专题训练一由动点产生的相似三角形问题教师版

1、专题训练一： 因动点产生的相似三角形问题 例1 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点a、b（点a位于点b是左侧），与y轴的正半轴交于点c（1）点b的坐标为_，点c的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点p，使得四边形pcob的面积等于2b，且pbc是以点p为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点q，使得qco、qoa和qab中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由图1动感体

2、验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点b在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点p到两坐标轴的距离相等，存在四边形pcob的面积等于2b的时刻双击按钮“第（3）题”，拖动点b，可以体验到，存在oqab的时刻，也存在oqab的时刻思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形pbc暗示了点p到两坐标轴的距离相等2联结op，把四边形pcob重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点q最大的可能在经过点a与x轴垂直的直线上满分解答（1）b的坐标为(b, 0)，点c的坐标为(0, )（2）如图2，过点p作pdx轴，pey轴

3、，垂足分别为d、e，那么pdbpec因此pdpe设点p的坐标为(x, x)如图3，联结op所以s四边形pcobspcospbo2b解得所以点p的坐标为()图2 图3（3）由，得a(1, 0)，oa1如图4，以oa、oc为邻边构造矩形oaqc，那么oqcqoa当，即时，bqaqoa所以解得所以符合题意的点q为()如图5，以oc为直径的圆与直线x1交于点q，那么oqc90。因此ocqqoa当时，bqaqoa此时oqb90所以c、q、b三点共线因此，即解得此时q(1,4)图4 图5考点伸展第（3）题的思路是，a、c、o三点是确定的，b是x轴正半轴上待定的点，而qoa与qoc是互余的，那么我们自然想到

4、三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据qoa与qoc相似把点q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点b的位置如图中，圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点q呢？如果符合题意的话，那么点b的位置距离点a很近，这与ob4oc矛盾例2 2012年黄冈市中考模拟第25题如图1，已知抛物线的方程c1： (m0)与x轴交于点b、c，与y轴交于点e，且点b在点c的左侧（1）若抛物线c1过点m(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求bce的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点h，使得bheh最小，求出点h的坐标；（4）在第四象限内，抛物线c1上是否存在点f，使

5、得以点b、c、f为顶点的三角形与bce相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点c在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，ec与bf保持平行，但是bfc在无限远处也不等于45观察右图，可以体验到，cbf保持45，存在bfcbce的时刻思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当h落在线段ec上时，bheh最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线bf，作cbfebc45，或者作bf/ec再用含m的式子表示点f的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程满分解答（1）将m(2, 2)代入，得解得m4（2）当m4时，所以c

6、(4, 0)，e(0, 2)所以sbce（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当h落在线段ec上时，bheh最小设对称轴与x轴的交点为p，那么因此解得所以点h的坐标为（4）如图3，过点b作ec的平行线交抛物线于f，过点f作ffx轴于f由于bcefbc，所以当，即时，bcefbc设点f的坐标为，由，得解得xm2所以f(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程无解图2 图3 图4如图4，作cbf45交抛物线于f，过点f作ffx轴于f，由于ebccbf，所以，即时，bcebfc在rtbff中，由ffbf，得解得x2m所以f所以bf2m2，由，得解得综合、，符合题意的m为考点伸展第（4）题也

7、可以这样求bf的长：在求得点f、f的坐标后，根据两点间的距离公式求bf的长例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题直线分别交x轴、y轴于a、b两点，aob绕点o按逆时针方向旋转90后得到cod，抛物线yax2bxc经过a、c、d三点(1) 写出点a、b、c、d的坐标；(2) 求经过a、c、d三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点g的坐标；(3) 在直线bg上是否存在点q，使得以点a、b、q为顶点的三角形与cod相似？若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点q在直线bg上运动， 可以体验到，abq的两条直角边的比为13共有四种情况，

8、点b上、下各有两种思路点拨1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标3第（3）题判断abq90是解题的前提4abq与cod相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点q与点b的位置关系分上下两种情形，点q共有4个满分解答（1）a(3，0)，b(0，1)，c(0，3)，d(1，0)（2）因为抛物线yax2bxc经过a(3，0)、c(0，3)、d(1，0) 三点，所以 解得 所以抛物线的解析式为yx22x3(x1)24，顶点g的坐标为(1，4)（3）如图2，直线bg的解析式为y3x1，直线cd的解析式为y3x3，因此

