线弹性断裂力学资料

1、线弹性断裂力学1、概念：断裂力学 ：断裂力学是以变形体力学为基础，研究含缺陷(或者 裂纹)材料和结构的抗断裂性能， 以及在各种工作环境下裂纹的平衡、 扩展、失稳及止裂规律的一门学科。线弹性断裂力学 ：应用线弹性理论研究物体裂纹扩展规律和断裂 准则。2、材料缺陷实际构件存在的缺陷是多种多样的，可能是冶炼中产生的夹渣、 气孔，加工中引起的刀痕、 刻槽，焊接时产生的裂缝、 未焊透、气孔、 咬边、过烧、夹杂物，铸件中的缩孔、疏松，以及结构在不同环境中 使用时产生的腐蚀裂纹和疲劳裂纹。 在断裂力学中， 常把这些缺陷都 简化为裂纹，并统称为“裂纹” 。3、裂纹的类型(1)、按照裂纹的几何特征分类(a) 穿

2、透裂纹 ：厚度方向贯穿的裂纹。(b) 表面裂纹 ：深度和长度皆在构件的表面， 常简化为半椭圆裂纹。(c) 深埋裂纹 ：裂纹的三维尺寸都在构件内部， 常简化为椭园裂纹。2)按照裂纹的受力和断裂特征分类(a) 张开型：(型， opening mode ，or tensile mode ) 特征：外加拉应力垂直于裂纹面，也垂直于裂纹扩展的前沿线。在外 力的作用下，裂纹沿原裂纹开裂方向扩展。(b) 滑开型：(型 , sliding mode, or in-plane shear mode)特征：外加剪应力平行于裂纹面，但垂直于裂纹扩展的前沿线。在外 力的作用下，裂纹沿原裂纹开裂方向成一定角度扩展。(c

3、) 撕开型：( 型, tearing mode, or anti-plane shear mode) 特征：外加剪应力平行于裂纹面，也平行于裂纹扩展的前沿线。使裂 纹面错开。在外力的作用下，裂纹基本上沿原裂纹开裂方向扩展。 型是最简单的一种受力方式， 分析起来较容易， 又称反平面问题。(d) 混合型： ( 或复合型， mixed mode ) 经常是拉应力与剪应力 同时存在，实际问题多半是， 等，从安 全的角度和方便出发，将混合型问题常做简化看成型处理。 (3)按裂纹形状分类根据裂纹的真实形状，一般可以分为圆型、椭圆型、表面半圆型、表面半椭圆型，以及贯穿直裂纹等。4、裂纹对材料强度的影响具有裂

4、纹的弹性体受力后， 在裂纹尖端区域将产生应力集中现象。受拉板，若无裂纹时，它的应力流线是均匀分布；当存在一个裂纹时，应力流线在裂纹尖端附近高度密集，但这种集中是局部性的，离开裂纹尖端稍远处，应力分布又趋于正常现考虑一“无限大”薄平板，承受单向均匀拉应力作用，板中存在贯穿椭圆型切口，其长轴 2a，短轴 2b。根据弹性力学讨论，最大拉应力发生在椭圆长轴端点 A（或 A ） 处，其值为y max (1 2 ba)b2该点处曲率半径b ，得椭圆裂纹处最大应力又可以写为 a( y )max (1 2 )由固体物理知识，固体材料的理论断裂强度值为tE t b0式中E材料弹性模量；固体材料的表面能密度；b0

5、固体材料的原子间距m为理论断裂强度，代表晶体在弹性状态下的最大结合力2xm sin式中 正弦曲线的波长x 原子偏离平衡位置的位移如果原子位移很小，则2xsin2x，则2x由于我们研究的是弹性状态下晶体的破环，当原子偏离平衡位置的位移很小时，由胡可定律得E Exb0式中 弹性应变b0原子间平衡时的距离则mEb0晶体脆性断裂时所消耗的功用来供给形成俩个表面所需要的表面 能，则U002 m sin 2 x dx m 2式中 为裂纹表面上单位面积表面能则 2 ，得 mmb0按照传统强度观点，当切口端点处最大应力达到材料的理论强度当存在理想尖裂纹时，0则 c0 ，说明，不管应力多大时，材料断裂，即y m

