高中数学论文：以小见大——用好函数定义域

1、以小见大用好函数定义域函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的思维品质是十分有益的。本文结合数例谈谈如何用好函数定义域。1 确定函数定义域的原则当函数y=f(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。 当函数y=f(x)用图像给出时，函数的定义域是指图像在x轴上投影所覆盖的实数的集合。 当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合。 当函数y=f(x)用实际问题给出时，

2、函数的定义域由实际问题的意义确定。 基本上可分为自然定义域与限定定义域两类：如果只给函数的解析式（不注明定义域），其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围，称为自然定义域；如果函数受应用条件或附加条件所制约，其定义域称为限定定义域。定义域经常作为基本条件（或工具）出现在高考试题中，通过函数性质或函数应用来考查具有隐蔽性，不为人们所注意，即主要求限定定义域，所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点，以先分析定义域来帮助解决问题。2 函数定义域的解题功能2.1 导向功能 函数的定义域对许多数学问题的求解，有着明显的导向作用，优先考虑定义域，有助于启迪思路，理顺解题线索。 【例1】

3、解方程 分析：用常规方法求解，难以奏效，构造函数，从定义域入手，问题不攻自破。 简解：考虑函数f(x)=,定义域为 当x1时，f(-1)=2 当x1时，易证f(x)为增函数，故有f(x)f(1)=2 原方程的解为2.2 简化功能 巧用函数的定义域，可以避免复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。【例2】 判断函数f(x)=的奇偶性。分析：从定义域入手可化简解析式。简解：函数的定义域为 f(x)= f(x)f(x) 为奇函数2.3 显隐功能 从函数的定义域出发，分析题目的结构特征，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。【例3】 已知,求的最大值。分析：已知等式有两个作用

4、，一是可将用x表示消元，二是确定x的取值范围定义域。 简解：由 得 得 ，2.4 制约功能函数由定义域和对应法则确定，函数图案和性质受定义域制约，因此从定义域出发研究函数问题是一种行之有效的方法。 【例4】 求函数f(x)=的递减区间。 分析：三角变形是定义域基础上的恒等变形。 简解：f(x)= 其定义域为 减区间为3 函数定义域的外延3.1 数列问题函数的定义域实质是变量的允许值范围，在高中数学的其他内容也有涉及变量的，都应及时考虑其取值范围，在数列题中，n就是一个变量，应关注n的取值范围解题。【例5】 已知数列满足的前项和，1，求。简解：当时， 待添加的隐藏文字内容3 3.2 解析几何问题在解析几何求曲线的方程中，动点p(x,y)就是一个变量，所以在求出的轨迹方程中应考虑其纯粹性。 【例6】 设抛物线(p0)的准线与x轴的交点为m，过点m做直线l交抛物线于a，b两点，求线段ab中点的轨迹方程。 简解：设p(x,y) m(-p,0) 可设l：y=k(x+p) 再联立方程 得到 又 消去k得： (xp)3.3 排列组合题在排列数与组合数中，n也是一个变量，应考虑n有意义的取值范围。【例7】 求值 简解：联立方程 5n0 9n0 n5-n n+19-n 得到4n5 当n4时