Matlab在分子动力学中的应用——Matlab实现的波包含时演化

1、matlab在分子动力学中的应用matlab实现的波包含时演化第33卷第2期2011年6月湘潭大学自然科学naturalsciencejournalofxiangtanuniversityv0l33no.2jun.2011matlab在分子动力学中的应用matlab实现的波包含时演化许继君,叶叶,闵存高(泰州师范学院,江苏泰州225300)【摘要】使用matlab语言,通过数值求解含时薛定谔方程.计算了几种模型势(一维方势井,谐振子势,双井势)下的波函数随时问演化过程.实践证明,使用matlab语言处理波包的含时动力学问题,程序简洁而高效.所编制的程序具有酱适性.只需稍作修改即可用于真实分子的

2、含时动力学计算.关键词:matlab;波包;含时动力学中图分类号:tp39文献标识码:a文章编号:10005900(2011)02010804applicationofmatlabinmoleculardynamics:thetime.dependentevolutionofwavepacketviamatlabxuji-jun.ye.mincun-gao(taizhouteacherscollege.taizhou225300china)iabstract】thetime-dependentevolutionofwavepacketiscalculatedinseveralmodelpote

3、ntial(suchasonedimensionalbarrierpotential-hamonicoscillatorpotentialanddoublewellpotentia1)byusingmatlablanguage.itisdemonstratedthatmatlabisapowerfullanguageforcalculatingthemoleculartime-dependentdynamics.thepro?gramisuniversa1.useronlyneedalittlemodificationtocalculatetherealmoleculartime-depend

4、entevolution.keywords:matlab;wavepacket;time?dependentdynamics化学反应,在波恩?奥本海默近似下,可以被描述为波包在势能面上的运动.波包在势能面上如何随时间演化,能量在各振动模式问如何传递,波包在势能面的马鞍点如何选择通道以及各通道之间的分支比,这些问题一直是分子动力学研究工作者关注的课题.因为对这些问题的解答,有可能敲开化学家的终极梦想分子剪裁的大门.尤其在飞秒激光成为化学家研究化学反应的工具后,人们真的能够看到实时的波包运动,含时波包动力学的研究越来越炙手可热】.含时波包动力学,归根到底,就是求解含时薛定谔方程:.,2,2ih:(

5、,),:+:一+.d.z,nzm含时薛定谔方程的求解涉及的数学往往比较高深,算法较为繁杂,算法的程序实现,调试也比较复杂,这些对化学工作者尤其是实验工作者构成了较大的障碍.本文采用草稿本式的计算语言matlab,选择一种较为流行的算法分裂算符(splitoperator)方法,计算了波包的一维势垒穿透,波包在谐振子势以及双井势中的运动.结果表明,matlab把化学工作者从繁复的数学中解放出来,抓住物理思想核心,程序编写高效,简单,是研究含时波包动力学的利器.本工作对从事量子力学,量子化学与结构化学的教育工作者也有参考意义.初学量子力学的学生往往难于接受物质波,几率幅这些基本概念,并且会伴随诸如

6、波是如何部分反射部分穿透过去的这一类问题.而由于种种原因,学生在教材中接触到的多是不含时薛定谔方程,定态等概念.如果教师能够让学生看到波函数的真实的运动,必能大大有利于学生摆脱固有的经典概念而加深对量子力学的理解的.?收稿日期:2010一i118基金项目:江苏省现代教育技术研究立项课题(21033)通信作者:许继君(1972一),男,江苏泰州人.博士,副教授.e-mail:jijunxugmail.eom第2期许继君,等matl在分子动力学中的应用1分裂算符方法(splitoperator)含时薛定谔方程的形式解是(t):(1):e.,其中()称为时间演化算符引,.为初始波函数.若我们研究0,

7、t时间范围内的波包演化,把时间轴用n个步长为at的格点表示,nat=t.则:u(t)=e-=f-ihat/he-avhe-ihat/h,其中at内的时间演化算符e-舳,一e-ffat/he,此处近似,y瑚是假设,可以忽略.为了减小,带来的误差,作如下处理:e出一(e-i(va以e-i()(e-i(rae-i(va)=e-i(va以ee州吃.总的时间演化算符可以表示为:e一彬=re一(以e-(rat/)e一(以)fe-i(瞄e(rat/h)e一(以)fe一(l/2e-i(./)e-i(以)1=e一(/2tb-i(仡)e一(瞄)e(i/)e(t/)e一(磁毛/)ef(,e一(al/)e一(也以.(

