高中数学教学论文：高中数学概念教学设计模式及案例分析

1、高中数学概念教学设计模式及案例分析摘要： 新课程视野下，利用高中数学概念学习和形成的原理，提出三种概念教学设计模式同时分析整个高中数学教材中的相关概念，悉心寻找合适的教学模式，并通过典型的案例对三种模式加以应用和说明关键词： 高中数学概念；概念教学设计模式； 案例1 问题提出数学概念是数学知识的细胞，也是思维的单元，是学生在学习数学中赖以思维的基础只有树立了正确的概念，才能牢固地掌握基础知识，概念不清就谈不上进一步学习其他数学知识随着数学教育改革的不断深入，对数学概念学习也提出了更高的要求，高中数学新课标的课程目标中指出：“获得必要的数学知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解

2、概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用”从课程目标中可以看出，数学概念是高中数学的重要组成部分因此，数学概念的学习与教学是最重要的课题之一然而，在传统的数学教学中，注重数学概念内涵的教学，忽视概念的外延，忽视学生的认知结构，甚至灌输孤立的数学概念于是，学生在学习数学时会出现种种问题， 这与没有掌握好有关的数学概念有很大的关系本文在新课程理念的指导下，谈谈高中数学概念的教学设计2 数学概念教学设计21数学概念的学习原理 数学概念是数学知识的基本单元从理解的层面看，掌握数学概念不仅要简单地用语言将数学概念表述出来，而且要真正理解概念的内涵和外延，表

3、现为能对数学对象进行识别和归类，用自己能够接受和可以储存的形式对概念的本质属性或特征进行理解数学概念的获得有两种基本方式：概念形成与概念同化22数学概念教学设计的模式根据数学概念的学习原理，提出以下几种数学概念教学设计的模式(一) 概念形成模式概念形成是学习者在对客观事物的反复感知和进行分析、类比、抽象的基础上，概括出某一类事物本质属性而获得概念的方式l 操作程序 l 案例（人教a版必修1函数概念教学设计）函数概念教学一直是一线教师最为头痛的概念之一，是教学的难点和重点.学生对函数的概念的不清是导致他们没有学好函数的主要原因，函数概念的复杂性导致我们教师的教学困难.本节课题的教学我采用以下的概

4、念形成教学设计模式，供同行参考.1）教师提供概念的正例.在讲授函数概念时，尽量提供丰富的函数原型，先给出两个实例，炮弹发射时间与高度的关系，归结为数集与 的对应关系臭氧层空洞的面积随时间变化情况，归结为数集与的对应关系说明：近年来关于概念形成的心理活动过程的研究表明，概念形成的第一阶段为：辨别不同的刺激模式. 在教学环境下，这些刺激模式可以是学生自己感知过的经验或事实，也可以是教师提供的有代表性的事例.因此，在函数概念教学中，举一些饶有趣味的话题，比如臭氧空洞问题，炮弹发射问题等，同时鼓励学生积极思考举出类似的话题.然后可以逐步引申到函数的概念的归纳和理解.2）引导学生观察思考例子的共性，回答

5、表中恩格尔系数和时间（年）的关系进而设置思考题“分析、归纳三个例子，它们有什么共同点？”从而理解函数需要进行活动和操作.通过恩格尔系数和时间（年）的关系表，理解函数需要用具体的数字构造对应：199153.8；199252.9；199350.1；199449.9.说明：概念形成的第二阶段为分化和类比各种刺激模式的属性. 各种具体模式的属性不一定是共同属性，为了找出共同属性，就需要将从具体刺激模式中分化出来的属性进行比较让学生体会并归纳所举出的函数例子，从不同中找出共同的属性，从不同的例子获取相关函数概念的信息.这与学生的智慧、兴趣、获取和处理信息的能力相关.3）与学生共同归纳上述几例的共性，把上