6、ax t因为 a1，故得临界应力Ec b0E14ab0都断裂，显然与事实不符。 这一疑问的答案正是连续介质力学与弹性 理论的界限，因为固体是由原子组成，因此，当固体材料中的缺陷是尖端裂纹缺陷时，就可用原子间距 b0 代替裂纹尖端曲率半径，得E 4a研究表明，当表面能与裂纹长度取下面的取值时0.01b0E2a 5000b0则其断裂应力比材料的理论值降低约 100 倍。这就从应力集中观 点解释了固体材料的实际断裂强度远低于其理论强度。 当设计的最大 应力达到断裂极限 c 时，裂纹开裂，使裂纹长度 2a增加，这样又将 使断裂极限降低，则裂纹继续扩展，最后导致整个固体材料断裂，所 以它是裂纹失稳扩展的

7、条件。5、探伤结果与裂纹尺寸的换算E由公式 c 可以看出，要确定出断裂极限，还需要知道裂 4a纹扩展所需的表明能， 以及已有裂纹的长度。 裂纹的长度通常需要利 用无损检测的方法来确定，目前流行的无损探伤技术有超声波探伤、 磁粉探伤和荧光粉探伤技术。在测量裂纹长度时以下几点需要引起足够的重视：一、对确定的探伤设备及方法， 有最小可识别缺陷的限制， 设为 a0 因此，应假设结构中有尺寸为 a0 的初始缺陷。二、将探伤结果与解剖后实测缺陷尺寸对比，可大致得到经验探 伤结果与真是缺陷的换算比。 如超声探伤， 实际缺陷面积是探伤面积 的 23 倍。三、此外还应引入安全系数。6、 Griffith 理论G

8、riffith 研究了如图所示厚度为 B 的薄平板。 上、下端受到均匀拉 应力作用，将板拉长后，固定两端。由 Inglis 解得到由于裂纹存在而 释放的弹性应变能为a2 2B2 A2平面应力UE 4EB另一方面， Griffith 认为，裂纹扩展形成新的表面，从而表面能 增加，则俩个自由表面总的表面能(即裂纹表面能)为：S 2 A其中： 为单位面积上的表面能，裂纹面积 A 2aB 。裂纹表面能： 形成新的裂纹表面所需要的能量。由能量守恒，薄板产生裂纹所释放的弹性应变能转化为裂纹表面能。如果应变能释放率 dU ，等于形成新表面所需要吸收的能量率dAdS ，则裂纹达到临界状态； 如果应变能释放率

9、dU 小于吸收的能量率dA dAdS ，则裂纹稳定；如果应变能释放率 dU 大于吸收的能量率 dS ，则dA dA dA裂纹不稳定。因此可以得到如下表达式ddA (U S) 0 临界状态dd (U S) 0 裂纹稳定dAdddA(U S ) 0 裂纹不稳定以平面应力为例，来考虑临界状态：d (U S) 0 ，即 d ( A dA ，即 dA 4EB2A )4EB 20 ，( 式)注意：这里的 为设计应力，此时我们可以得到断裂强度（即临界应力）为：同时：也可以给出裂纹的临界尺寸：ac2E2理论得到的c 2E，和前面的得到的E b0Ec12a4ab这 里 将 Griffith做一比较，两式左边相同

10、，所以：2E E ，得到a4ab08 b00结论：当裂纹尖端的曲率半径满足80b0 时，两种结果相当近似，往往把满足该条件的裂纹成为Griffith 裂纹。缺点： Griffith 理论研究的仅限于材料时完全脆性的情况，而绝大多数金属材料断裂前裂尖存在塑性区域，不能应用该理论。7、Orowan 理论在 Griffith 理论提出 30 年之后，Orowan 对金属材料裂纹扩展的研 究发现，提供裂纹扩展的弹性应变能不仅用于形成新的表面， 还用于 引起塑性变形所需的能量，即“塑性功” 。塑性功率：裂纹扩展单位面积时，内力对塑性变形做“塑性功” ，称为“塑性功率”，用 表示。则总塑性功为2 A 。据