8、iv一1)ma其中的势能含时演化算符e州)a:e一以m一作用于波函数,因为和()同处坐标空间,可以直接相乘;而动能含时演化算符e-it()t,一:e一0m一作用于波函数,g,nxq,做傅里叶变换,将其转换到动量空间,再与动能演化算符直接相乘,然后将得到的结果再通过傅里叶变换转换回坐标空间圳.2matlab源程序:设定计算中坐标的始末位置和格点数;设定总演化时间及步数步长等;设定初始波函数并归一化;kinetic=一n:n一1pi2/xl2/2;%格点数为2nexpkinetic=exp(一idt.kinetic);设定势能函数potential;exppotential=exp(一i母dt.p

9、otentia1);exppotential2=exp(o.5水i,lcdt.potentia1);exppotentiali2=exp(一0.5idt.potentia1);f0ri=2:niterpsipsi.epotential2:psi=im(psi);%将波函数从坐标空间变换到动量空间psi=psi.ekinetic;%在动量空间直接乘上动能演化算符psi=fit(psi);%将波函数从动量空间变换到坐标空间psi=psi.:.:epote;%在坐标空间乘上势能演化算符endpsi.psi.epotentiali2;3几个计算实例1)一维方势垒一个初始波包,中心位置位于.=一5.5,

10、初始动量p.=2,=()唧(一号(x-xo)2+(x-xo)皂=,计算范,at=0.1a.u,lstep=100.计算所得波函数随时间演化如下图所示:l1o湘潭大学自然科学2011年-20-103.02.52.01.51.00.50.o-20-103.02.52.01.51.00.50.o-20一lo3.02.52.01.51.00.5o.o-20一io3.02.52.01.51.00.5o.0-201o3.02.52.01.51.00.5o.o一20-10图1方势垒下的波包含时演化fig.1thewavepacetevolutionunderthesquarebarrierpotential

11、从图中可以看出,t=20a.u.时,波包到达势垒,并发生反射和透射.并且反射回的波包和入射的波函数发生了干涉.穿越势垒的波包继续弥散化.2)谐振子势势能函数v=0.5,初始波包为高斯线形0=e卜,计算范围:一77,at=0.001a.u.,总0演化时间30a.u.0.8如上图是计算出的波包从初始位置到达最大值开始o.7反弹的第一个半周期的含时演化图景.从计算结果看,在u.u整个演化时间内,波包在势井内做来回周期性震荡,与经典o.4图像相一致.0.33)双势井势一个双井势:v=/241.5x,初始波包为高斯线形0=e一),计算范围:一77,at=0.00loa.u.,总演化时间30a.u.计算所

12、得波函数随时间演化如下图所示:图propagtionofpsi谐振子势下第一个半周期内波包随时间的演化fig.2thewavepacketevolutionundertheharmonicpotentialinthefirsthalfcycle第2期许继君,等matlab在分子动力学中的应用111图3双井势下的波包含时演化fig.3thewavepacetevolutionunderthedoublewellpotential由图中可以看出,因为初始波函数没有初始动量,在势能作用下,向势井左端运动.在到达左势井壁后,发生反弹.到达中间的势垒后,-d部分波函数发生了穿透,大部分波函数再次反弹回头

13、.4结论本文采用分裂算符(splitoperator)方法,以非常简洁的maflab程序,高效可靠地通过数值求解含时薛定谔方程,计算了几个模型势下波函数的随时间演化,并实现可视化.本程序做极小改动即可用于计算真实分子在势能面上的波包演化.多维势能面的情况下,只需要将各个维度的空间格点花即可.研究工作者可以借助本程序,将注意力集中于分子模型的构建,深入研究分子动力学与光谱学中的物理,化学本质,而从繁琐,困难的数学和编程语言中解脱出来.参考文献1】tannordj,ricesa.controlofselectiviiyofchemicalreactionviacontrolofwavepacket

14、evolutionj.journalofchemicalphybjcs,1985.83(io):5ol3-5018.2kosloffr,ricesa,gaspardp.eta1.wavepacketdancing:achievingchemicalselectivitybyshapinglightpulsesj.chemicalpiiy8ics.1989.139(1):20l22o.3mitricr.hartmannm,pitrnerj,eta1.newstrategyforoptimalcontroloffemtosecondpumpdumpprocessesj.journaldfphysi

15、calchemistry,2002,106(44):10477一lo481.4potrered,herekjl,pedersens,eta1.femtoseeondlasercontrolofachemicalreactionj.nature,1992,355(66):558560.5makrin,millerwh.exponentialpowerseriesexpansionforthequantumtimeevolutionoperator【j.journalofcomputationalplays-ics,1989,90(2):904-9l1.6feitmd,fleckja,steige

16、ra.solutionofthesehr0dingerequationbyaspectralmethodj.journalofcomputationalphysics.1982,47:412-433.7ferimd,fleckja,steigera.solutionoftheschrdingerequationbyaspectralmethodii:vihmtioualenergylevdsofatomicmoleculesj.journalofcomputationalphy8ics.1983,78(1):3ol308.8sorevikt,birkelandt,0k茑ag.numericalsolutionofthe3dtimedependentschrodingerequationinsph