的法向加速度和切向加速度，所以的法向加速度和切向加速度，所以 in a i a i m iiii iiii rmFF rmFF sinsin coscos 2 内力内力外力外力 内力内力外力外力 切向：切向： 法向：法向： 2 sinsin iiiiii rmrFrF 内内力力外外力力 法向力的作用线过转轴法向力的作用线过转轴, ,其

4、力矩为零其力矩为零. . i ii i ii i ii rmrFrF 2 sinsin 内力内力外力外力内力矩为零内力矩为零外力矩为外力矩为M J转动惯量转动惯量 JM 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 转动惯量是刚体作转动时对惯性的量度转动惯量是刚体作转动时对惯性的量度 描述描述. . 3. 转动惯量转动惯量 i iir mJ 2 m dmrJ 2 适用于离散分布刚体转动惯量的计算适用于离散分布刚体转动惯量的计算 适用于连续分布刚体转动惯量的计算适用于连续分布刚体转动惯量的计算 在国际单位制在国际单位制（SI）中，转动惯量的单中，转动惯量

5、的单 位为千克二次方米，即位为千克二次方米，即 . . 2 mkg 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 刚体转动惯量的大小与下列因素有关：刚体转动惯量的大小与下列因素有关： （1）形状大小分别相同的刚体质量大的形状大小分别相同的刚体质量大的 转动惯量大；转动惯量大； （2）总质量相同的刚体，质量分布离轴总质量相同的刚体，质量分布离轴 越远转动惯量越大；越远转动惯量越大； （3）对同一刚体而言，转轴不同，质量对同一刚体而言，转轴不同，质量 对轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同对轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同. . 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 3.2.2 刚体定轴转动的

6、动能定理刚体定轴转动的动能定理 1. 刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能( 转动动能转动动能 ) o o i r i m i v 对于第对于第i 个质元个质元, ,动能为动能为 2 2 1 iiki vmE 22 2 1 iir m N i kik EE 1 2 1 2 2 1 N i iir m 对于整个刚体对于整个刚体, ,动能为动能为 2 2 1 J 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 2. 刚体定轴转动时力矩所做的功及功率刚体定轴转动时力矩所做的功及功率 o y x r d P rd F rdFdW dsF)cos( dFr)sin( MddW 0 MdW M dt d M d

7、t dW N 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 3. 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 0kkk EEEWW 内力内力外力外力 , 0 MdW外 外力力 , 0 内内力力 W , 2 1 2 00 JEk . 2 1 2 JEk 2 0 2 2 2 1 2 1 2 1 0 JJMd JdMd 积分形式：积分形式： 微分形式：微分形式： 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 1. 角动量角动量( 动量矩动量矩 ) 对于定点转动而言：对于定点转动而言： L PrL r m vmP sinr o vmr 在

8、国际单位制在国际单位制（SI） 中，角动量的单位为中，角动量的单位为 12 smkg 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 i r i m i v z L iiii vmrL krm ii 2 对于绕固定轴对于绕固定轴oz 转转 动的整个刚体而言动的整个刚体而言: : 对于绕固定轴对于绕固定轴oz的的 转动的质元转动的质元 而言而言: : i m JrmL N i ii 2 角动量的方向沿轴的正向或负向角动量的方向沿轴的正向或负向, ,所以所以 可用代数量来描述可用代数量来描述. . 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 2. 角动量定理（动量矩定理）角动量定理（动量矩定理） dt d

9、 JM dt Jd dt dL dLJdMdt 微微分分形形式式： 0 0 JJMdt t t 积积分分形形式式： 0 0 LLMdt t t 或或 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 3. 角动量守恒定律角动量守恒定律 0 M若若： .0常常量量或或，则则： JLJddL 即系统所受的合外力矩为零即系统所受的合外力矩为零. 角动量守恒的条件角动量守恒的条件 角动量守恒的内容角动量守恒的内容 注意：在推导角动量守恒定律的过程中注意：在推导角动量守恒定律的过程中 受到了刚体、定轴等条件的限制，但它的适受到了刚体、定轴等条件的限制，但它的适 用范围却远远超过了这些限制用范围却远远超过了这些限

