随机过程试题及答案

1、1设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，则 X 的特征函数为 。2设随机过程 X(t)=Acos( t+ ),- t 其中 为正常数， A 和 是相互独 立的随机变量，且 A 和 服从在区间 0,1 上的均匀分布，则 X(t) 的数学期望 为。3强度为的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。4设 Wn,n 1 是与泊松过程 X(t),t 0 对应的一个等待时间序列，则 Wn 服 从 分布。2.设X(t), t 0是独立增量过程 , 且 X(0)=0, 证明 X( t ), t 0是一个马尔科夫 过程。5袋中放有一个白球， 两个红球， 每隔单位时间从袋中任取一球，

2、 取后放回， 对每一个确定的 t 对应随机变量 X(t)3, 如果 t时取得红球 ，则 这个随机过et,如果 t时取得白球程的状态空间 。6 设马氏链的一步转移概率矩阵 P=(p ij ) ， n步转移矩阵 P(n) (pi(jn) ) ，二者之间 的关系为 。7设 Xn,n 0 为马氏链，状态空间 I ，初始概率 pi P(X 0=i) ，绝对概率 pj(n) P X n j ， n步转移概率 pi(jn) ，三者之间的关系为。8 设 X(t),t 0 是 泊 松 过 程 ， 且 对 于 任 意 t2 t1 0 则P X (5) 6| X(3) 4 3.设 Xn,n 0 为马尔科夫链，状态空

3、间为 I ，则对任意整数 n 0,1 l n和i, j I ， n 步转移概率 pi(jn)pi(k )p(knj- ) ，称此式为切普曼科尔莫哥洛夫方程，kI9更新方程 K t H tKts dF s 解的一般形式为证明并说明其意义10记EXn,对一切 a 0，当t时， M t +a M t得分评卷 人、证明题(本大题共4 道小题，每题 8 分，共 32 分)1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BC A)=P(B A)P(C AB) 。4. 设 N(t),t 0 是强度为 的泊松过程， Yk,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变2 分钟内到达的顾N(t)量，且与

4、 N(t),t 0 独立，令 X(t)= Yk,t 0 ，证明：若 E(Y 12 ) ，则k=12. 设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 客不超过 3 人的概率。E X(t) tE Y1得分评卷 人计算题(本大题共4 道小题，每题 8 分，共 32 分)3. 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨 而明天也下雨的概率为 ，而今天无雨明天有雨的概率为 ；规定有雨天气为1/32/301. 设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为 P 1/ 302/ 3 ，求其平稳分布01/32/3状态 0，无雨天气为状态 1。设 0.7, 0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨

5、的 概率。6 分）得分评卷 人四、简答题（本题简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系4. 设有四个状态 I= 0，1，2，3 的马氏链，它的一步转移概率矩阵14 14 14 140001）画出状态转移图；）对状态进行分类；）对状态空间 I 进行分解一填空题1为e (eit -1) 。21 (sin(2t+1)-sint) 。 345 12t, t,L332;e,e L 。6 P(n)Pn。 7 pj(n)(n) pi pi(jn) 。iI818e 6 9。 Kt H ttKts dM s10. a04.证明：由条件期望的性质 E X(t) E E X(t) N(t) ，而N(t)E

6、 X(t) N(t) n EYi N(t) ni=1n=EYi N(t)i=1nn =EYi = nE(Y 1) ，所以 E X(t)i=1tE Y1二证明题1.证明：左边 = P(ABC) P(ABC) P(AB) P(C AB)P(B A)=右边P(A) P(AB) P(A)2.证明：当 0 t1 t2 L tn t时， P(X(t) x X(t 1)=x 1 ,X(t 2)=x2,L X(tn)=xn)=P(X(t)-X(t n) x-xn X(t1)-X(0)=x 1,X(t 2)-X(0)=x 2,L X(t n)-X(0)=x n)=P(X(t)-X(t n) x-x n ) ，又

7、因为 P(X(t) x X(t n)=x n )= P(X(t)-X(t n) x-xn X(t n )=x n )P(X(t)-X(t n) x-x n ) ，故 P(X(t) x X(t 1)=x 1 ,X(t 2 )=x 2 ,L X(t n )=x n ) =P(X(t) x X(t n)=xn)3.证明： Pi(jn) P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j, UX(l)=k X(0)=i =kIP X(n)=j,X(l)=k X(0)=ikI= P X(l)=k X(0)=i gP X(n)=j X(l)=k,X(0)=i = Pi(kl) Pk(jn-l) ，其意义为

8、n 步转 kI三计算题(每题 10 分，共 50分)1. 解：解方程组P和1，即1111233212 1 32 3 1 3 3223 2 33 3 2 3 31 2 3 1124 解得 1 7, 2 7, 3 7 ，故平稳分布为2.解：设P N(2)移概率可以用较低步数的转移概率来表示N(t),t3P3.解：由题设条件，P(2) PP= 0.610.52是顾客到达数的泊松过程，得一步转移概率矩阵为2，故P1,2,47,7,7N(2)=kN(2)=2 +P N(2)=3-4 ep00p010.70.3P= 00p10p110.40.6N(2)=0 +P N(2)=1 +PP(2) P(2)4e-4是0.39 ，四步转移概率矩阵为 P(4)0.48而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为P0(04) 0.5749 。(4) k e-4 k!0.57490.5668，则8e-4 32e-430.4251，从0.433271 -4e34.解：（1）图略；（2） p33 1,而P30, P31, P32均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态, 记C产3 ; 0, 1两个状态互通