青岛理工大学材料力学第三章扭转

1、青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 1 第三章第三章 扭转扭转 3- -1 概述概述 3- -2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 3- -3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 3- -4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 强度条件强度条件 3- -5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 刚度条件刚度条件 3- -6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能 3- -7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 2 上堂课内容回顾及补充例题上堂

2、课内容回顾及补充例题 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 3 I、应力的计算、应力的计算 p I T 横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点处任一点 剪应力计算公式。剪应力计算公式。 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形 时的等圆截面直杆。时的等圆截面直杆。 式中：式中：T 横截面上的扭矩，由截面法横截面上的扭矩，由截面法 通过外力偶矩求得。通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip 极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛

3、理工大学材料力学第三章扭转 4 单位：单位：mm4，m4。 AI Ap d 2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适尽管由实心圆截面杆推出，但同样适 用于空心圆截面杆，只是用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。值不同。 4 4 2 0 2 2 10 32 d2 d D. D AI D Ap 对于实心圆截面：对于实心圆截面： D d O 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 5 对于空心圆截面：对于空心圆截面： )1 (10)1 ( 32 )( 32 d2 d 444 4 44 2 2 2 2 D. D dD AI D d Ap )( D d d D O d 青岛理工大学材料力学

4、第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 6 应力分布应力分布 （实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约工程上采用空心截面构件：提高强度，节约 材料，重量轻，材料，重量轻， 结构轻便，应用结构轻便，应用广泛。广泛。 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 7 II、圆轴扭转时的强度计算、圆轴扭转时的强度计算 强度条件：强度条件： 对于等截面对于等截面 圆轴：圆轴： max max t W T ( 称为许用剪称为许用剪 应力。应力。) 强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许

5、可载荷：计算许可载荷： max max t W T max T Wt max t WT ）（空： 实： 4 3 3 1 16 16 D D Wt 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 8 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料 的切变模量分别为的切变模量分别为G G1 1和和G G2 2，且，且G G1 1=2G=2G2 2。圆轴尺。圆轴尺 寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对 滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中 （A A）、（）、（B B

6、）、（）、（C C）、（）、（D D）所示的四种结论，）所示的四种结论， 请判断哪一种是正确的。请判断哪一种是正确的。 d2 d T 1 G 2 G O (A)(B)(C)(D) 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 9 解：解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表 明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面 假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平 面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转面，即其直径保持为直线，但要相

7、当于原来的位置转 过一角度。过一角度。 因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。 由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层 （圆环截面）的剪切弹性模量（圆环截面）的剪切弹性模量（G G1 1=2G=2G2 2），所以内层），所以内层 在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的 切应力。据此，答案（切应力。据此，答案（A A）和（）和（B B）都是不正确的。）都是不正确的。 在答案（在答案（D D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，）中，外层在二者交

8、界处的切应力等于零， 这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不 为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。 根据以上分析，正确答案是（根据以上分析，正确答案是（C C） 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 10 因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒 和空心圆轴设计和空心圆轴设计 薄壁圆筒设计薄壁圆筒设计 D d 设平均半径设平均半径 R0=(d+)/2 2 0 2 R T T d 2 2 T dd

9、 2 2 223 Pa mN mm 6 3 2 3233 1080 1052 10100101002 mm7 . 3 空心圆轴设计空心圆轴设计 P W T max 44 16 dD D WP 2 dD 44 16 dD DT 01081 . 0105161080 6 4 346 PamDmNDPa mmD7 .107 2 dD 2 1007 .107mmmm mm85. 3 当当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒时，即可认为是薄壁圆筒 一内径一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩 T=5kNm，许用切应力，许用切应力=80MPa，试确定空心圆轴的，试

10、确定空心圆轴的 壁厚。壁厚。 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 11 3 35 5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 刚度条件刚度条件 一、扭转时的变形一、扭转时的变形 由公式由公式 p GI T x d d 知：长为知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为为 值不变）若 ( d d 0 T GI Tl x GI T p l p 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 12 二、单位扭转角二、单位扭转角 ： (rad/m) d d p GI T x /m)( 180 d d p GI T x 或或 三、刚度条件三

11、、刚度条件 (rad/m) max p GI T /m)( 180 max p GI T 或或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 13 刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度：校核刚度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷： max max G T I p max p GIT 有时，还可依据此条件进行选材。有时，还可依据此条件进行选材。 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第

12、三章扭转 14 D + M 2M 3M 1 180 ) 2 ( p e p e GI aM GI aM 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 15 MPa7 .69 t max max W T mkN292 e M 33. 2 180 ) 23 ( p e p e GI aM GI aM CBBACA D + M 2M 3M 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 16 Dd t MM 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 17 934. 0 2 D tD D d mm1006. 2 2/ 4p t D I W MPa1 .

