静电场中的导体与电介质一章习题解答讲解

1、静电场中的导体与电介质一章习题解答习题 81 A、B 为两个导体大平板，面积均为 S，平行放置，如图所示。 A 板 带电+Q1，B板带电 Q2，如果使 B板接地，则 AB间电场强度的大小 E为： (A)Q12 0S(B)Q1 Q22 0S(C)Q10SQ1 Q2(D) Q21 0SQ2+Q1A+Q2B习题 81 图解：B 板接地后， A、B 两板外侧均无电荷，两板内侧带等值异号电荷，数 值分别为 +Q1和-Q1，这时 AB 间的场应是两板内侧面产生场的叠加，即E板间所以，应该选择答案 (C)。Q1Q1Q12 0S 2 0S 0S习题 82 C1和 C2两个电容器，其上分别标明 200pF(电容

2、量 )，500V(耐压值) 和 300pF，900V。把它们串联起来在两端加上 1000V 的电压，则 (A) C1被击穿， C2不被击穿(B) C2被击穿， C1不被击穿(C) 两者都被击穿 (D) 两者都不被击穿 答：两个电容器串联起来， 它们各自承受的电压与它们的电容量成反比， 设 C1 承受的电压为 V1，C2承受的电压为 V2，则有V1 V2 C2 C1 3 2 V1 V2 1000 联立、可得V1 600V ，V2 400V可见， C1承受的电压 600V已经超过其耐压值 500V ，因此， C1先被击穿，继而 1000V 电压全部加在 C2 上，也超过了其耐压值 900V，紧接着

3、 C2也被击穿。 所以，应该选择答案 (C)。习题 83 三个电容器联接如图。已知电容 C1=C2=C3，而 C1、C2、C3 的耐压值 分别为 100V、 200V、300V。则此电容器组的耐压值为(A) 500V (B) 400V (C) 300V(D) 150V(E) 600V解：设此电容器组的两端所加的电压为 u，并且用 C1C2 表示 C1、C2两电 容器的并联组合，这时该电容器组就成为 C1C2 与 C3的串联。由于 C1= C2=C3， 所以 C1C22C3，故而 C1C2 承受的电压为 u/3，C3承受的电压为 2u/3。C1C3习题 83 图300V。因此，应该选择答由于 C

4、1C2 的耐压值不大于 100V ，这要求u3 100(V)即要求u 3 0(V0)同理， C3的耐压值为 300V，这要求3u 3 3 0 04 5(0V2 对于此电容器组的耐压值，只能取两者之较低的，即 案(C)。习题 8 4 图是否运动不能确定。 由于这两个“电 q=CU 公式可知，右习题 8 4 一个大平行板电容器水平放置，两极 板间的一半充有各向同性均匀电介质， 另一半为空 气，如图，当两极板带上恒定的等量异号电荷时， 有一质量为 m、带电量为 +q 的质点，平衡在极板 间的空气区域中， 此后，若把电介质抽去， 则该质 点： (D)并联，(A) 保持不动。 (B) 向上运动。 (C)

5、 向下运动。 解：在抽出介质前，相当于左右两半两个“电容器” 容器”电压相等，而右半边的电容又小于左半边的，因此由 半边极板的带电量小于左半边的。 当抽去介质后， 极板电荷重新分布而变为左右 均匀，使得右半边极板电荷较抽出介质前为多， 因此这时带电质点受到向上的静 电力将大于其重力，它将向上运动。所以应当选择答案 (B)。习题 8 5 一个平行板电容器充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极 板间距拉大， 则两极板间的电势差 U12、电场强度的大小 E 和电场能量 W 将发生 如下变化： (A) U12减小， E减小， W减小。(B) U12增大， E增大， W增大。(C) U12增大， E

6、不变， W增大。(D) U12减小， E不变， W不变。解：电容器充电后与电源断开，其极板上的电荷将保持不变。由公式QU12 C 当将电容器两极板间距拉大，其电容 C 将减小，这将使其极板间的电势差 U12 增大；因为极板电荷保持不变，使得板间场强EQ0 0S亦不变；由电容器储能公式1W QU 122因电势差 U12增大而极板电荷保持不变， 故电场能量 W 将增大。综上所述， 应当选择答案 (C)习题 8 6 一个平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝缘手柄将电容器两 极板间距拉大，则极板上的电量 Q、电场强度的大小 E 和电场能量 W 发生如下 变化： (A) Q增大， E增大， W增大。(

