6第六节稳态误差分析

1、3.6 线性控制系统的稳态性能分析 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 3.6.2 稳态误差分析 控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，通常称 为稳态性能。在控制系统的设计中，稳态误差是一项重要的技 术指标。 对于一个实际的控制系统，由于系统的结构、输入作用的 类型(给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或加速度) 不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一 致或相当，也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复 到原平衡位置。这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产 生的稳态误差称为原理性稳态误差。 此外，控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区 等非线性因素，

2、都会造成附加的稳态误差。这类由于非线性因 素所引起的系统稳态误差称为附加稳态误差或结构性稳态误差。 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 可以说控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计 的任务之一，是尽量消除系统的稳态误差，或者使稳态误差小 于某一允许值。 显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于 不稳定的系统而言，研究稳态误差是没有意义的。 有时，把在阶跃函数作用下没有稳态误差的系统，称为无 差系统；而把具有稳态误差的系统，称为有差系统。 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 一、控制系统的误差: )(sR )(sY )(sE 定义:参考输入信号 与被控 量输出信号 间的差为控

3、制 系统的误差信号。记做 ， 即： )()()(sYsRsE 假设反馈控制系统的典型结构图 如右图所示。 )(sR)(sY )(sR)(sY )(sY)(sR )(s 但是系统的参考输入信号 与被控量输出信号 有时 为不同量纲或量程的物理量，在这种情况下，系统的误差不能 直接用它们之间的差值来表示，应该将 和 转换为相同 量纲或量程后方能进行相减。假设将 转换为与 相同的 量纲或量程的转换系数为 ，则系统的误差有下列两种定义 方式： 从输入端定义：)()()()( 1 sYssRsE 从输出端定义： )( )( )( )( 2 sY s sR sE 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 当 和

4、 的量纲相同时，即在单位反馈的情况下，转换系 数 。在一般情况下，转换系数 与系统反馈通路传递 函数 相等。则系统误差可以定义为： )(sR)(sY 1)(s)(s )(sH )()()()()()( 1 sBsRsYsHsRsE )( )( )( )( 2 sY sH sR sE )( )( )( 1 2 sH sE sE 系统误差这两种定义的本质是相同的，只是表现形式不同， 两者之间的关系为： )()()()( 1 1 sYsHsRLte )( )( )( )( 1 2 sY sH sR Lte 系统误差信号的时域表达式为： 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 例如图所示系统为一调速系统

5、，输入电压 范围05V， 对应输出转速 范围05000rpm，检测装置选择量程转 速为05000rpm（对应输出电压05V）的线性转速传感 器。则每一个给定的输入电压 都将对应一个确定的希望 输出转速 ，这时，用以说明输入电压 与输出转速 之间比例关系的系数 便是转换系数 。 在某一时刻，输入电压 ，理想的输出转速应 是 ，若实际转速为 ，则其误差 为 (从输入端定义），或为 （从输出端定义）。 )(tr )(ty )(tr )(ty)(tr)(ty )/(10001rpmVk )(2)(Vtr )(2000)(rpmty)(1900 rpm )( 1 . 0)( 1 Vte)(100)( 2

6、 rpmte 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 在本课以后的叙述中，均采用从输入端定义系统的误差，则 如图系统的误差信号为： )(1 )( )()(1 )( )()()()( sG sR sHsG sR sYsHsRsE k )()( 1 sELte 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 参考输入信号和扰动信号同时作用的线性控制系统的误差 误差为E(s)=E1(s)+E2(s)，为由参考输入信号引起的误差， 为由扰动信号引起的误差。误差同样定义在输入端，即定 义在图中的A点处。 令N(s)=0，E1(s)对R(s)的传递函数 ： )()()(1 1 )( )( )( 21 1 sHsGsG

7、sR sE s R )()()(1 )( )( 21 1 sHsGsG sR sE 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 令R(s)=0，E2(s)对R(s)的传递函数 ： )()()(1 )()( )( )( )( 21 22 sHsGsG sHsG sN sE s N )()()(1 )()()( )( 21 2 2 sHsGsG sNsHsG sE 根据线性系统的叠加原理，可求得该系统的总误差为 )()()(1 )()()( )()()(1 )( )()()( 21 2 21 21 sHsGsG sNsHsG sHsGsG sR sEsEsE )()( 1 sELte 3.6.1 控制系