9、cd/bg因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以abcd因此abbg，即abq90因为点q在直线bg上，设点q的坐标为(x，3x1)，那么rtcod的两条直角边的比为13，如果rtabq与rtcod相似，存在两种情况：当时，解得所以，当时，解得所以， 图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明abbg；二是我们换个思路解答第（3）题：如图3，作ghy轴，qny轴，垂足分别为h、n通过证明aobbhg，根据全等三角形的对应角相等，可以证明abg90在rtbgh中，当时，在rtbqn中，当q在b上方时，；当q在b下方时，当时，同理得到，例4 2

10、011年上海市杨浦区中考模拟第24题rtabc在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图象与bc边交于点d（4，m），与ab边交于点e（2，n），bde的面积为2（1）求m与n的数量关系；（2）当tana时，求反比例函数的解析式和直线ab的表达式；（3）设直线ab与y轴交于点f，点p在射线fd上，在（2）的条件下，如果aeo与efp 相似，求点p的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点a在x轴上运动，可以体验到，直线ab保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积bde2”，可以看到，点e正好在bd的垂直平分线上，fd/x轴拖动点p在射线fd上运动，可

11、以体验到，aeo与efp 相似存在两种情况思路点拨1探求m与n的数量关系，用m表示点b、d、e的坐标，是解题的突破口2第（2）题留给第（3）题的隐含条件是fd/x轴3如果aeo与efp 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况满分解答（1）如图1，因为点d（4，m）、e（2，n）在反比例函数的图象上，所以 整理，得n2m（2）如图2，过点e作ehbc，垂足为h在rtbeh中，tanbehtana，eh2，所以bh1因此d(4，m)，e(2，2m)，b(4，2m1)已知bde的面积为2，所以解得m1因此d(4，1)，e(2，2)，b(4，3)因为点d（4，1）在反比例函数的图象上，所以k

12、4因此反比例函数的解析式为设直线ab的解析式为ykxb，代入b(4，3)、e(2，2)，得 解得，因此直线ab的函数解析式为图2 图3 图4（3）如图3，因为直线与y轴交于点f（0，1），点d的坐标为（4，1），所以fd/ x轴，efpeao因此aeo与efp 相似存在两种情况：如图3，当时，解得fp1此时点p的坐标为（1，1）如图4，当时，解得fp5此时点p的坐标为（5，1）考点伸展本题的题设部分有条件“rtabc在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m与n的数量关系不变第（2）题反比例函数的解析式为，直线ab为第（3

13、）题fd不再与x轴平行，aeo与efp 也不可能相似图5例5 2010年义乌市中考第24题如图1，已知梯形oabc，抛物线分别过点o（0，0）、a（2，0）、b（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点m的坐标；（2）将图1中梯形oabc的上下底边所在的直线oa、cb以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点o1、a1、c1、b1，得到如图2的梯形o1a1b1c1设梯形o1a1b1c1的面积为s，a1、 b1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含s的代数式表示x2x1，并求出当s=36时点a1的坐标；（3）在图1中，设点d的坐标为(1，3)，动点p从点b出发，以每秒1个单位

14、长度的速度沿着线段bc运动，动点q从点d出发，以与点p相同的速度沿着线段dm运动p、q两点同时出发，当点q到达点m时，p、q两点同时停止运动设p、q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线pq、直线ab、x轴围成的三角形与直线pq、直线ab、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点i上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2x1随s的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点q在dm上运动，可以体验到，如果gafgqe，那么gaf与gqe相似思路点拨1第（2）题用含s的代数式表示x2x1，我

15、们反其道而行之，用x1，x2表示s再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线ab与x轴的夹角不变，直线ab与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线pq的斜率，因此假设直线pq与ab的交点g在x轴的下方，或者假设交点g在x轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为m（1，）（2） 梯形o1a1b1c1的面积，由此得到由于，所以整理，得因此得到当s=36时， 解得 此时点a1的坐标为（6，3）（3