7、B) Q减小，E减小， W减小。(C) Q增大，E减小，W增大。(D) Q增大， E增大， W减小。解：电容器充电后仍与电源连接，其两极板间的电压 U12 不变。若此时将电 容器两极板间距拉大，其电容量 C 将变小，由公式Q CU12可知，极板上的电量 Q 将减小；与此同时，由公式U12d可知，极板间电场也将减小；又由公式12 W CU 122 可知，电场能量 W 将减小。综上所述，应当选择答案 (B)习题 8 7 一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种 各向同性、均匀电介质，则电场强度大小 E、电容 C、电压 U 、电场能量 W 四个 量各自与充入介质前相比较，增大 ()

8、或减小 ()的情形为：(A) E、 C、 U、 W(B) E、 C、 U、 W(B) E、 C、 U、 W(D) E、 C、 U、 W 解：设未充满电介质时电容器的电容为 C0，电压为 U0，场强为 E0，电场能 量为 W0。充满电介质后则有U 1 U0 U0所以 U ；电场强度的大小变为EUdU0rd1 E0 E0所以 E；电容变为C UQQ0rC0 C0所以 C；电场能量为1 Q022 C 2 r C01 W0 W0所以 W。综上所述，应当选择答案 (B)习题 88 C1和 C2两空气电容器并联起来接上电源充电，然后将电源断开，再 把一电介质板插入 C1 中，则：(A) C1和 C2 极板

9、上电量都不变。(B) C1 极板上电量增大， C2极板上电量不变。(C) C1 极板上电量增大， C2极板上电量减少。(D) C1 极板上电量减少， C2极板上电量增大。 解：充电后将电源断开，两电容器的总电量不变，即q1 q2 常量 () 由于两电容器并联，它们的电势差 U 相等，因此它们所带的电量 (q=CU)与它们 的电容量成正比，但因 C1中插入了介质板，所以 C1 的电容量增加，即 q1，由 ()式可知，这时 q2 应当减少，所以应当选择答案 (C)。习题 89 两个薄金属同心球壳，半径各为 R1 和 R2(R1R2)，分别带有电荷 q1 和 q2，二者电势分别为 U1 和 U2，设

10、无穷远点为电势零点，现用导线将两球壳连 起来，则它们的电势为： (A) U1(B) U2(C) U1+U2(D) (U1+U2)/2解：用导线将两球壳连起来， 电荷都将分布在外球壳， 现在该体系等价于一 个半径为 R2 的均匀带电球面，因此其电势为q1 q24 0R2原来两球壳未连起来之前，内球电势为1q1q24 0R1 4 0R2外球电势为U2q1q2q1 q24 0R2 4 0R2 4 0R2或者：U E dlE外 dr R2 4 q10r2 4 q20r2 dr 4q1 0qR22 因此， 所以，应选择答案 (B)习题 810 一平行板电容器充满相对介电常数为 r 的各向同性均匀电介质，

11、 已知介质表面极化电荷面密度为 。则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大 小为： (A) (B) (C) (D)0 0 r 2 0 r的无限大平行平解：介质表面的极化电荷可以看成两个电荷面密度为 面，由叠加原理，它们在电容器中产生的电场强度大小为2020所以，应当选择答案 (A)习题 811 两块面积均为 S的金属板 A和 B彼此平行放置， 板间距离为 d(d远 小于板的线度 )，设 A板带电为 q1，B 板带电为 q2，则 A、B 两板间的电势差为： (A)q1 q2 d2 0S d(B) q41 0qS2 dq1 q2 d2 0S d(D)q1 q2 d4 0S d解：如图所示，设 A、B

12、 两块平行金属板的四个 表面的电荷面密度分别为 1， 2 ， 3和 4，则根 据电荷守恒有1S 2S q13S 4S q2根据静电平衡条件有q1q21 2 3 4A B 题解 8 11 图联立解得23402020200q1q22Sq1 q22S根据叠加原理， 两个外侧表面的电荷在两极板间产生的场强相互抵消；电荷在两板间产生的场强方向相同，它们最终在板间产生的场强为两内侧的3 2 q1 q2因而 A、B 两板间的电势差为U AB Ed q1 q2 d 2 0S 可以看出，应该选择答案 (C)。习题 812 一空气平行板电容器，两极板间距为 d，充电后板间电压为 U。现 将电源断开，在两板间平行地

13、插入一厚度为 d/3 的金属板，则板间电压变成 U =解法 ：电源断开前后极板带电量不变， 因而极间场强不变； 由于在两板间 平行地插入一厚度为 d/3 的金属板，相当于极板间距变为原来的 2/3，因此，板 间电压相应地也变为原来的 2/3，即2U 2 U3解法 ：设未将电源断开 (也未插入金属板 ) 时电容器的电容为 C，这时电C d CC 3C2U因此，现板间电压为容器极板的电压为U Cq将电源断开后极板的电量将保持不变， 但因在两板间平行地插入一厚度为 d/3 的 金属板，这相当于极板间距变为 2d/3，因而电容器的电容变为习题 813 A、B 为两个电容值都等于 C 的电容器， A带电