8、统的误差和稳态误差 二、控制系统的稳态误差： 定义：误差信号 在时间 趋于无穷大时的数值定义为系统的 稳态误差，记为 。即： )(tet ss e )(limtee t ss 由系统误差的讨论和稳态误差的定义，可知稳态误差不 仅和系统的特性（系统的类型和结构）有关，而且和系统的输 入(参考输入和扰动输入)信号的特性有关。由系统的类型、结 构或输入信号形式所产生的稳态误差称为原理性稳态误差，而 由非线性因素所引起的稳态误差称为附加稳态误差。本节不涉 及附加稳态误差的计算，只讨论原理性稳态误差。 需要指出的是，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有 意义。因此，在计算系统的稳态误差之前，必须判断系统是

9、稳 定的。对于不稳定的系统，计算稳态误差是没有意义的。 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 对于稳定的系统，稳态误差可以借助拉氏变换的终值定 理方便的计算出： )(lim)(lim 0 ssEtee st ss 使用上式的条件是有理函数 在 右半平面和虚轴上 必需解析，即 的全部极点都必需分布在 左半平面（包 括坐标原点）。 )(ssEs )(ssEs 由于根据终值定理算出的稳态误差是误差信号在t趋于无 穷时的数值，故有时称为终值误差。它不能反映稳态误差随 时间t的变化规律，具有一定的局限性。 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 )( 2 sG )(sH )(sR - )(sB )(sE

10、)( 1 sG )(sC )()()(1 1 )( )( )( 21 sHsGsGsR sE s E 给定作用下的误差传递函数 三、稳态误差的计算（总结）： )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - + )(sE )(sH )(sB 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 扰动作用下的误差传递函数 )( 1 sG )( 2 sG)(sH )(sC)(sB )(sN + )(sE 1 )()()(1 )()( )( )( )( 21 2 sHsGsG sHsG sN sE s NE 给定和扰动同时作用下的误差表达式 )()()()()(sNssRssE NEE )()()(1

11、 )()()( )()()(1 )( 21 2 21 sHsGsG sNsHsG sHsGsG sR 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差 )()()(1 )()()( lim )()()(1 )( lim )(lim)(lim 21 2 0 21 0 0 sHsGsG sNsHssG sHsGsG ssR ssEtee ss st ss 终值定理要求有理函数 的所有极点都在s平面的左半 开平面（包括原点）。 )(ssE )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - + )(sE )(sH )(sB 3.6.1 控制系统的误

12、差和稳态误差 例3.6.1 系统方块图如图所示， 当输入为单位斜坡函数时，求系统 在输入信号作用下的稳态误差；调 整K值能使稳态误差小于0.1吗？ ) 12)(1( ) 15 . 0( sss sK )(sR )(sY - 解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义，所以先判稳： 系统特征方程为0)5 . 01 (32 23 KsKss 由劳斯判据知稳定的条件为：60 K ) 15 . 0() 12)(1( ) 12)(1( )()()(1 1 )( )( )( 21 sKsss sss sHsGsGsR sE s E 2 1 )( s sR 2 1 ) 15 . 0() 12)(1( ) 12)

13、(1( )( ssKsss sss sE KssKsss sss sssEe ss ss 11 ) 15 . 0() 12)(1( ) 12)(1( lim)(lim 2 00 由稳定的条件知： 不能满足 的要求 6 1 ss e1 . 0 ss e 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 K=1时，系统稳定，系统存在有限稳态误差。K=6时，系统 处于临界稳定状态，输出响应曲线围绕作等幅振荡。当K6 时，系统不稳定，输出响应曲线发散。 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 1、由参考输入信号引起的稳态误差与静态误差系数 )()()(1 )( )( )()()(1 1 )( )( 21 21 sH

14、sGsG sR sE sHsGsGsR sE ， 当t趋于无穷大时的误差称为稳态误差 。根据终值定理有： ss e )(1 )( lim 1 )( lim)(lim)(lim 0 21 00 sG ssR HGG ssR ssEtee k ssst ssr 式中， 为开环传递函数。 HGGsGk 21 )( 显然， 与输入和开环传递函数有关。 ssr e 这时，不考虑扰动的影响。 可以写出随动系统的误差 为 （见右图）： )(sE )(sE)(sR H 2 G 1 G - )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - +)(sE )(sH )(b 3.6.2 稳态误差分析由参