10、制. . 如如: : 滑冰运动员的表演滑冰运动员的表演. . 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 3.2.4 例题分析例题分析 1.一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量 分别为分别为m 和和M 的物体，且的物体，且 . . 滑轮可滑轮可 看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为 ， 半径为半径为R ，转轴垂直于盘面通过盘心，如，转轴垂直于盘面通过盘心，如 图所示图所示. .由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到 了摩擦阻力矩了摩擦阻力矩 的作用的作用. . 设绳不可伸长设绳不可伸长 且与滑轮间无相对滑动且与滑轮

11、间无相对滑动. .求物体的加速度及求物体的加速度及 绳中的张力绳中的张力. . mM 阻阻 M m 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 m G 1 T M G 2 T 1 a 2 a 阻阻 M R m m M o 解解 受力分析如图所示受力分析如图所示. . 对于上下作平动的两物体，对于上下作平动的两物体， 可以视为质点，由牛顿第可以视为质点，由牛顿第 二运动定律得二运动定律得 22 11 MaTMgM mamgTm ：对对 ：对对 若以顺时针方向转的若以顺时针方向转的 力矩为正，逆时针转的方力矩为正，逆时针转的方 向为负，则由刚体定轴转向为负，则由刚体定轴转 动的转动定律得动的转动定律

12、得 2 12 2 1 RmJMRTRT 阻阻 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 Raaaa 21 据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动， 所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的 加速度相等，即加速度相等，即 联立以上三个方程，得联立以上三个方程，得 2 )( m mM R M gmM a 阻阻 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 2 ) 2 2( )( 1 m mM R mM mg m M agmT 阻阻 2 ) 2 2( )( 2 m mM R MM Mg m m agMT 阻阻 注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻

13、力矩注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩 时，此时有时，此时有 ，物理学中称这样的滑轮，物理学中称这样的滑轮 为为“理想滑轮理想滑轮”，称这样的装置为阿特伍德，称这样的装置为阿特伍德 机机. . 21 TT 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 2.求长为求长为L ，质量为，质量为m 的均匀细棒的均匀细棒AB 的的 转动惯量转动惯量. . （2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴对于通过棒的中点与棒垂直的轴. . （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴；对于通过棒的一端与棒垂直的轴； 解解 （1）如图所示，以过如图所示，以过A 端垂直于棒的端垂直于棒的 为轴，沿棒长方向为为轴，沿棒长方向为x 轴，原点

14、在轴上，在轴，原点在轴上，在 棒上取长度元棒上取长度元 ，则由转动惯量的定义有，则由转动惯量的定义有: :dx o o x o o dxx dm L A B m dmxJ 2 端端点点 L dx L m x 0 2 2 3 1 mL 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 （2）如图所示，以过如图所示，以过中点中点垂直于棒的垂直于棒的 为轴，沿棒长方向为为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在轴，原点在轴上，在 棒上取长度元棒上取长度元 ，则由转动惯量的定义有，则由转动惯量的定义有: :dx o o m dmxJ 2 端端点点 2 2 2 L L dx L m x 2 12 1 mL x o

15、 o dxx dm 2 L A B 2 L 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 R o 3.试求质量为试求质量为m 、半径为、半径为R 的匀质圆环的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. . dm 解解 作示意图如右作示意图如右, ,由于质由于质 量连续分布，所以由转动量连续分布，所以由转动 惯量的定义得惯量的定义得 m dmRJ 2 R dl R m R 2 0 2 2 2 mR 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 l o 4.试求质量为试求质量为m 、半径为、半径为R 的匀质圆盘的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量对垂直于平面且过中

16、心轴的转动惯量. . r R dr 解解 如图所示如图所示, , 由于质由于质 量连续分布，设圆盘的量连续分布，设圆盘的 厚度为厚度为l，则圆盘的质量，则圆盘的质量 密度为密度为 lR m 2 m dmrJ 2 R ldrrr 0 2 2 lR4 2 1 2 2 1 mR 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 5. 如图所示，一质如图所示，一质 量为量为M 、半径为、半径为R 的匀的匀 质圆盘形滑轮，可绕一质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动无摩擦的水平轴转动. . 圆盘上绕有质量可不计圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一滑轮上，另一端悬

17、挂一 质量为质量为m 的物体，问物的物体，问物 体由静止落下体由静止落下h 高度时高度时, , 物体的速率为多少？物体的速率为多少？ R M h 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 物体下降的加速度的物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以上切向加速度，所以 G T a o R M h 解法一解法一 用牛顿第二运动用牛顿第二运动 定律及转动定律求解定律及转动定律求解. .分分 析受力如图所示析受力如图所示. . 对物体对物体m用牛顿第二用牛顿第二 运动定律得运动定律得 maTmg 对匀质圆盘形滑轮用对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有转动定律有 JT