11、此可得：得临界应力2AU 2EB(2)2E( )及裂纹临界尺寸 ac2E( )2。简化： 对于金属材料，通常 比 大三个数量级，因而 可忽临界应力略不计。因此上面的式子可以写为：2E ac2 。小结：理论断裂强度推出Griffith 断裂极限Orwan 断裂极限cE c 4a2Ec ca2E ca1得出断裂强度与 a2 成反比解释了玻璃、陶瓷等脆 性材料的断裂。该理论考虑的裂纹在扩 展过程中的塑性功，适 用于大多数金属材料的 断裂分析注：这些是基于平面应力问题，对于平面应变问题，只需将 E 变E为 2 即可。18、能量释放率及其断裂判据从能量守恒和功能转换关系来研究裂纹扩展过程，由此可以更清楚

12、地揭示断裂韧性的物理意义。断裂韧性： 表征材料阻止裂纹扩展的能力，是度量材料的韧性好坏的一个定量指标。当裂纹尺寸一定时，材料的断裂韧性值愈大，其裂纹失稳扩展所需的临界应力就愈大； 当给定外力时， 若材料的断裂 韧性值愈高，其裂纹达到失稳扩展时的临界尺寸就愈大。设有一裂纹体，其裂纹面积 A，若其裂纹面积扩展了 dA ，在这个 过程中载荷所做的外力功为 dW，体系弹性应变能变化了 dU，塑性 功变化了 d，裂纹表面能增加 dS。如果不考虑热功间转换，则由能 量守恒和转换定律，得合外力所做的功等于系统内能的改变量。dW dU d dS式中 d与dS表示裂纹扩展 dA 时所需要的塑性功和裂纹表面能 （

13、对于金属材料，通常 比 大三个数量级， S 可以相对于 项略 去不计），它们可以视为裂纹扩展所需要消耗的能量，也即阻止裂纹 扩展的能量。记裂纹扩展 dA 时弹性系统释放（耗散）的能量（势能） 为- ddW dU ，则有- d dW dU d dS 裂纹扩展能量释放率： 定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能 量为裂纹扩展能量释放率，用 G 表示，则有WUGAAA它表示系统势能的减少，假设裂纹体的厚度为 B，裂纹长为 a,则1dA=Bda，上式变为： G。裂纹扩展阻力率： 定义裂纹扩展单位面积所需要消耗的能量为裂S 纹扩展阻力率，用 R或GC 表示，则 R GC，则材料一AA定，上述 R或GC 为

14、常数，称为材料的断裂韧度。可实验测得。当 G 达到 GC 时，裂纹将失去平衡，开始失稳扩展。所以能量释 放率断裂依据为 G GC 。9、G 的表达式(一)恒位移情况2a弹性体受载荷 P用，产生位移后，固能量封闭系统。则 d=0，dW=0，以GI( AAU ) 或GI - 1(定上下U) a系统释放的应变能用于推动裂纹扩展，因此，裂纹扩展的能量释放率就是弹性体的应变能释放率。在线弹性情况下：1U 2 P ，又知 cP ，式中 c 为弹性体的柔度，它是裂纹长度 a 的函数，即 c=c(a)1111则 dUPd dP PcdPP2dc2222d Pdc cdP因此断裂韧度可计算为：GI( U ) 1

15、P2 c A A 2 A12BP210、G 表达式(二)恒载荷情况弹性体受不变的载荷 P 作用，裂纹扩展位移变化为变能的变化为载荷不变 (dP=0),dU 1Pd1P(Pdc cdP) 1 P2dc22 2外力功改变为 dW PdP2dc 2dU因此断裂韧度可计算为GIWUU 12 c12 c( )P P PA AAAP 2 A2B a小结：恒位移情况恒载荷情况UGIA ( UA )1 2 c 1 2 c P2P 22 A 2B aWUUGI W U ( U ) P IAAAA P1 2 c1 2 cP 2P22A2Ba比较位移恒定与载荷恒定情况下推导的断裂韧度，发现：U U1 2 cGI（-

16、 U ） （ U ） P 1 P2 cA A A 2B a 该式表明：恒位移或恒载荷情况下， GI 可以有统一的表达式， 它反映了裂纹扩展能量释放率与试件柔度之间的关系，成为 Irwin-Kies 关系。11、平面问题（应力应变与 z轴无关，只是平面 x，y 坐标的函数）xy X 0俩个平衡方程：xyy xy Y 0yx三个几何方程：u x v yxyuvyx三个物理方程：xy1(E ( x1(E ( y1 G xyy)x)用应力表示的相容方程：（2xy) 0在弹性力学中，引入艾里应力函数 ，使得应力函数满足相容方程协调方程） 、应力边界条件和位移边界条件双调和方程）平面应力（应力二维 z 0