15、考输入信号引起的稳态误差 )(1 )( lim )(1 )( lim 0 00 sG s k sR s sG sR se v s k s ssr 给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数形式的 开环增益k有关；与积分环节的个数有关。 假设开环传递函数 的形式如下：)(sGk )( ) 12() 1( ) 12() 1( )( 0 1 2 1 1 2 1 21 21 sG s k sTsTsT sss s k sG n l lll n j j m k kkk m i i k 式中： 开环放大系数， 积分环节的个数； k nnnmmmG 21210 2,2, 1)0( )( 0 sG开环传递函

16、数去掉积分和比例环节剩余部分。 3.6.2 稳态误差分析 系统的无差度阶数（开环传递函数的型） 通常称开环传递函数中积分的个数为系统的无差度阶数， 并将系统按无差度阶数进行分类。 0当 ，无积分环节，称为0型系统 1当 ，有一个积分环节，称为型系统 2 当 ，有二个积分环节，称为型系统 当 时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制等特 殊系统外， 型及型以上的系统几乎不用。 2 之所以按照积分环节个数 对系统进行分类，是由于 反 映了系统跟踪参考输入的能力，另外，可以根据已知的输入 信号形式，迅速判断系统是否存在稳态误差及稳态误差的大 小。 3.6.2 稳态误差分析开环传递函数的型 k ek

17、skGK ssr s p 1 1 ,)(lim0 0 0 ，时当 0,)(lim1 0 0 ssr s p esG s k K ，时当 稳态误差为零的系统称为无差系统，为有限值的称为有差 系统。在单位阶跃作用下， 的系统为有差系统， 的系 统为无差系统。 01 p s k s k s ssr K sG s k sGsG ssR e 1 1 )(lim1 1 )(lim1 1 )(1 )( lim 0 0 0 0 式中： 称为静态位置误差系数； )(lim 0 sGK k s p q当输入为 时（单位阶跃函数） s sR 1 )( 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 越大， 越 小。所以说

18、 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 p K p K ssr e p K 3.6.2 稳态误差分析单位阶跃函数输入时的稳态误差 q 当输入为 时（单位斜坡函数） 2 1 )( s sR v s k s k s ssr K sG s k sGssG ssR e 1 )(lim 1 )(lim 1 )(1 )( lim 0 1 0 0 0 式中： 称为静态速度误差系数； )(lim 0 sGsK k s v ssr s v esskGK, 0)(lim0 0 0 ，时当 k ekskGK ssr s v 1 ,)(lim1 0 0 ，时当 0,)(lim2 0 0 ssr s v esG s k K，

19、时当 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 越大， 越 小。所以说 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 v K ssr e v K v K 根据 计算的稳态误差是系统在跟踪速度阶跃输入时位置上的 误差。 v K 3.6.2 稳态误差分析单位斜坡函数输入时的稳态误差 q 当输入为 时（单位加速度函数） 3 1 )( s sR a s k s k s ssr K sG s k sGssG ssR e 1 )(lim 1 )(lim 1 )(1 )( lim 0 2 0 2 0 0 式中： 称为静态加速度误差系数； )(lim 2 0 sGsK k s a ssr s a eskGsK, 0)(li

20、m1 , 0 0 )2, 1( 0 ，时当 k ekskGK ssr s a 1 ,)(lim2 0 0 ，时当 0,)(lim3 0 0 ssr s a esG s k K，时当 的大小反映了系统在抛物线输入下的稳态精度。 越大， 越小。所以说 反映了系统跟踪抛物线输入的能力。 a K ssr e a K a K 根据 计算的稳态误差是系统在跟踪加速度阶跃输入时位置上 的误差。 a K 3.6.2 稳态误差分析单位加速度函数输入时的稳态误差 p 当系统的输入信号由位置，速度和加速度分量组成时，即 2 )( 2 Ct BtAtr avp ssr K C K B K A e 1 有： 减小或消除