6、述的操作活动综合成函数过程，得到：对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有惟一确定的和它对应，：记为，说明：用符合习惯的数学语言和符号表示新概念，即形式化4）可以同时从运算、解析式、图像、变量的依赖关系、变量的对应关系等多角度来讲述一个函数实例，最后归结到集合的对应关系上来.进而给出函数的定义（定义略）说明：这里的教学要求能让学生从初中学的函数概念脱离出来，形成新的一种认识.这种认识不仅仅是对“认识内容”的认识还有“认识方法”的认识.我们从数和形、依赖关系、对应关系等多角度全方位阐述函数概念，这是一个概念化的过程，借用各种方式刺激学生的思维，造成一种思维上的定势，从而加深了概念在学生

7、大脑里逐步成型、定型直至完善.5）强化概念，要求学生举例，如，教师可以举反例，如，下例是否为函数？ 图1 图2 图31232124642从解析式、图像、表格分别举反例，以加深学生对概念的理解. 说明：提出和验证假设阶段. 一般来说，事物的共同属性不一定是本质属性，因此，在数学概念的学习过程中，学生首先要提出各个刺激模式的本质属性的假设，然后在特定的情景中检验假设以确认出概念的本质属性接下来的步骤就是通过各种角度来阐述函数的概念，让学生从各种情景中辨别函数概念.6）概念应用与形成概念域（转入函数相关命题学习）这时可以把函数过程上升为一个独立的对象来处理.比如，函数的加减乘除、复合运算等.在表达式

8、中和中和均可以作为整体的对象出现.说明：此时的函数概念已经以一种图式存在于脑海中.这一过程含有具体的函数实例、抽象的过程、完整的定义以及和其他概念的区别和联系，如方程、曲线、图像和表格等. 把新概念从以前学过的相关旧概念中分离出来. 把新概念的本质属性推广到这个类目的一切例子，这个过程实际上是明确概念外延的过程，也是新概念与其他旧概念相区别的过程（二）概念的同化模式概念的同化是指：在教学中，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原有认知结构中的有关概念相联系和掌握概念的方式以概念同化的方式学习数学概念的心理活动大致包括以下几个阶段： 辨认能区分新概念

9、与原有概念，对概念有正确的理解同化建立新概念与原有概念实质性的联系，把新概念纳入到已有的认知结构中，使新概念被赋予一定的意义强化通过辨认概念的肯定和否定例子，使新概念和原有概念精确化 l 操作程序 l 案例（人教a版选修2-1抛物线及其标准方程教学设计）抛物线概念是学生较为熟悉的一种圆锥曲线，初中就已经学习了抛物线方程，而且在现实生活中有很多抛物线的例子，比如抛掷铅球、铁饼、标枪等，它们飞行的路线就是抛物线.另外学生对椭圆和双曲线已经较为理解和掌握，学习抛物线的轨迹，相对说就轻松了.案例设计如下：1）呈现现行组织者.由圆锥曲线的统一定义进行改装，当e=1时，动点的轨迹是抛物线.同时通过课件和学

10、生实验双管齐下进行验证，学生借用拉链作图，本人则通过几何画板演示得出轨迹是双曲线.通过这样的实验演示，可以把静态的轨迹动态化，而且直观、富有趣味，同时能加深学生对抛物线轨迹的认识.2）给出定义.有椭圆和双曲线的定义、标准方程、性质的求法，类比出抛物线的定义、标准方程和性质，学生接受起来容易多了.继而借助多媒体演示当e发生变化时动点的运动轨迹，可以让学生很清晰地认识到三种圆锥曲线的区别和联系.放手让学生根据自己的想法建立相应的坐标系求解轨迹方程，通过对所求方程的比较，让学生明白坐标系选择的重要性.3）概念的辨认、剖析与同化.区别抛物线与椭圆、双曲线的区别和联系，辨清概念里的直线l不经过点f的条件

11、.例1：在直角坐标系中，已知一个定点f和一条定直线l，动点m满足：|fm|等于点m到直线l的距离，则m的轨迹一定是 ？（很多学生立刻回答是抛物线.）例2：动点p到直线的距离减去它到m（2，0）的距离的差等于2，则点p的轨迹是什么 ？例3：动点p到轴的距离比它到m（2，0）的距离的少2，则点p的轨迹是什么 ？问：两个例子一样吗？有何区别？为什么？4）强化概念.进一步区分三种圆锥曲线，能从数上做比较，也能从形上区别.例4：一动圆与圆 ：外切，和圆：内切，求动圆的圆心轨迹.变式（1）把圆的半径改为3，动圆改为与两圆都外切，求动圆圆心的轨迹；变式（2）把圆改为轴，把圆的半径改为3，动圆与和轴和圆都外切

