上海市闸北区高三第二学期期中练习理科数学试题及答案

1、闸北区2014学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码3. 本试卷共有18道试题，满分150分考试时间120分钟一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1. 设幂函数的图像经过点，则函数的奇偶性为_2. 设复数，在复平面的对应的向量分别为，则向量对应的复数所对应的点的坐标为_ 3. 已知定义域为的函数的图像关于点对称，是的反函数，若，则_

2、4. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，其中已知投篮一次得分的期望是2，则的最大值是_5. 设 数列的前项和为，则_6. 设函数若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是_7. 若二项式展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是_8. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是_9. 已知集合，现给出下列函数：； ；若时，恒有，则所有满足条件的函数的编号是_10. 把正整数排列成如图的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图的三角形数阵，现将图中的正

3、整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则 1 1 2 3 4 2 45 6 7 8 9 5 7 910 11 12 13 14 15 16 10 12 14 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36 二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11. 下列命题中，正确的个数是【 】（1） 直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平

4、面平行；（2） a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；（3） 直四棱柱是直平行六面体；（4） 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥a、0 b、1 c、2 d、312. 在极坐标系中，关于曲线的下列判断中正确的是【 】a、曲线关于直线对称 b、曲线关于直线对称 c、曲线关于点对称 d、曲线关于极点对称 13. 已知是正三角形内部的一点，则的面积与的面积之比是【 】a、 b、 c、 d、三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤14. （本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，是圆柱体的一条母线，已知

5、过底面圆的圆心，是圆上不与点重合的任意一点，（1）求直线与平面所成角的大小；（2）将四面体绕母线旋转一周，求的三边在旋 转过程中所围成的几何体的体积 15. （本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分）如图所示，某市拟在长为道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为，赛道的后一部分为折线段，且 （1）求、两点间的直线距离； （2）求折线段赛道长度的最大值16. （本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点（1）求动点的轨迹方程；（2）过点且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定

6、点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由17. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍是，那么称是函数的一个等值域变换（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换？说明你的理由； ，； ，（2）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，那么“”是否为“是的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；（3）设的定义域为，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值 18. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）我们把一系列向

7、量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，（1）证明：数列是等比数列；（2）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由；（3）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的范围理科答案一 填空题1、偶函数； 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、1030二 选择题 11、b 12、a 13、b 三解答题14、（1） 5分 （2） 7分15、 解（1）依题意，有 1分 又， 而， 1分 当时，又 3分（2）解：法一：在中，. 设，则.1分由正弦定理得，3分 故3分，当时，折线段赛道最长为.2分解法二 ： （2）在中， 由余

8、弦定理得， 即；3分故，从而4分 即，当且仅当时等号成立.2分 亦即，设计为时，折线段赛道最长为.注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：；点在线段的垂直平分线上等.16、（1）的垂直平分线交于点，.1分 ， 所以动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆.2分 设椭圆的标准方程为，则，故椭圆的标准方程为2分（2） 直线l的方程为，联立直线和椭圆的方程得，即，易知点在椭圆内部，所以直线l与椭圆必交于两点. 1分设，则，2分假设在y轴上存在定点满足题设，则. 因为以ab为直径的圆恒过点d，则.2分即，因为，所以(*)变为 .3分由假设得对于任意的，恒成立，即，解得. 因此，在y轴上存在点d，点d的坐标为3分17、（1）不是2分，即的值域为，当时，即的值域仍为，所以 是的一个等值域变换.2分（2）不必要性的反例：此时，但的值域仍为，即是的一个等值域变换.（反例不唯一）3分（3）定义域为，因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，所以的值域为，2分，1分所以，恒有，3分解得.3分18、（1）数列是等比数列 3分 （2） ， 2分 假设 中的第 项最小，由 ，当时，有