21、由参考输入信号引起的稳态误差的有效方法是 提高系统的开环放大系数或提高系统的型数。但是这两种 方法都影响甚至破坏系统的稳定性，因而其取值受到系统 稳定性的影响。 3.6.2 稳态误差分析单位阶跃、速度和加速度函数共同输入时的稳态误差 典型输入作用下的稳态误差 上表中，k为开环放大系数（开环传递函数写成时间常数形式时 的开环增益） 3.6.2 稳态误差分析典型输入作用下的稳态误差（总结） 给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不 同的输入，稳态误差不同。 与时间常数形式的开环增益k有关；对有差系统，k，稳 态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。 与积分环节的个数有关。积分环节的个数

22、，稳态误差， 但同时系统的稳定性和动态特性变差。所以型及型以 上的系统几乎不用。 由此可见对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特 性的要求是相矛盾的。 3.6.2 稳态误差分析典型输入作用下的稳态误差（总结） KK eKssGK v ssrk s v 11 ,)(lim 2 0 斜坡输入时 0 1 1 ,)(lim1 1 0 p ssrk s p K esGK，阶跃输入时， a ssrk s a K esGsK 1 ,0)(lim 3 2 0 ，抛物线输入时 典型一阶系统的稳态误差 s K sGk)( )(sY - s K )(sE)(sR开环传递函数为： 3.6.2 稳态误差分析典型一阶

23、系统的稳态误差 典型二阶系统的稳态误差： )2( )( 2 n n k ss sG )2( 2 n n ss - )(sR)(sY)(sE nv ssr n k s v K essGK 21 , 2 )(lim 2 0 斜坡输入时 0 1 1 ,)(lim1 1 0 p ssrk s p K esGK，阶跃输入时， a ssrk s a K esGsK 1 ,0)(lim 3 2 0 ，抛物线输入时 3.6.2 稳态误差分析典型二阶系统的稳态误差 二阶系统引入速度反馈控制时的稳态误差： )2( 2 n n ss s - )(sR)(sC )2( 2 2 nn n ss - )(sR )(sC)

24、(sE )(sE 0 1 1 ,)(lim1 1 0 p ssrk s p K esGK，阶跃输入时， a ssrk s a K esGsK 1 ,0)(lim 3 2 0 ，抛物线输入时 )2( )( 2 2 nn n k ss sG nv ssr nn n k s v K essGK 21 , 2 )(lim 2 2 2 0 斜坡输入时 3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入速度反馈控制时的稳态误差 二阶系统引入比例微分控制时的稳态误差： )2( 2 n n ss s1 - )(sR)(sC )2( )1 ( )( 2 n n k ss s sG )(sE nv ssr n k s v K

25、essGK 21 , 2 )(lim 2 0 斜坡输入时 0 1 1 ,)(lim1 1 0 p ssrk s p K esGK，阶跃输入时， a ssrk s a K esGsK 1 ,0)(lim 3 2 0 ，抛物线输入时 3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入比例微分控制时的稳态误差 二阶系统引入比例积分控制时的稳态误差： sR sY)(sE )2( 2 n n ss -s ki 1 )2( )( )( 2 2 n in k ss ks sG 0 1 ,)(lim 2 0 v ssrk s v K essGK斜坡输入时 0 1 1 ,)(lim2 1 0 p ssrk s p K esG

26、K，阶跃输入时， ina ssr in k s a kK e k sGsK 21 , 2 )(lim 3 2 0 ，抛物线输入时 3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入比例积分控制时的稳态误差 稳态误差比较：典型二阶系统引入速度反馈环节后，跟踪阶跃 信号和加速度信号时与原系统有相同的稳态误差，而跟踪斜坡 信号时的稳态误差比原系统要大。典型二阶系统引入比例微分 环节后不改变原系统的稳态误差。引入比例积分环节后将减小 原系统的稳态误差。 ina ssr v ssr p ssr kK e K e K e 21 0 1 0 1 1 a ssr nv ssr p ssr K e K e K e 1 21

27、0 1 1 a ssr nv ssr p ssr K e K e K e 1 21 0 1 1 a ssr nv ssr p ssr K e K e K e 1 21 0 1 1 原二阶系统 速度反馈 比例微分 比例积分 3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入各种控制时的稳态误差（总结） 通常，给定输入作用产生的误差称为系统的给定误差，扰 动作用产生的误差为扰动误差。 0)(, 0)(sNsR 时产生的 成为扰动误差。（如下图） )()(sHsC )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - + )(sE )(sH )(b HGG G sN sC 21 2 1)( )( HGG