17、 ）与平面应变（应变二维 w z 0 ） 问题的异同应力、应变、位移的差别。12、复变函数求解平面问题很多带裂纹的弹性体问题，用复变函数解决更方便。定义一个应 力函数 Z（z） ReZ iImZ ，其中 z x iyZ若Z为 解析函 数， 那么导 数 z 必定 能够确 定从而导 出Cauchy-Riemann条件：ReZxImyZ Re Zz yzIm ZReZ I ZImxy z采用Westergaurd应力函数，ReZ yI mZ ，dZ dZ dZ 其中 Z ， Z ， Z 其中 dz ， dz ， dz 根据Cauchy-Riemann方程有2ReZ2I mZ 0说明Westergau

18、rd 应力函数 自动满足协调方程 得应力分量：x ReZ yI mZy ReZ yI mZxyyReZ将应力分量代入物理方程，并利用几何方程，可得 平面应变：平面应力：13、型裂纹如图考虑一个无限大平板，裂纹长 2a，在无限远处作用双向均匀拉应力 。此问题边界条件：在裂纹上无外力作用，即在y=0， x a 处，y xy 0 ；在无穷远处，即 z 处，,0y xy选取函数 Z(z) 为 Z z 2 z 2Z 2 a2此函数满足边界条件。为方便计算，坐标代换： z a ，即相当于把坐标原点移在了右顶点上。所以：a f aZ2aaf 式中 f2aa ；在裂纹右尖端附近，即当0 时， f 有极限值，并

19、等于一常数。令 lim0 f lim0 Z 2 ，其中 K 称为应力强度因子。 应力强度因子 是表征裂纹尖端附近应 力场的一个有效参量， 可以作为判断裂纹是否将进一步进入失稳状态的一个指标。在裂纹尖端附近， 在很小的范围内， K 为2Z代入 Z 中得22aaa2 Z 是在裂纹尖端处存在的极限；若只考虑裂 纹尖端处附近的一个微小区域，则近似地成立以下关系：K 2 Z 即 Z2K以极坐标表示复变函数 ：rei r cos i sin考虑到 e i cos n i sin n ，则cos i sin2 r 2 2而 dZ K13d 2 232K12 232r21 cos3 i sin322并考虑到

20、y r sin ，便得到裂纹尖端附近应力场和位移场表达式K cos3 cos 1 sin sin2 r 2 2 2K3 cos 1 sin sin式）2 r 2 2 2 K3 xy cos sin sin xy 2 r 2 2 2 xz yz 0 x x y （ 平面应变 ） z 0（ 平面应力 ）对于无限大板中心裂纹受双向拉应力作用情况，有对于型裂纹，是关键性的应力，在裂纹延长线上，0 ，则13、型裂纹型裂纹问题所受的是均匀剪应力作用，如图所示边界条件：在裂纹面上无外力作用，即 y=0， x a，应力为 0；无 穷远处，只有剪应力作用。选取满足边界条件的用力函数为：1z2 a 2 2为方便计

21、算，坐标代换： z a，即 z a；相当于把坐标原点移在了右顶点上。所以：a f a 1Z 1 1 式中 f 1 2 22a 2 2 2 2a 2 在裂纹右尖端附近，即当 0 时：Z lim0 2 12 2 121得 K lim 2 2 Z ；则在裂纹尖端有 K lim 2 2 a12a 214、型裂纹。III型裂纹问题与 I 、II型不同，它是反平面问题。 裂纹面沿 z轴错开，只有z方向有位移。选取满足边界条件的函数为 Zz1 z2 a2 2为方便计算，坐标代换： z a，即 za ；相当于把坐标原点移在了右顶点上。所以：a f a 1Z 1 1 式中 f 1 2 22a 21 2 212a

22、 12在裂纹右尖端附近，即当 0 时：Z lim0 2 2 2 21得 K lim 2 2 Z ；则在裂纹尖端有 K lim 212a 215、应力强度因子断裂判据参量 K 、K 、 K 分别称为、型裂纹尖端应力场强度 的因子，简称应力强度因子。 应力强度因子 是表征裂纹尖端附近应力 场的一个有效参量， 可以作为判断裂纹是否将进一步进入失稳状态的 一个指标。它是控制了裂纹尖端应力、 应变场，是表示场强的物理量。在工程构件内部，型裂纹是最危险的，实际裂纹即使是复合型 裂纹，为了更加安全也往往把它看作型裂纹处理，因此，我们的重 点将是型裂纹。由此可见， K 随着应力增大 （或裂纹扩展） 将不断增大