13、96 t max max W T 45 44 P mm1083. 7 32 )1( D I m/81. 1 180 P max max GI T mkN98. 1 MT Dd t MM 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 18 MPa1 .96 16/ 3 max max d T 2 2 mm1749 4 d A 实实 2 22 mm577 4 )7176( 空空 A 512. 0)8 . 01(194. 1 )1( 4 )( 4 22 2 1 22 2 2 1 2 2 2 2 1 2 d D d dD A A 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章

14、扭转 19 例例33长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m= =20Nm/m 的作用，如图，的作用，如图， 若杆的内外径之比为若杆的内外径之比为 =0.8 =0.8 ，G=80=80GPa ，许用剪应力，许用剪应力 =30=30MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2=2/ /m ，试校核此杆的，试校核此杆的 刚度，并求右端面转角。刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径 max T Wt 1 16 D 4 3 ）（ t W 3 1 4 max 1 16 ）（ T D 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 20 3 1 4 m

15、ax 1 16 ）（ T D 40Nm x T 代入数值得：代入数值得： D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度 max max 180 P T GI 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 21 40Nm x T 180 max max P GI T 89. 1 )1 (1080 1804032 4429 D 右端面转角右端面转角为：为： 弧度）( 0330 4 102040 2 0 2 2 00 . )xx( GI dx GI x dx GI T PP L P 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 22 例例4 4

16、某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率，输入功率P1 = 500kw， 输出功率分别输出功率分别 P2 = 200KWKW及及 P3 = 300KWKW，已知：，已知： G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定：，试确定： AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？ 解：解：图示状态下图示状态下, ,扭矩如扭矩如 图图，由强度条件得：，由强度条件得： 500400 P1 P3P2 A C B T x -9.

17、55 -5.73 (kNm) 9.55(kN m) P m n 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 23 16 3 1 Td Wt 3 3 2 6 1616 5730 74.7mm 3.14 70 10 T d 32 4 G Td Ip 3 3 1 6 1616 9550 88.5mm 3.14 70 10 T d 由刚度条件得：由刚度条件得： 500400 N 1 N3N2 A C B T x 9. 55 5.73 (kNm) 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 24 4 4 2 29 32 32 5730 180 80.4mm 3.148

18、0 101 T d G 4 4 1 29 32 32 9550 180 91.3mm 3.1480 101 T d G 综上：综上： 全轴选同一直径时全轴选同一直径时 mmd mmd 4 .80 3 .91 2 1 mmdd3 .91 1 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 25 轴上的绝对值最大轴上的绝对值最大的的扭矩越小越合理，所以，扭矩越小越合理，所以，1轮和轮和2轮应轮应 该该换换位。换位后位。换位后, ,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示, ,此时此时, ,轴的最大直径才轴的最大直径才 为为 75 75mm。 T x 5.73 (kNm) 3.82 青岛理工大

19、学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 26 3-6 3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能 纯剪切应力状态下的应变能密度纯剪切应力状态下的应变能密度 对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外 力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力 仅发生在竖直平 面内而只有右侧面上的外力 dydz在相应的位移g dx上作功。 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 27 gG dV)dx(dzdy)(dWgg 2 1 2 1 三、三、 应变能与能密度应变能与能密度 a cd dx b dy dz z g x y 单元体微功：单元体微功： 青岛理工

20、大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 28 应变比能：单元体内蓄积的应变能dV数值上等于单元体上 外力所作功dW，即dV=dW 。单元体单位体积内的应变能， 亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为 由剪切胡克定律 =Gg，该应变能密度的表达式可写为 2 2 dVd11 dd222 W vG VVG gg 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 29 在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应 变能为 等直圆杆在扭转时积蓄的应变能 lAV xAvVvVddd p 2 2 2 p 2 2 p 2 2 d 2 dd 2 1 dd 2 GI lT A I T