14、量为 Q，B 带电量为 2Q，现将 A、B并联后，系统电场能量的增量 W 。Q24C解：A、B 并联后，系统的等效电容为 2C，带电量为 3Q，因此，系统电场 能量的增量为W W W 1 (3Q)Q (2Q)2 2C2C 2C习题 8 14 一空气平行板电容器，其电容值为 C0。充电后电场能量为 W0。在 保持与电源连接的情况下在两极板间充满相对介电常数为 r 的各向同性均匀电 介 质 ，则 此时 电 容器 的电 容 值 C= ，电 场 能量 W= 。解：充满介质后，电容器的电容值增大了 r 倍，因此有 C r C0 ；由电容器 储能公式12W CU 22充满介质后，两极板间电压 U 不变，只

15、是电容值增大了 r 倍，因而其能量相应 地增大为原来的 r 倍，即 W rW0。习题 815 半径为 0.1m 的孤立带电导体球，其电势为 300V，则离导体球中心 30cm 处的电势为 U= 。解：孤立导体球的电量为Q CU 4 0RU R其电荷分布是一个均匀带电球面，因而其电势分布为Q4 0rRU把 r=0.30m、R=0.1m及 UR=300V代入上式可得 U=100V。习题 816 半径为 R1和 R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为 r 的均匀介质。设两筒上单位长度带电量分别为 和 ，则介质中电位移矢量 的大小为 D= ；电场强度的大小为 E= 。解：取半径为 r(R1r

16、R2)、高度为 h 的、与圆筒同轴的两端封闭的柱面为高 斯面，根据有介质时的高斯定理有侧D dS 2 rhD h因此根据电位移与场强的关系可得D2rED0r习题 817 两个半径相同的金属球，相距很远。证明：该导体组的电容等于各 孤立导体球的电容值的一半。证明：设两球分别带电 +Q和Q，因为它们相距很远， 各自都可以看作 “孤 立”的。该两球的电势差为U12 U1 U 2Q ( Q) Q4 0R 4 0R 2 0R所以，该导体组的电容为C Q 2 0RU 12 0而对于各孤立导体球的电容则为 C0 4 0 R ，因此我们有1C C020证毕。习题 818 证明：半径为 R 的孤立球形导体，带电

17、量为 2Q，其电场能量恰与 半径为 R/4、带电量为 Q 的孤立球形导体的电场能量相等。证明：半径为 R 的孤立球形导体的电容为C14 0R其带电为 2Q 时的电场能量为1 (2Q)22C14Q22 4 0R 2 0 RQ2W2 1 Q2 2 C2 2 4 0 (R 4) 2 0R习题 8 19 图OO 是对称的， 因此求板间电场可以考同理，半径为 R/4、带电量为 Q 的孤立球形导体的电场能量为W12Q2Q2习题 8 19 两块“无限大”平行导体 板，相距为 2d，都与地连接。 在板间均 匀充满着正离子气体 （与导体板绝缘 ）， 离子数密度为 n，每个离子的带电量为 q，如果忽略气体中的极化

18、现象，可以 认为电场分布相对于中心平面 OO 是 对称的。试求两板间的电场分布和电势 分布。分析：由于电场分布相对于中心平面 虑用高斯定理。解：设中心平面 OO 处为 X轴的原点，可以看出，板间电场都与 X 轴平行： 在-dx0区间，场强方向与 X 轴反向；在 0xd区间，场强方向与 X轴同向。 因而可取一柱形高斯面 S，其轴线即为 X 轴，其两个端面分别在 +x 和-x 处。由 高斯定理得1E dSqiSi0i即E dS E dSE dS1qi侧面 左端面 右端面0i10 E S E S(nq 2x S)0解得nqEx0(-dxd)写成矢量式nqE xi 0两板间任一点的电势为U E dl

19、E dx nqxdx nq (d x ) (-dxd) x x 0 2 0均匀带电直线，相距为 d，和 ，试求该导体单位长度的电容。导线半径都是习题 8 20 两根平行“无限长”R(Rd)。导线上电荷线密度分别为解：建立如图所示的坐标系，则两线间任一点的场为E(x) 2 0 x 2 0(d x)两线间的电势差d R 1 1U12 E dx 2 0 R (1x d1 x)dx20ln0dRR单位长度的电容为RdR题解 8 20 图C0U 12 ln d RR注意： 系表示； R 到 dR。两线间的电场强度 E 是两个带电直线共同产生，应当用统一坐标 每一条导线作为导体， 各自都是等势体， 因此求

