8-7条件极值与拉格朗日乘数法

1、7-7 1 求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤： 第一步第一步 解方程组解方程组, 0),( yxf x 0),( yxf y 求求出出实实数数解解，得得驻驻点点. 第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),( 00 yx， 求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. 第第三三步步 定定出出 ACB 2 的的符符号号，再再判判定定是是否否是是极极值值. 回顾：求极值的一般步骤 7-7 2 则可按如下方法求最值：则可按如下方法求最值： 将函数在区域将函数在区域 D D 内的所有驻点处的内的所有驻点处的 函数值及在函数值及在D D 的边界上的最大值和最小的边界上的

2、最大值和最小 值相互比较，其中最大者即为最大值，值相互比较，其中最大者即为最大值， 最小者即为最小值最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值. 回顾：多元函数的最值的求法 设函数在有界闭区域设函数在有界闭区域 D 上连续，在上连续，在D内内 可微且只有有限个驻点。可微且只有有限个驻点。 7-7 3 7.7 条件极值与拉格朗日乘数法 实例：求表面积为实例：求表面积为 S(固定固定) 、体积最大的长方体积最大的长方 体的体积体的体积 ( , , )V x y zxyz 222xyyzz

3、xS 限制条件限制条件 求极值求极值 条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值 7-7 4 求条件极值的方法 1. 转化为无条件极值问题转化为无条件极值问题. 2. 利用拉格朗日乘数法利用拉格朗日乘数法. 7-7 5 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的下的 可能极值点，可能极值点， 1. 先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxF ， 其中其中 为拉格朗日乘数为拉格朗日乘数. 2. 由由 . 0),( , 0),(),( , 0),(),( yx yxyxf yxyxf yy xx 解出解出 , yx，其中，其中(yx,)就

4、是可能的极值点的坐就是可能的极值点的坐 标标. 拉格朗日乘数法 7-7 6 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF ),(),( 21 tzyxtzyx 其中其中 21, 均为拉格朗日乘数，可由均为拉格朗日乘数，可由 偏导数为零及偏导数为零及 约束约束条件解出条件解出tzyx,，即得可能的极值点的坐标，即得可能的极值点的坐标. 更一般的情形 7-7 7 将将正正数数 12 分分

5、成成三三个个正正数数zyx,之之和和 使使得得 zyxu 23 为为最最大大. 解解 令令 )12(),( 23 zyxzyxzyxF , 12 0 02 03 23 3 22 zyx yxF yzxF zyxF z y x 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(， .6912246 23 max u 则则 故故最最大大值值为为 根据具体情况从实际问题的物理、几何、经济意义根据具体情况从实际问题的物理、几何、经济意义 可以判断是否为最值可以判断是否为最值 例题1 7-7 8 在在区区域域 22 ( , )|50 x yxy 上上,求求 1 22 yx yx z 的的最最大大值值和和最最

6、小小值值. , 0 )1( )(2)1( 222 22 yx yxxyx zx , 0 )1( )(2)1( 222 22 yx yxyyx z y 得驻点得驻点) 2 1 , 2 1 (和和) 2 1 , 2 1 ( , 解解 由由 , 2 1 ) 2 1 , 2 1 ( z , 2 1 ) 2 1 , 2 1 ( z 例题2 7-7 9 在边界上在边界上 22 ( , )|50 x yxy 1 22 yx yx z z(5,5)=10/51 z(-5,-5)=-10/51 最最大大值值为为 2 1 ，最最小小值值为为 2 1 . 比较可知比较可知 101011 51505 2 例题2续 利

7、用拉格朗日乘数法得可能的最值点为利用拉格朗日乘数法得可能的最值点为 （5，5）以及（）以及（5，5）：）： 7-7 10 曲线曲线 22 1 zxy xyz 上面哪一点到原点最近上面哪一点到原点最近? 讨论讨论 2 d 记为记为 222 ( , , )f x y zxyz 12 22222 12 ( , , ,) ()(1) F x y z xyzxyzxyz 例题3 (p252,例2) ),( zyxP：设设椭椭圆圆上上的的点点为为解解 7-7 11 1313 ,23, 22 95 3 xyz d 12 12 12 220 220 20 x y z Fxx Fyy Fz 22 0 10 xy

8、z xyz 例题3（续） 7-7 12 小结 求条件极值的方法求条件极值的方法: 1. 转化为无条件极值转化为无条件极值. 2. 利用拉格朗日乘数法利用拉格朗日乘数法. 注意要正确注意要正确 地写出目标函数和约束条件地写出目标函数和约束条件. 7-7 13 思考题思考题 若若),( 0 yxf及及),( 0 yxf在在),( 00 yx点点均均取取得得 极极值值， 则则),(yxf在在点点),( 00 yx是是否否也也取取得得极极值值？ 思考题 7-7 14 思考题解答思考题解答 不不是是.例如例如 22 ),(yxyxf , 当当0 x时时， 2 ), 0(yyf 在在)0 , 0(取取极极

9、大大值值; 当当0 y时时， 2 )0 ,(xxf 在在)0 , 0(取取极极小小值值; 但但 22 ),(yxyxf 在在)0 , 0(不不取取极极值值. 思考题解答 7-7 15 多元函数的极值多元函数的极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 （取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值多元函数的最值 小结 7-7 16 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 函数函数)4)(6(),( 22 yyxxyxf 在在_点取点取 得极得极_值为值为_._. 2 2、 函数函数xyz 在附加条件在附加条件1 yx下的极下的极_值值 为为_._. 3 3、 方程方程

10、02642 222 zyxzyx所确定的所确定的 函数函数),(yxfz 的极大值是的极大值是_,_,极小值极小值 是是_._. 二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 点点 , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及 0162 yx三三直直线线的的距距离离平平方方之之和和为为最最小小. . 三三、 求求内内接接于于半半径径为为a的的球球且且有有最最大大体体积积的的长长方方体体. . 练练 习习 题题 7-7 17 四、四、 在第一卦限内作球面在第一卦限内作球面1 222 zyx的切平面的切平面, ,使使 得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小, ,求求 切点的坐标切点的坐标. . 7-7 18 一一、1 1、( (3 3, ,2 2