21、G l A I T x G xA G V A AlAl 由 可知，亦有 p GI Tl 2p 2 l GI V 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 30 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄 积的应变能为 n i i i n i ii l GI V GI lT V 1 2p 1 p 2 2 , 2 亦即 在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其 长度为 l 范围内的应变能亦可如下求得： p 2 2 1 2 1 GI lT TWV 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 31 例1 图示AB、CD 为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，

22、BC 为刚性块， D截面处作用有外力偶矩 Me 。试求：（1）杆 系内的应变能；（2）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆 系内的应变能求D 截面的扭转角 D。 AB CD Me l/2 l 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 32 T2=Me D Me T1=-Me B CD Me 解解 : 1. 静力平衡求扭矩 2. 杆系应变能 p 2 e p 2 2 p 2 1 4 3 2 2/ 2GI lM GI lT GI lT V e p 3 2 D M l GI 其转向与Me 相同。 AB CD Me p 2 ee 4 3 2GI lMM VW D 3. 求D 截面的扭转角

23、 D 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 33 例2 试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角 5)受轴向压 力(拉力)F 作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变 形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹 簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 34 解：解：1. 求簧杆横截面上的内力 对于密圈螺旋弹簧，可认 为簧杆的横截面就在包含外力 F 作用的弹簧轴线所在纵向平 面内(如图)，于是有： 剪力 FS =F 扭矩 T =FR 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 35

24、2. 求簧杆横截面上的应力 3 3 p max 16 16 d FR d FR W T 簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩 T=FR相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。又，在通 常情况下，簧圈直径D = 2R与簧杆直径d 的比值D/d 较大，故 在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响。于 是有 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 36 3. 求弹簧的缩短(伸长)变形 FW 2 1 当弹簧所受外力F不超过 一定限度而簧杆横截面上的最 大切应力max不超过簧杆材料 的剪切比例极限p时，变形与 外力F成线性关系(如图)。于 是有外力所作功： 青

25、岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 37 至于簧杆内的应变能V，如近似认为簧杆长度l =2Rn， 且簧杆横截面上只有扭矩T = FR，则 p 2 p 2 2 2 22 1 GI RnFR GI lT V 根据能量守恒原理 W=V，即得密圈圆柱螺旋弹簧的缩 短(伸长)变形近似计算公式： 4 3 p 2 642 Gd nFR GI RnFR 如令 ，则有 ，式中k 为弹簧的刚度系数 (N/m)。 nR GD k 3 4 64 k F 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 38 3 37 7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变

26、形 非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保 持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不 适用，须由弹性力学方法求解。适用，须由弹性力学方法求解。 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 39 1、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻 截面的翘曲程度完全相同。因而横截面上只有切应力，而正应力截面的翘曲程度完全相同。因而横截面上只有切应力，而正应力 很小，可忽略。很小，可忽略。

27、 FLI, 2、约束扭转：杆两端受约束不能自由翘曲，各横截面翘曲约束扭转：杆两端受约束不能自由翘曲，各横截面翘曲 程度不同，横截面上不仅有程度不同，横截面上不仅有 且有且有 。对实心杆。对实心杆 很小可很小可 忽略，但对薄壁杆如：忽略，但对薄壁杆如： 则则 不可忽略不可忽略 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 40 3 3、矩形杆横截面上的剪应力、矩形杆横截面上的剪应力: : h b h 1T max 注意！注意！ b 1 1、剪应力分布如图：、剪应力分布如图： （角点、形心、长短边中点）（角点、形心、长短边中点） 0 对矩形截面，截面周边对矩形截面，截面周边 上各点上各点 方向与周边平方向与周边平 行且四个角处行且四个角处 T 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 41 的大致分布如图的大致分布如图： 发生在截面长发生在截面长 边的中点处边的中点处 max h 2 max hb T 短边中点的应力：短边中点的应力： max1 T C 1 max b h 青岛理工大学材料力学第三章扭转青岛理工大学材料力学第三章扭转 42 3 hbG Tl g, 根据根据 由由 表表3.12查得查得 b h 96P 由表可见当由表可见当 时时 10 b h 3 1 , 因此对长度为因此对长度为