23、， 当 K 增 大到足以使裂纹前端材料分离从而裂纹发生失稳扩展时， 就称为到达 临界状态。标记该临界值为 K c ，则该临界值表征了材料阻止裂纹扩 展的能力，是材料抵抗断裂的一个韧性指标，成为 断裂韧性 。因此，脆性断裂的应力强度因子判据可以表示为 K K c（1）断裂韧度 K c 与试件厚度 B的关系2）断裂韧度 K c 与材料屈服强度的关系而降低材料的断裂韧度。Kc裂纹临界尺寸：实验表明：材料的断裂韧度还依赖于温度、加载速度、环境、金 属合金纯度以及裂纹尖端区域的冶金性质。如：提高金属合金纯度， 对强度影响不大，但往往能提高断裂韧度。应力强度因子 K及断裂韧度的量纲为 力 长度 - 23

24、，工程单位 kg mm2 ， 国际单位 MN m 2 或 MPa m 。建立了断裂判据，就可以分析问题了。但应用“ K判据”有 2个基础工作：1、掌握构件的“伤情” ；2、测出材料的断裂韧性 K c 值。应力由断裂韧性公式可知，临界拉应力：16、深埋裂纹问题处理Green和Senddon曾求解无限大体中的椭圆片状裂纹问题（如图）远场受垂直于椭圆片所在平面的均匀拉应力作用，椭圆片的长轴 2c，短轴 2a，裂纹边界点 P满足方程：22xP2 yP2 122ca或用参量 表示：xP a cosyP c sinP点的应力强度因子 K 求出为：Ka111 k2 cos2 4 Ek式中k 2 1k1cE

25、k02 1 k2 sin2 d有最大值：当 2 或 - 2 ， cos 0 ，此时修正系数A A max当 0或， cos21 ，此时修正系数有最小值：B B min1 k 2Ek可以做如下讨论：1）在 a c （园片状裂纹）时， E k 2 ，所以：此时园片状裂纹前缘各点处的应力强度因子 K c 据相等。（2）当ca或a 0时， E k 1，sinc故有 K sin a ；在 2 即椭圆短轴端点处，sin 1， Kc 有最大值为 Kc a 。这说明当0 时，无限大体内的椭圆片状裂纹可以近似的按无限大体内的中心贯穿裂纹来处理。17、表面裂纹问题处理工程上遇到的更多为表面裂纹，般做法是根据前述无

26、限大体中椭圆片裂纹的解经过修正近似处理，以下我们来看其主要步骤：1）假想垂直于椭圆裂纹面、并且过椭圆长轴的平面将体截开。需设置修正系数 M1，M1的值采用二维半无限大平板自由边缘对边裂 纹K 的修正值 1.12.于是半无限大表面半椭圆裂纹最深点 A 处的应力强 度因子近似表达式及修正值为aaK M 11.121 E k E k进一步研究，修正系数 M1的表达式如下， 尤其对于 a 不是很小的2c深裂纹a2M 1 1.0 0.12 1-2c（2）若裂纹背面与体表面比较接近的时候，需设置修正系数M2其表达式及应力强度因子可表示为M22W a 2tana 2WaM2 E ka MEk式中M为弹性校正

27、因子或弹性修正系数。工程上近似计算，也常用如下公式K 1.1Ek18、K判据的工程应用实例应力强度因子： K a脆性断裂的应力强度因子判据： K K c例题 1. 确定带裂纹构件的临界载荷问题提出：已知构件的几何因素，裂纹尺寸和材料的韧性值，运 用“K判据”，可确定带裂纹构件的临界载荷。例题：中心具有穿透裂纹的厚板条，远端承受拉伸作用，板的宽 度 为 200mm, 裂 纹 长 为 80mm 。 板 的 材 料 为 铝 合 金 ， 其 K c 39MNm(-3/2) ，计算此半条的临界载荷。裂纹F解：查附录 C-3-1，得集中因子的几何形状因子为：F1W a 2 tan aW式中 a为裂纹半长度