28、 sNG sC 21 2 1 )( )( )( 1 )()()( 21 2 sN HGG HG sHsCsE )( 1 lim)(lim)(lim 21 2 00 sN HGG HG sssEtee sst ssn 可见， 不仅与 有关，还与 有关（扰动点到输 出点之间的那部分前向通道传递函数）。 ssn e )(),(sNsGk)( 2 sG 3.6.2 稳态误差分析扰动作用下系统的误差分析 例子：考虑下面两个系统。 - )(sR )(sN )(sC+ 1 k s k2 1 3 Ts k )(a 图a和图b的开环传递函数是一样的。 ) 1( )( 321 Tss kkk sGk - )(sR

29、 )(sN )(sC+ 1 k s k2 1 3 Ts k )(b 但对于扰动作用，由于扰动点不同，扰动前向通道不同，其扰 动误差是不一样的。 对于给定输入，其稳态误差是一样的（假设输入为阶跃信号）。 0 )(lim1 1 1 1 0 sGK e k s p ssr 3.6.2 稳态误差分析扰动作用下系统的误差分析扰动误差与积分环节的关系 0 )(1 )( lim)(0)( 1 )( 3 0 sG sG seasR s sN k s ssn 得：，由图，设 1 32 0 1 )( )(1 )()( lim)( k sN sG sGsG seb k s ssn 得：由图 若在扰动作用点和偏差点之

30、间增加一个积分环节，可减 小或消除稳态误差。 对于给定输入和扰动作用同时存在的系统，系统的总 稳态误差等于给定误差和扰动误差的迭加（误差点定义在 同一点）。 - )(sR )(sN )(sC+ 1 k s k2 1 3 Ts k )(a - )(sR )(sN )(sC+ 1 k s k2 1 3 Ts k )(b 3.6.2 稳态误差分析扰动作用下系统的误差分析扰动误差与积分环节的关系 例3.6.5速度控制系统的结构图如下图所示。给定输入和扰动作 用均为单位斜坡函数。求系统的稳态误差。 - + )(sR)(sE )(sN )( sN )(sC 1 k ) 1( 2 Tss k 1sT k n

31、 n )(sR)(sE ) 1( 21 Tss kk 解：，、 2 1 )(,)(0)( s sRttrtn即先令1 , )( )( )( 21 2 2 kksTs sTs sR sE s E 2 21 2 2 1 )()()( skksTs sTs sRssE E 2121 2 00 11 lim)(lim kkkksTs Ts ssEe ss ssr 3.6.2 稳态误差分析（例子） 21 2 )( kksTs sTs sC )( 1 )( 21 2 2 sN sT k kksTs sTs sN n n 3、总的稳态误差为： 212121 11 kk k kk k kk e nn ss 2

32、1 2 2 21 ) 1( 1 1 )( )( kksTs sTs Tss kk sN sC 2 1 )(, 0)( s tNsR再令2、 - + )(sR)(sE )(sN )( sN )(sC 1 k ) 1( 2 Tss k 1sT k n n 21 2 21 2 2 00 1 1 lim)(lim kk k ssT k kksTs sTs sssCe n n n ss ssn 3.6.2 稳态误差分析（例子） n 为了减少给定误差，可以增加串联在前向通道中积分环节 的个数（即增加系统的型别）或增大系统的开环放大系数。 n 为了减小扰动误差，可以增加误差点到扰动作用点之间积 分环节个数或

33、放大系数。 n 这两种方法都将影响系统的稳定性，降低系统的瞬态性能。 n 放大系数不能任意增大，积分环节也不能太多（一般少于 2个），否则系统将会不稳定。 3.6.2 稳态误差分析减小或消除稳态误差的措施 比例积分控制器的时域表达式为 t ip dttektektu 0 )()()( s k k sE sU i p )( )( 工程上最常用的方法是将比例积分控制器串联在系统的前向 通道上。积分系数越大，积分作用越强。积分控制作用可以 消除系统的稳态误差；但积分作用太大，会使系统的稳定性 下降。 3.6.2 稳态误差分析减小或消除稳态误差的措施比例积分（PI）控制 以典型二阶系统为例，讨论系统引

