重积分的计算方法

1、重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数 f（ x,y），三元函数（ fx,y,z）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分） 和空间域（三重积分） 。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较 繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。 通过在图书馆查阅资料、 以及老师的指点， 重积分的计算方法还是有规律可循的。 为了更好的应用重积分， 本人结合前人的经验， 在这 里介绍几种常用的重积分计算方法， 以及一些小技巧。 着重介绍累次积分的计算与变量代换。 一 二重积分的计算 1常用方法（1）化累次积分计算法

2、对于常用方法我们先看两个例子通过对于重积分的计算主要采用累次积分法， 即把一个二重积分表达为一个二次积分， 两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域 D 的草图；第二步：按区域 D 和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简， 有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来” ，而对另一种 次序却“积不出来” 。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。选择积分次序的原则是： 尽可能将区域少分块，以简化计算

3、过程； 第一次积分的上、下 限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时， 求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。 从而适当地在计算重积 分时， 求积的困难来自两个方面， 除了被积函数的原因以外还在而且， 有时候其积分区域往 往成为困难的主要方面。利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。(3) 极坐标变换公式(主要是 f(x,y)dxdy= f(pcos ,psin)pdpd面看一个例子：如能计算二重积分时， 要从被积函数和积分域两

4、个方面来考虑如何适当地选择坐标系， 采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。从积分域来考虑，一般情况下，圆形、 扇形或者环形可以选用极坐标。（4）对称法第四种对称法为轮换对称，它在应用中十分重要，下面详细介绍： 首先所谓轮换对称性就是，如果把f(x,y) 中的 x 换成 y，y 换成 x 后， f(x,y) 的形式没有变化，就说 f(x,y) 具有轮换对称性。 例如 x2+y2 有轮换对称性， 而 2x+3y 没有轮换对称性 (因为换 完后是 2y+3x ，和原来的不一样 )。下面说明轮换对称性在二重积分中的应用，我们知道二 重积分的积分区域的边界可以用 方程 f(x,y)=0 表示，如

5、果这里的 f(x,y) 具有轮换对称性，那 么被积 函数中的 x 和 y 互换后积分结果不变。例如 x2dx，dy积分区域为圆周 x2+y2=1 ， 由于轮换对称性可知 x2dxdy= y2d这x就dy是( 把被积函数中的x 换成了 y) ，因此积分=(1/2) 2x2dxdy=(1/2) (x2+，y再2)用dxd极y 坐标 计算就简单多了。下面举几个例子：对称法就是利用区域和被积函数的对称性简化积分。在做题时， 先考虑区域和被积函数有无对称性， 有时一看就知道积分为零， 有时可使积分化 简。否则的话，就会把时间花在无谓的计算上，有时不仅仅“得不偿失” ，而且往往是“有 失无得”。利用区域和

6、被积函数对称性简化积分的方法可以总结为： 设域 D 关于 x 轴对称， x 轴上方部分为 D1，下方为 D2， 设域 D 关于 y 轴对称， y 轴右边的部分为 D1,左边的部分为 D2 ，（4） 特例当积分区域是一矩形，被积函数可以分离成只含 x 的函数和只含 y 的函数相乘时二重积分 可作两个定积分相乘。三重积分三重积分概念可以看作是二重积分概念的直接推广， 它的计算也是化为累次积分， 适当 地选择变量代换可使三重积分容易计算。 与前面二重积分情况相同， 三重积分也可以应用对 称法计算，即一般地，若区域 D 关于 yoz 平面对称，被积函数关于 x 是奇函数，则三重积 分必为零，类似地还可推出其它各种对称情况的三重积分。计算三重积分的一般步骤为：1画出空间域 D 的草图；2根据被积函数和积分域 D选择适当的坐标和累次积分的次序， 并将域 D 用相应的双边不 等式组表示； 3完成累次积分的计算。这里， 画好图形是计算的关键， 因为积分变量变化的范围就是从图形上看出来的， 于是 也就顺利地写出了积分限。 其中柱坐标系中的定限化为平面直角坐标系的定限， 球坐标中定 限化为平面极坐标系的定限。 可以说，三重积分的计算方法可由二重积分推广过来，不