20、电势差的积分限取 习题 821 电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为 a，外筒半径为 b，筒长都是 L，中间充满相对介电常数为r 的各向同性均匀电介质，若内外筒分别带有等量异号电荷 +Q 和Q。设 b-ab，可以忽略边缘效应，求(1) 圆柱形电容器的电容； (2) 电容器储存的能量。解： (1) 由于 b-ab，所以两个同轴圆筒可看成“无限长” ，它们沿 长度方向电荷线密度为 QL，两筒间的场为QLE2 0 rr 2 0 r r两筒间的电势差为Qb1Q bU abE dr a dr ln2 0 rL a r 2 0 rL a 圆柱形电容器的电容为Uabq Q 2 0 rL Cln baU ab

21、(2) 电容器储存的能量为We 12Q2Q2lnbawe2432 2 r 4dWewedVQ228 r 2dr解法：由高斯定理容易求得带电金属球内外的场分布0, rR习题 822 半径为 R 的金属球，球上带电荷 Q，球外充满介电常数为 的各 向同性的均匀电介质，求电场中储存的电场能。显然，电场能量密度为1 E22Q2在距金属球球心为 r 处取厚度为 dr 的薄球壳体积元， 其体积为 dV 4 r 2dr ，在 其内储存的电场能为因此，金属球电场中储存的电场能为We V dWeQ28R解法：孤立导体球 (球外充满介电常数为 的各向同性的均匀电介质 ) 的电 容为电容器储能公式，可以求得金属球电

22、场中储存的电场能为228R1 Q 2 Q 2 Wee 2 C注：比较两种方法，容易看出第二种方法更简单。 习题 8 23 半径分别为 1.0cm 与 2.0cm 的两个球形导体，各自带电量1.0 10 8C ，两球心间相距很远。若用细导线将两球相接，求： (1) 每个球所带 的电量； (2) 每个球的电势。解： (1) 两个球用导线连接后，电荷重新分布，设这时两球分别带电为q1和 q2，由电荷守恒有q1 q2 q 式中 q为连接前两球的总带电量， q 2.0 10 8 C 。用导线连接后两球等势 UR1 U R2q14 0R1q24 0R2联立、解得q1R1qR1 R2 1 2 2.0 10

23、6.67 10 Cq2R1R2qR2 122 2.0 10 8 13.3 10 9C(2) 由于两球相距很远，它们的相互影响可以忽略，可以看成孤立、均匀带 电的导体球，因此它们的电势为U R1 4 0R1 9.0 10 6.67 10 1.0 10 6.0 10 VUR2 UR1 6.0 103 V注意：该题中的两球体是导体球， 它们带的电只能分布在外表面； 而且两者相 距很远，都可以看作是表面均匀带电， 因此，应该按均匀带电球面来计算它们的 电势。 习题 824 两个电容器的电容之比为 C1C2=12。(1) 把它们串联后接到电压一定的电源上充电，它们的电能之比是多少(2) 如果是并联充电，

24、电能之比是多少 ?(3) 在上述两种情况下电容器系统的总电能之比是多少 ?解： (1) 两个电容器串联它们的带电量相等，根据公式W12可知它们的电能与电容量成反比，因此有W1 W2 C2 C1 2 1(2) 两个电容器并联它们的电压相等，根据公式 12 W CU 2 2 可知它们的电能与电容量成正比，因此有W1 W2 C1 C2 1 2(3) 在以上两种情况下电容器系统的电容分别为C1C2 ；2C串 C1 CC并C1C2由于电源电压比，所以有定，因此两种情况下电容器系统的总电能应与它们的电容成正W串 W并C串 C并C1C2(C1 C2 )2 C12C1C222C1C2 C22C1 C2 2 C

25、2 C1 1 2 2 21 2 9习题 825 一圆柱形电容器，外柱的直径为 4cm，内柱的直径可以适当选择， 若其间充满各向同性的介质，该介质的击穿电场强度大小为 E0=200kV/cm ，试求 该电容器可能承受的最高电压。解：设该电容器的内、 外柱半径分别为 a 和 b，内、外柱带电分别为 和 ， 则内、外柱间的场分布为该场强的最大值也是击穿场强E2rE0，可令上式中的r =a ，即( ar b)E0 E两极间的电势差Uab a Edr 2a2b draln b aE0 ln b a()根据最值条件，可令E0(l bn 1) 0 adUab E0 ln b aE0 a da a bln b

