13.1线段垂直平分线的性质与判定(第3课时)

1、 问题问题:如图如图,A、B、C三个村庄合建三个村庄合建 一所学校一所学校,要求校址要求校址P点距离三个村点距离三个村 庄都相等庄都相等.请你帮助确定校址请你帮助确定校址. A B C 经过线段经过线段中点中点并且并且垂直垂直于这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这 条线段的条线段的垂直平分线垂直平分线。 垂直平分线垂直平分线: : 图形轴对称的性质图形轴对称的性质: : 如果两个图形关于某条直线对称，那么如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴对称轴是任是任 何一对何一对对应点所连线段对应点所连线段的垂直平分线。的垂直平分线。 类似地，轴对称图形的类似地，轴对称图形的对称轴对称轴，是

2、任何一对，是任何一对对应点对应点 所连线段所连线段的垂直平分线。的垂直平分线。 线段线段垂直平分线垂直平分线上的上的点点与这条线段两个与这条线段两个端点端点的距离相等。的距离相等。 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质: : 证明证明: 直线直线MNAB于于C且且AC=CB， 点点P在在MN上上. 题设：题设： AB P M N C 线段线段垂直平分线垂直平分线上的上的点点与这条线段两个与这条线段两个端点端点的距离相等。的距离相等。 一、线段垂直平分线的性质一、线段垂直平分线的性质: : 结论：结论：PA=PB： ： 直线直线MNABMNAB于于C C，AC=CBAC=CB，点，点P P在

3、在MNMN上上 PA=PBPA=PB 一、线段垂直平分线的性质一、线段垂直平分线的性质: : 数学表达：数学表达： 直线直线MNMN垂直平分垂直平分ABAB，点，点P P在在MNMN上上 PA=PBPA=PB AB P M N C 也可以说：也可以说： P P是线段是线段ABAB垂直平分线上的点，垂直平分线上的点， PA=PB PA=PB 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 还可以说：还可以说： 依据是：依据是： 证明证明: 线段线段垂直平分线垂直平分线上的上的点点与这条线段两个与这条线段两个端点端点的距离相等。的距离相等。 O O

4、 A A B B P P 如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的的“弓弓”，“箭箭”通过木棒通过木棒中央的孔中央的孔射出去，怎样才能保射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒持射出箭的方向与木棒垂直垂直呢？为什么？呢？为什么？ O O A A B B P P PAPAPBPB 如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的的“弓弓”，“箭箭”通过木棒通过木棒中央的孔中央的孔射出去，怎样才能保射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒持射出箭的方向与木棒垂直垂直呢？为什么？呢

5、？为什么？ O O A A B B P P PAPAPBPB 如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的的“弓弓”，“箭箭”通过木棒通过木棒中央的孔中央的孔射出去，怎样才能保射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒持射出箭的方向与木棒垂直垂直呢？为什么？呢？为什么？ O O A A B B P P PAPAPBPB 如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的的“弓弓”，“箭箭”通过木棒通过木棒中央的孔中央的孔射出去，怎样才能保射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒持射出

6、箭的方向与木棒垂直垂直呢？为什么？呢？为什么？ 如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的的“弓弓”，“箭箭”通过木棒通过木棒中央的孔中央的孔射出去，怎样才能保射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒持射出箭的方向与木棒垂直垂直呢？为什么？呢？为什么？ O O A A B B P P 答：当答：当PA=PBPA=PB时，射出的箭时，射出的箭 的方向与木棒垂直的方向与木棒垂直 二、线段垂直平分线的判定二、线段垂直平分线的判定: : 与一条线段两个与一条线段两个端点端点距离相等的距离相等的点点， 在这条线段的在这条线段的垂直平分线垂直平

7、分线上。上。 二、线段垂直平分线的判定二、线段垂直平分线的判定: : 与一条线段两个与一条线段两个端点端点距离相等的距离相等的点点，在这条线段的，在这条线段的垂直垂直 平分线平分线上。上。 证明证明 : : 题设题设 : : CA=CBCA=CB 求证求证 : : C C在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上 证明证明 : : 过 过C作作COAB于于O 则则 AOC= BOC=90 在在 RtAOC和和Rt BOC中，中， AC=BC OC=OC RtAOC Rt BOC（HL） OA=OB 又又COAB于于O C在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上 AB C M N C AB M N 和

8、线段两个端点距离相等和线段两个端点距离相等 的所有点的的所有点的集合集合. 线段的垂直平分线可以看作是线段的垂直平分线可以看作是 已知已知: :如图如图,AC=AD,AC=AD，BC=BDBC=BD， 求证：求证：ABAB垂直平分垂直平分CDCD。 AC=ADAC=AD 点点A A在在CDCD的垂直平分线上（的垂直平分线上（ ） 证明证明: 与一条线段两与一条线段两 个端点距离相等的点，在这条线段的垂直个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上平分线上 同理，同理， BC=BDBC=BD 点点B B在在CDCD的垂直平分线上的垂直平分线上 ABAB垂直平分垂直平分CDCD（两点确定一条直线

9、）（两点确定一条直线） 与一条线段两个与一条线段两个端点端点距离相等的距离相等的点点，在这条线段的，在这条线段的垂直平分垂直平分 线线上。上。 一、线段垂直平分线的性质定理：一、线段垂直平分线的性质定理： PA=PBPA=PB 点点P P在线段在线段 ABAB的垂直的垂直 平分线上平分线上与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点与这线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等 线段线段垂直平分线垂直平分线上的上的点点与这条线段两个与这条线段两个端点端点的距离相等。的距离

10、相等。 二、线段垂直平分线的判定性质二、线段垂直平分线的判定性质 : : 三、关系：互逆三、关系：互逆 问题问题:如图如图,A、B、C三个村庄合建三个村庄合建 一所学校一所学校,要求校址要求校址P点距离三个村点距离三个村 庄都相等庄都相等.请你帮助确定校址请你帮助确定校址. A B C P 点点P为校址为校址 A C 例例 已知已知:如图如图 ABC中中,边边AB、BC的的 垂直平分线相交于点垂直平分线相交于点P. 求证求证:PA=PB=PC. PA=PB(线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点距离相等和这条线段两个端点距离相等) 证明证明: 点点A在线段在线段 AB的垂

11、直平分线上的垂直平分线上( 已知已知) 同理同理 PB=PC PA=PB=PC. A C B M P N M/ N/ 已知：如图，已知：如图，ABCABC中，中，AC=16cmAC=16cm，DEDE 为为ABAB的垂直平分线，的垂直平分线， BCEBCE的周长为的周长为 26cm26cm，求，求BCBC的长。的长。 做一做做一做 解解: DEDE是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线 EA=EB(EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）段的两个端点的距离相等） BCEBCE周长周长=CE+EB+BC=CE+EB+BC 又又AC=CE+EA=CE+EBAC=CE+EA=CE+EB BC= BC=BCEBCE周长周长-(CE+EB)-(CE+EB) = =BCEBCE周长周长-AC-AC =10cm =10cm 解解: 做一做做一做 已知：如图，已知：如图，P P为为MONMON内一点，内一点，OMPAOMPA 于于E E，ONPBONPB于于F F，EA=EPEA=EP，FB=FPFB=FP，若，若ABAB 长为长为15cm15cm，求，求PCDPCD的周长。的周长。 OMPAOMPA于于E E，EA=EPEA=EP，点，点C C在在OMOM上，上， CA=CP(CA=CP(线段垂直平分线上的点与这条线线段