28、， W为板宽问题提出：当给定载荷、材料的断裂韧性值以及裂纹体的几何形 态以后，运用“ K判据”，可以确定裂纹的容限尺寸，即裂纹失稳扩 展时对应的裂纹尺寸。例题：某种合金钢在不同回火温度下，测得性能如下：设应力强度因子为 K 1.1 a ，且工作应力为 0.5 s 。试求两种回火温度下构件得容限裂纹尺寸 ac 。解：由应力强度公式，得275回火温度的合金钢材好得多。事实上，构件中0.9 的裂纹是难以避免的，因此从安全考虑， 应选用 600的回火温度的合金钢材。例题 3. 评定与选择材料 问题提出：按照传统得设计思想，选择与评定材料主要着眼屈服强度或强度极限， 对于交变应力作用则选择持久强度， 但

29、按抗断裂观 点，应选用 KIC 高得材料。不少时候材料屈服强度越高 KIC 值就越 低，所以评定与选择材料应该两者兼顾，全面评价。例题：现设计一高强度材料的压力容器，设计许用应力1400MN m2 ，采用的无损探伤设备只能发现大于 1mm 深度的裂纹。因此可以假定容器内壁焊缝热影响区沿母线方向 （最不利位置和最不利方向）存在深度 a=1存在深表面浅裂纹。现有两种材料，力学性能如表。全面考虑，以选择何种材料为佳？解：从静强度分析：从断裂力学角度分析：由附录 C-4-6 可查得， 1.12， k 1E k 为第二类完整椭圆积分。由附录 C-1 可Ekac212。金属材料在裂尖区不可避免存在一个小塑

30、性区，在塑性区里应力 有松弛，考虑这种作用效应， a 可修正为：取许用应力为容器的工作应力， 即 1400MN m2 ，则由此可见，本问题选择 B 材比选择 A 材优越，它既满足强度要求， 又有合适的抗断裂能力。 如果仅按照传统设计思想而不从断裂力学观 点分析，选用 A 材则必然会导致容器低应力脆断19、G 与 K 的关系从能量观点给出了裂纹失稳扩展得判据 G G c，从裂纹尖端应力 场分析，引出了裂纹失稳扩展得另一判据 K K c 。这两个判据描述得 是同一问题，它们之间满足关系：在裂纹失稳扩展的临界状态G KE2G 1- KE1K EG 21GcK2cEE平面应力）平面应变）平面应力）平面

31、应变）平面应力）平面应变）(平面应力)平面应变)K 判据”。因此，在线尽管有两种断裂判据，但在工程应用上，一般多采用“ 因为 K 因子得计算比较方面， 而K c得测量也比较简单， 弹性断裂力学中，“K 判据”是我们讨论得重点。20、屈服判据材料力学中四大强度理论：1.最大拉应力理论：认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。r1 1br1 1n2. 最大拉应变理论：认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素r2 1 - 2 3 b n3. 最大切应力理论 (Tresca)：认为最大切引力是引起屈服的主要因素。r3 1 - 34. 畸变能理论 (Von Mises)：认为畸变能密度是引起屈服的主要因素从前

32、面的讨论，对于 I 型裂纹尖端，从公式 y KI 可知，当 r 0 2r时， y ，即在裂纹尖端存在奇异性。但对于实际金属材料来说， 当裂纹前端正应力达到材料的有效屈服应力， 材料就要屈服， 所以在 裂纹尖端会产生一个微小的塑性区域，从而使裂纹尖端区有应力松 弛。对于平面问题，应力分量为：1、 2xyxy22xy30平面应力3 1 2 平面应变对于型裂纹，有前面讨论的 式，得主应力：在裂纹延长线上（即 X 轴上），=0 则KI122r3 0 （平面应力）， 3 1 2 （平面应变）我们把塑性区的最大主应力 1叫作有效屈服应力，用 ys 表示。根据最大剪应力屈服判据，得ys平面应力）sysys 1- 2对于型裂纹（平面应变）ys s（平面应力）ys 2 2 s（平面应变）21、裂纹前端屈服区的大小在裂纹延长线上（ X 轴上）， 0，最大主应力 1 K I ，它就是1 2 ry ， y随着坐标 r 而变化（如图），r 越小， y 值越大，当 r r0 ，从 而 y KIys 时，材料就屈服。r0为ys由此可定出屈服平面应力）yss2 r0ys平面应变）因此可得：s1-2平面应力）平面应变）