26、 1 ，a代入( )式即可得到该电容器可能承受的最高电压maxbeE0e32 200 102.71821.47 105 V习题 8 26 图示为一球形电容器，在外球 壳的半径 b及内外导体间的电势差 U 维持恒 定的条件下，内球半径 a 为多大时才能使内 球表附近的电场强度最小 ? 并求这个最小电 场强度的大小。解：内外导体间的电势差满足下面关系U q (1 1)4 0 a b内球表面附近的电场强度可表示为把代入得q24 0aE把对 a 求导数并令其等于零dE da112ab a2( )aabdbUbU(2a b) 0daab a2(ab a2) 2U bUb a2解得所以，当 a=b/2 时

27、，内球表附近的电场强度最小；这个最小电场强度的大小为EminbU bU 4U ab a2 b2 2 b2 4 b习题 827 图示为两个同轴带电长直金属圆筒， 内、外 筒半径分别为 R1和 R2，两筒间为空气，内、外筒电势分 别为 U1=2U0，U2=U0， U0 为一已知常量。求两金属筒之 间的电势分布。解：两金属筒之间的电势差为习题 827 图所以U12 2U 0 U 0 U 0RR2E drRR2 drR12 0 R1 rln R22 0 R12 0 U0ln R2R1设距轴线为 r(R1rR2)处的电势为 U(r)，则该处与外筒之间的电势差为因此，R2 R2drU(r) U02 E d

28、r 2r r 2 0 r 2 0lnR2rU0lnR2ln(R2 R1)rU(r) U0U0 lnln(R2 R1)R2r这就是两金属筒之间的电势分布。该步也可以有如下等价作法：因内筒与r 处的电势差为所以，2U0 U(r) R Edr20U0ln R1 ln(R2 R1)lnRr10rU(r) 2U0ln(R20 R1) ln Rr1 U0习题 828 一电容为 C 的空气平行板电容器，接上端电压 电。在电源保持连接的情况下， 试求把两个极板间距增大至 分析：由于电源保持连接， 所以在把两个极板间距拉大的过程中， 源共同对系统作功，拉大的过程所满足的功能关系应为U 为定值的电源充 n 倍时外

29、力所作的功。 外力与电A外A电源We我们只要算出系数能量的增量 We和电源作的功 A电源 就能求得外力的功 A外。解：因为保持与电源连接，因而两极间的电势差 U 不变。由于在极板间距 拉大的过程中，电容器的电容从C0Sd变到C0S Cnd n所以电容器能量的增量为12 12 12 1We W W C U 2 CU 2 CU 2 ( 1) 02 2 2 n在极板间距拉大的过程中，电容器上带电从 Q变到Q ，电源所作的功为21A电源 (Q Q)U (C U CU )U CU 1.77 10 9 ( 1) 0 n 由功能关系A外 A电源We可得外力所作的功为WeA电源1CU 2(1 1) CU 2(

30、1 1) 1CU 2(1 1) 02 n n 2n 可见，在极板间距拉大的过程中外力作正功。 注意：对电容器来说，保持与电源连接，其两极电压U 不变，可用公式12We 1CU 2 来进行计算或讨论其能量；若充电后断开电源，则极板带电量Q 不1Q变，这时可用公式 We 1 Q 来进行计算或讨论其能量。计算作功要搞清系 e 2 C统和外界，对本题“外界”有两家：外力和电源；对如 2000.1 习题集 15 112题就与此题不同，可参见以下的本章补充习题答案。 静电场中的导体和电介质一章补充习题答案习题 15112(2000.1 习题集 ) 一平行板电容器的极板面积为 S=1m2，两极板夹 着一块

31、d=5mm 厚的同样面积的玻璃板。已知玻璃的相对介电常数r =5。电容器充电到电压 U=12V 以后切断电源，求把玻璃板从电容器中抽出来外力需作多少 功。分析：电源已切断，只有外力作功，功能关系为： A外 We 。 解：切断电源前后极板上电荷不变，该电荷为切断电源前的电荷：Q CU0 rSd8.85 10 12 5 1 125 10 31.062 10 7 C式中 C 为未抽出玻璃板时电容器的电容值。当抽出玻璃板后，电容器的电容值 变为0S d8.85 10 12 15 10 31.77 10 9 F根据功能关系，可得抽出玻璃板过程中外力所作的功为A外 We W W 21 QC 12 QC 2QC (1 1r )2.55 10 6 J72 (1.062 10 7)2习题 1589 在带电量为 +Q 的金属球产生的电场中，为测量某点的场强 E