12、，求动圆的圆心轨迹. 图4 图5 图65）应用概念.抛物线较其他两种圆锥曲线的不同之处是抛物线上的任一点到焦点的距离等于它到准线的距离，以此就可以派生出很多巧妙的解题方法. 例5：已知点a、b在抛物线上，直线l是线段ab的垂直平分线若l经过抛物线的焦点，求线段ab的中点的横坐标. 分析：按照常规的解题方法，看到此类的题目立刻想到中点弦的有关问题，把设l的方程设出来，然后与抛物线联立方程组，再利用韦达定理求解，其次还需讨论直线l斜率存在的情况，但利用抛物线的定义，这个问题可以轻而易举地得到解决.a待添加的隐藏文字内容2blfomn因为焦点f在l上，l又是线段ab的中垂线，则|af| =|bf|，

13、则利用抛物线定义点a、点b到准线的距离也相等，即|am| =|bn|,所以线段ab平行于轴，即线段ab中点的横坐标为0.这个例子通过教师适当的指点和引导，大部分学生都能利用抛物线的概念来解题，同时又加深了对抛物线概念的意义建构.l 案例（人教a版必修2直线与平面垂直概念教学设计） 呈现学生已经习得的生活中的例子（呈现先行组织者），如旗杆与地面的位置关系、大桥的桥柱与水面的位置关系等等1) 给出直线与平面垂直的定义2) 辨认、剖析概念区别“任意一条”与“无数条”的关系，把直线与平面平行与垂直作一比较，从而完善直线与平面位置关系的认知体系3) 强化概念除定义外，如何判断一条直线与平面平行？进一步研

14、究直线与平面垂直4) 直线与平面垂直概念的应用5) 形成概念系立体几何中很多概念均可以采用上述的概念同化模式，还有平面向量、空间向量的相关概念以及三角函数等概念均可以采用上述的概念同化模式.结合数学概念向学生传授必要的数学知识，提高学习的意识.事先必须清晰地了解数学概念的内容、性质、特点，把握和领悟应该达到的目标；分析数学概念的结构、难度、主次，合理分配教学时间；达到数学概念学习目标的有效策略的选择、优化、运用，适时进行调节；注意学生自身数学概念学习的习惯、困难、情绪，调动自我激励机制.（三）问题引申模式l 程序l 案例（人教a版必修1二分法概念教学设计）1) 创设问题情境如电话线路的维修问题

15、，“幸运52”的猜商品价格的问题等2) 引导学生思考解决上述问题的方案：采用逼近思想如上述的电话线路的维修问题，可以从中间一根电话杆开始检测，若正常，则故障在后面；若不正常，则故障在前面，一直有这样的方法逼近故障点，最后把问题解决3) 引出函数的零点问题，给下定义4) 用二分法求函数的零点如怎样求方程的近似解并归纳二分法求函数零点的步骤5) 概念强化与应用借助计算器或计算机，用二分法解决求方程近似解问题 新课程中算法、导数概念、概率相关概念、数列、随机抽样等概念均可以采用这种问题引申模式进行教学设计.这种设计通过活动让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；并进行积极的思考，经历思维的内化、

16、概括过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；通过前面的抽象，认识到了概念的本质，对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动；不断地形成并完善“图式”，反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规则、图形等的联系. 总之，数学概念教学是高中数学教学的重要组成部分，新课标下的数学概念教学地位尤为突出，这一点一定要引起我们的重视令人欣喜的是，人教a版数学新教材数学的概念大都是按照概念形成，概念同化与问题引申的模式编写的，因此，我们一定要在数学概念学习原理的指导下，按照学生的认知规律进行数学概念教学设计新的数学课程理念、新的数学教材、新的数学课程评价观，更加强烈地要求数学教师改变多年来确立一种崭新的教育观念，在概念教学过程中有新的突破和创新.参考文献1刘绍学普通高中课程标准实验教科书必修1