18、R 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 物体物体m 落下落下h 高度时的速率为高度时的速率为 Ra ahv2 2 2 1 MRJ 圆盘的转动惯量为圆盘的转动惯量为 联立以上五式，可得物体联立以上五式，可得物体m 落下落下h 高度高度 时的速率为时的速率为 mM mgh v 2 2 .2gh小于物体自由下落的速率小于物体自由下落的速率 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 解法二解法二 利用动能定理求解利用动能定理求解. . 对于物体对于物体m 利用质点的动能定理有利用质点的动能定理有 2 0 2 2 1 2 1 mvmvThmgh 其中其中 和和 是物体的初速度和末速度是物体的初速度

19、和末速度. . 0 vv 对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有 2 0 2 2 1 2 1 JJTR 其中其中 是在拉力矩是在拉力矩TR 的作用下滑轮转的作用下滑轮转 过的角度，过的角度， 和和 是滑轮的初末角速度是滑轮的初末角速度. . 0 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 由于滑轮和绳子间无相对滑动，所以物由于滑轮和绳子间无相对滑动，所以物 体落下的距离应等于滑轮边缘上任意一点所体落下的距离应等于滑轮边缘上任意一点所 经过的弧长，即经过的弧长，即 . . Rh , 0 0 v又又因因为为, 0 0 ,Rv . 2 1 2 MRJ 联立以上各式，可得物

20、体联立以上各式，可得物体 m 落下落下h 高度高度 时的速率为时的速率为 mM mgh v 2 2 解法三解法三 利用机械能守恒定律求解利用机械能守恒定律求解. . 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 若把滑轮、物体和地球看成一个系统，若把滑轮、物体和地球看成一个系统， 则在物体落下、滑轮转动的过程中，绳子的则在物体落下、滑轮转动的过程中，绳子的 拉力拉力T 对物体做负功对物体做负功（ ），对滑轮做正，对滑轮做正 功功（ ）即内力做功的代数和为零，所以即内力做功的代数和为零，所以 系统的机械能守恒系统的机械能守恒. . Th Th 若把系统开始运动而还没有运动时的状若把系统开始运动而还没

21、有运动时的状 态作为初始状态，系统在物体落下高度态作为初始状态，系统在物体落下高度h 时时 的状态作为末状态，则的状态作为末状态，则 0 2 1 2 1 2 1 2 2 2 mghmv R v MR 解之可得物体解之可得物体 m 落下落下h 高度时的速率高度时的速率. . 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 6. 哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个 椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是 , , 速率速率 ；它离太阳最远时的速率；它离太阳最远时的速率 ，这时它离太阳的距离，这时它离太阳的距离 m1075. 8 10 近近

22、日日 r 1-4 sm1046. 5 近近日日 v 1-2 sm1008. 9 远远日日 v ？ 远远日日 r 远日远日 v 近日近日 v 近日近日 r 远日远日 r 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 解解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒行的过程中角动量守恒. . 于是有于是有 远远日日远远日日近近日日近近日日 vrvr 远远日日远远日日近近日日近近日日 ，因因为为vrvr 远日远日 近日近日近日近日 远日远日 所以所以 v vr r m1026.

23、5 12 远远日日 r 代入数据可代入数据可, 得得 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 7.如图所示，一个长为如图所示，一个长为l 、质量为、质量为M 的的 匀质杆可绕支点匀质杆可绕支点o自由转动自由转动. .一质量为一质量为m 、速、速 率为率为v 的子弹以与水平方向成角的子弹以与水平方向成角 的方向射的方向射 入杆内距支点为入杆内距支点为a 处，使杆的偏转角为处，使杆的偏转角为 . . 问子弹的初速率为多少？问子弹的初速率为多少？ 0 60 0 30 解解 把子弹和匀质杆作为把子弹和匀质杆作为 一个系统一个系统, , 分析可知在碰分析可知在碰 撞过程中角动量守恒撞过程中角动量守恒. . 设子弹射入杆后与杆设子弹射入杆后与杆 一同前进的角速度为一同前进的角速度为 , ,则则 0 30 0 60 l a v 220 3 1 60cosmaMlavm 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中 只有重力做功，所以由子