34、入比例积分控制后稳态误差 的变化情况 先讨论给定误差。令N(s)=0，为突出讨论积分的作用，可假 设比例系数Kp=1。系统的开环传递函数为 )2( )( )( 2 2 n in k ss ks sG 该系统为型系统，系统的闭环传递函数为 innn in ksss ks sR sY s 22 23 2 2 )( )( )( )( 3.6.2 稳态误差分析减小或消除稳态误差的措施比例积分（PI）控制 由劳斯稳定性判据知，当0ki0，K20， 0时 系统稳定 对不对？ 3.6.2 稳态误差分析减小或消除稳态误差的措施比例积分（PI）控制 由此可见当用 时，才能在保证稳定的前提下使 系统在阶跃扰动作用

35、下的稳态误差为零。 s sK G ) 1( 1 1 s sK G ) 1( 1 1 这个环节称为比例+积分环节或比例+积分控制器(PI控制器)。 ) 1 ( 1 s K s K K 1 1 3.6.2 稳态误差分析减小或消除稳态误差的措施比例积分（PI）控制 复合控制系统：在控制系统中引入与给定作用和扰动作用有关 的附加控制可构成复合控制，可进一步减小给定误差和扰动误 差。 图(a)的误差： )( )()(1 1 )( 21 sR sGsG sE q 顺馈控制系统： )(sR)(sE)(tC )( 1 sG)( 2 sG 图(a) )(sR)(sE)(tC )( 1 sG)( 2 sG )(

36、3 sG )(sB 图(b) 在图(a)的基础上加上环节 ，就构成了顺馈控制系统。)( 3 sG 3.6.2 稳态误差分析复合控制系统的误差分析顺馈控制系统 再来计算图(b)的误差函数 。 )( sE 等效结构图： R 1 G 2 G 1 G 3 G )(sC R 1 G 2 G 1 G 3 G )(sC )(1)()()()(, )( )( )( ssRsCsRsE sR sC s设 21 3221 21 2 31 11 )()( GG GGGG GG G GGs )( 1 1 )() 1 1 ()( 21 32 21 3221 sR GG GG sR GG GGGG sE )()( sEs

37、E显然： 3.6.2 稳态误差分析复合控制系统的误差分析顺馈控制系统 若满足 则 ，即无输入稳态误差，输出完全复 现输入。该式称为给定作用实现完全不变性的条件。 , 1 2 3 G G 0)( sE q 前馈控制系统（按扰动作用的完全不变性条件设计） )(sR )(sN )(sC)(sE )( 3 sG )( 1 sG)( 2 sG - -+ 令 ，由于是单位反馈系统，所以误差 。0)(sR)()(sCsE 未加前馈时， )( 1 )()(, 1)( )( )( 21 2 21 2 sN GG G sCsE GG G sN sC s N 3.6.2 稳态误差分析复合控制系统的误差分析前馈控制系

38、统 加入前馈后，有： )()()()()()()()()()( 21 2132 sGsGsCsGsGsGsNsGsNsC )( )()(1 )()()()( )()( 21 3212 sN sGsG sGsGsGsG sCsE 求得： 显然，)()( sEsE ，0)( )( 1 )( 1 3 sE sG sG则若 这个条件就是对扰动作用实现完全不 变性的条件。 但在实际的系统中，有时 是难以实现的。 可以采取近似的补偿，以减小扰动稳态误差。 )( 1 )( 1 )( 21 3 sGsG sG或 )(sR )(sN )(sC)(sE )( 3 sG )( 1 sG)( 2 sG - -+ 3.

39、6.2 稳态误差分析复合控制系统的误差分析前馈控制系统 例3.6.7如下图所示的复合系统。 ) 1( )(, 1 )( 2 2 2 1 1 1 sTs k sG sT k sG 顺馈补偿环节 。试求位置误差和速度误差。并讨论位 置误差、速度误差与 的关系。 ssG d )( 3 )(sR)(sE)(tC )( 1 sG)( 2 sG )( 3 sG )(sB 解：闭环传递函数为： 21 231 1 )( )( GG GGG s 误差为： 21 32 1 1 )( GG GG sE 3.6.2 稳态误差分析复合控制系统的误差分析（例子） 0 ) 1(1 1 1 lim)(lim 2 2 1 1

