系统的稳定性及其判定罗斯阵列

1、6-6 系统的稳定性及其判定所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性，所以对系统稳定性的研究十分重要。本 节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。、系统稳定性的意义若系统对有界激励 f(t) 产生的零状态响应 也是有界的， 即当 时，若有(式中和 均为有界的正实常数 ) ，则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时， “稳定”的定义不尽相同。这里的定义是“有界输入、有界输出”意 义下的稳定。，否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。可以证明，系统具有稳定性的必要与充分条件，在时域中是系统的单位冲激响应 h(t) 绝对可积，即 ( 6-36)证明 设激励 f(t) 为有界，即式中， 为有界的正实

2、常数。又因有故有(6-37)由此式看出，若满足 2时，系统是否稳定，还须排出如下的罗斯阵列。设阵列中第 1、第 2 行各元素的意义不言而喻，第3 行及以后各行的元素按以下各式计算：则罗斯阵列的排列规则如下 (共有 n+1 行)：如法炮制地依次排列下去，共有 (n+1) 行，最后一行中将只留有一个不等于零的数字。 若所排出的数字阵列中第一列的 (n+1) 个数字全部是正号， 则 H(s) 的极点即全部位于 s 平面的左半开平面，系统就是稳定的；若第一列 (n+1) 个数字的符号不完全相同，则符号改 变的次数即等于在 s 平面右半开平面上出现的 H(s) 极点的个数，因而系统就是不稳定的。在排列罗

3、斯阵列时，有时会出现如下的两种特殊情况：(1) 阵列的第一列中出现数字为零的元素。此时可用一个无穷小量( 认为是正或负均可 ) 来代替该零元素，这不影响所得结论的正确性。(2) 阵列的某一行元素全部为零。当 D(s)=0 的根中出现有共轭虚根 时，就会 出现此种情况。此时可利用前一行的数字构成一个辅助的 s 多项式 P(s) ，然后将 P(s) 对 s 求导一次，再用该导数的系数组成新的一行，来代替全为零元素的行即可；而辅助多项式P(s)=0 的根就是 H(s) 极点的一部分。例 6-22 已知 H(s) 的分母 D(s)=s4+2s3+3s2+2s+1 。试判断系统的稳定性。 解：因 D(s

4、) 中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：可见阵列中的第一列数字符号无变化， 故该 H(s) 所描述的系统是稳定的， 即 H(s) 的极 点全部位于 s 平面的左半开平面上。例 6-23 已知 。试判断系统的稳定性。解：因 中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：可见阵列中的第一列数字符号有两次变化，即从 +2变为-2 ，又从-2 变为+21。故 H(s) 的极点中有两个极点位于 s 平面的右半开平面上，故该系统是不稳定的。例 6-24 已知 。试判断系统是否稳定。解： 因 D(s)=s5+2

5、s4+2s3+4s2+11s+10 中的系数均为大于零的实常数且无缺项， 满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：4 行的第一个元素成为 (- ) ，使阵列无由于第 3 行的第一个元素为 0，从而使第法继续排列下去。对于此种情况，可用一个任意小的正数 来代替第 3 行的第一个元素 0， 然后照上述方法继续排列下去。 在计算过程中可忽略含有 , 的项。最后将发现， 阵列第一列数字符号改变的次数将与无关。按此种处理方法，继续完成上面的阵列：可见阵列中第一列数字的符号有两次变化， 即从 变为,又从变为 6。故 H(s)的极点中有两个极点位于 s 平面的右半开平面上，故系统是不稳定的。例

6、6-25 已知 。试判断系统的稳定性。解： 因 中无缺项且各项系数均为大于零的实常数， 满足系 统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下： 可见第 4 行全为零元素。 处理此种情况的方法之一是： 以前一行的元素值构建一个 s 的多项 式 P(s) ，即 将式(6-41) 对 s求一阶导数，即 现以此一阶导数的系数组成原阵列中全零行 ( 行) 的元素，然后再按原方法继续排列下去。可见阵列中的第一列数字符号没有变化，故 H(s) 在 s 平面的右半开平面上无极点，因而系 统肯定不是不稳定的。但到底是稳定的还是临界稳定的，则还须进行下面的分析工作。令解之得两个纯虚数的极点：。这说明系统是临界稳定的。实际上，若将 D(s) 分解因式，即为可见 H(s)共有 4个极点： ,位于 轴上； ，位于 s 平 面的左半开平面。故该系统是临界稳定的。例 6-26 图 6-38 所示系统。试分析反馈系数 K 对系统稳定性的影响。图 6-38解：解之得欲使此系统稳定的必要条件是 中的各项系数均为大于零的实常数，故应有 K-1 。但此条件并不是充分条件，还应进一步排出罗斯阵列如