16、）设直线ab与pq交于点g，直线ab与抛物线的对称轴交于点e，直线pq与x轴交于点f，那么要探求相似的gaf与gqe，有一个公共角g在geq中，geq是直线ab与抛物线对称轴的夹角，为定值在gaf中，gaf是直线ab与x轴的夹角，也为定值，而且geqgaf因此只存在gqegaf的可能，gqegaf这时gafgqepqd由于，所以解得 图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点g在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题如图1，已知点a (-2，4) 和点b (1，0

17、)都在抛物线上（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点a的对应点为a，点b的对应点为b，若四边形a abb为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线ab 的交点为c，试在x轴上找一个点d，使得以点b、c、d为顶点的三角形与abc相似图1 动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点a向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形a abb为菱形再拖动点d在x轴上运动，可以体验到，bcd与abc相似有两种情况思路点拨1点a与点b的坐标在3个题目中处处用到，各具特色第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点b 的坐标、ac

18、和bc的长2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变3探求abc与bcd相似，根据菱形的性质，baccbd，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论满分解答(1) 因为点a (-2，4) 和点b (1，0)都在抛物线上，所以 解得，(2)如图2，由点a (-2，4) 和点b (1，0)，可得ab5因为四边形a abb为菱形，所以a abb ab5因为，所以原抛物线的对称轴x1向右平移5个单位后，对应的直线为x4因此平移后的抛物线的解析式为图2(3) 由点a (-2，4) 和点b (6，0)，可得a b如图2，由am/cn，可得，即解得所以根据菱形的性质，在abc与bcd中，bacc

19、bd如图3，当时，解得此时od3，点d的坐标为（3，0）如图4，当时，解得此时od，点d的坐标为（，0） 图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求bcd与ab b相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况我们也可以讨论bcd与cb b相似，这两个三角形有一组公共角b，根据对应边成比例，分两种情况计算例7 2009年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点a(4，0)、b（1，0)、c（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）p是抛物线上的一个动点，过p作pmx轴，垂足为m，是否存在点p，使得以a、p、m为顶点的三角形与oac相似？若存在，请求出符合条件的 点p的坐

20、标；若不存在，请说明理由；（3）在直线ac上方的抛物线是有一点d，使得dca的面积最大，求出点d的坐标,图1动感体验 请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点p在抛物线上运动，可以体验到，pam的形状在变化，分别双击按钮“p在b左侧”、“ p在x轴上方”和“p在a右侧”，可以显示pam与oac相似的三个情景双击按钮“第(3)题”， 拖动点d在x轴上方的抛物线上运动，观察dca的形状和面积随d变化的图象，可以体验到，e是ac的中点时，dca的面积最大思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按

21、照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把dca可以分割为共底的两个三角形，高的和等于oa满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于a(4，0)、b（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点c的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点p的坐标为如图2，当点p在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点p的坐标为（2，1）如图3，当点p在点a的右侧时，x4，解方程，得此时点p的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点p在点b的左侧时，x1，解方程，得此时点p的坐标为解方程，得此时点p与点o重合，不合题意综上所述，符合条件的 点p的坐标为（2，1）或或 图2 图3 图4（3

22、）如图5，过点d作x轴的垂线交ac于e直线ac的解析式为设点d的横坐标为m，那么点d的坐标为，点e的坐标为所以因此当时，dca的面积最大，此时点d的坐标为（2，1） 图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过d点构造矩形oamn，那么dca的面积等于直角梯形camn的面积减去cdn和adm的面积设点d的横坐标为（m，n），那么由于，所以例8 2009年上海市闸北区中考模拟第25题如图1，abc中，ab5，ac3，cosad为射线ba上的点（点d不与点b重合），作de/bc交射线ca于点e.(1) 若cex，bdy，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段bd，ce为直径的两圆相切时，求de的长度；(3) 当点d在ab边上时，bc边上是否存在点f，使abc与def相似？若存在，请求出线段bf的长；若不存在，请说明理由 图1 备用图 备用图动感体验 请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点d