40、00 s A sTs k sT k sssEe ss ssr无顺馈时， q 位置误差： s A sRtAtr)(),( 1)( 0 ) 1(1 1 ) 1( 1 lim)(lim 2 2 1 1 2 2 00 s A sTs k sT k s sTs k sssEe d ss ssr 有顺馈时， 3.6.2 稳态误差分析复合控制系统的误差分析（例子） q 速度误差： 2 )(,)( s B sRBttr 21 2 2 2 2 1 1 2 2 00 )1 ( ) 1(1 1 ) 1( 1 lim)(lim kk Bk s B sTs k sT k s sTs k sssEe d d ss ssr

41、 分析： q 当 时，没有顺馈补偿，速度误差等于 。 q 当 时，还有速度误差，但比补偿前要小。 q 当 时，速度误差为零，实现了完全补偿。 当 时，速度误差为负，过度补偿。表示输出量大于要 求值。 0 d 21k k B essr 2 1 0 k d 2 1 k d 2 1 k d 3.6.2 稳态误差分析复合控制系统的误差分析（例子） 用动态误差系数表示系统的稳态误差 前面讨论了控制系统的静态误差系数（静态位置、速度 和加速度误差系数）以及使用这些系数如何计算给定稳态误 差，它们分别是针对阶跃、斜坡和抛物线输入信号而言的。 用静态误差系数求出的稳态误差是一个数值，或为有限值， 或为无穷大，

42、它不能表示稳态误差随时间变化的规律。 下面介绍的动态误差系数法，利用动态误差系数法，可 以研究输入信号为任意时间函数时系统的稳态误差随时间变 化的规律 3.6.2 稳态误差分析用动态误差系数表示系统的稳态误差 其误差传递函数为: )()(1 1 )( )( )( sHsGsR sE s E 考虑到t时的情况，也就是s0的情况。将误差传递函数 在s=0的邻域内展开成泰勒级数 2 . )0( ! 2 1 )0()0()(sssEE EE 误差信号可表示为 )()0( ! 1 )()0( ! 2 1 )()0()()0()( )( 2 . sRs i sRsssRsRsE i i E EE E 3.

43、6.2 稳态误差分析用动态误差系数表示系统的稳态误差 若令 ，210)0( ! 1 )( i i C i Ei 稳态误差的时域表达式可以改写为： 0 )( )()( i i iss trCte )()0( ! 1 )()0( ! 2 1 )()0()()0()( )( 2 . sRs i sRsssRsRsE i i E EE E Ci(i=0,1,2,)称为动态误差系数。可见，稳态误差函数表达 式既与动态误差系数有关，又与输入信号及其各阶导数有 关。习惯上称C0为动态位置误差系数，C1为动态速度误差 系数，C2为动态加速度误差系数。 3.6.2 稳态误差分析用动态误差系数表示系统的稳态误差动

44、态误差系数 稳态误差的时域表达式 )()0( ! 1 )()0( ! 2 1 )()0()()0()( )( )( . tr i trtrtrte i i E EE Ess 这里所谓“动态”两字的含义是指这种方法可以完整描 述系统稳态误差ess(t)随时间变化的规律，而不是指误差信号 中的瞬态分量ets(t)随时间变化的情况，即不应包含的误差信 号中随时间趋于零的分量。此外上面给出的误差级数仅在 t时成立，因此如果输入信号r(t)中包含有随时间趋于零 的分量，则这些分量不应包含在稳态误差级数表达式中的输 入函数及其各阶导数之内。 动态误差系数法特别适用于输入信号和扰动信号是时 间t的有限项幂级数的情况。此时稳态误差函数的幂级数也 只需取有限几项就足够了。 3.6.2 稳态误差分析用动态误差系数表示系统的稳态误差 将误差传递函数写成s有理分式形式（升幂形式），利用 长除法得到各动态误差系数。 n n m m k sasasa sbsbsb s K sHsGsG 2 21 2 21 1 1 )()()( 误差传递函数可写为 ) 1.() 1.( ) 1.( )( 1 1 11 1 1 1 1 1 sbsbsbKsasasas sasasas s m m m m n n n n n n n n E 3 3 2 210 )(sCsCsCCs E 分母多项式除分子