必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1、 问题：平面几何中，两条直线的位置关系：问题：平面几何中，两条直线的位置关系： 平行或相交平行或相交 在空间中是否还是如此呢？在空间中是否还是如此呢？ 立交桥立交桥 ab c d 六角螺母六角螺母 :不同不同在在任何一个平面内任何一个平面内的两条直线的两条直线 叫做异面直线。叫做异面直线。 注：注：概念应理解为概念应理解为: : “经过这两条直线无法作出一个平面经过这两条直线无法作出一个平面” . 或或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直不可能找到一个平面同时经过这两条直 线线” 注意注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线是异面直线, 它们可

2、能是相交它们可能是相交,也可能是平行也可能是平行. 一、异面直线一、异面直线: 想一想：在空间中两条直线想一想：在空间中两条直线 的位置关系？的位置关系？ （1 1）相交直线）相交直线有且只有一个公共点有且只有一个公共点 （2 2）平行直线）平行直线在同一平面内，没有公在同一平面内，没有公 共点共点 （3 3）异面直线）异面直线不同在任何一个平面内，不同在任何一个平面内， 没有公共点没有公共点 二、空间两直线的位置关系：二、空间两直线的位置关系： (1)从公共点的数目来看，可分为：从公共点的数目来看，可分为： 有且只有一个公共点有且只有一个公共点两直线相交两直线相交 1 l 2 l a 没有公

3、共点没有公共点 两直线平行两直线平行 两直线为异面直线两直线为异面直线 1 l 2 l 12 /ll记作： all 21 记作：记作： (2)从平面的性质来讲，可分为：从平面的性质来讲，可分为： 两直线相交两直线相交 在同一平面内在同一平面内 两直线平行两直线平行 不在同一平面内不在同一平面内两直线为异面直线两直线为异面直线 异面直线的画法异面直线的画法: a b a b a b a a1 b1 c1 d1 c b d a 练习：如图：正方体的棱所在的直线中，练习：如图：正方体的棱所在的直线中， 与直线与直线a1b异面的有哪些？异面的有哪些？ 答案：答案： d1c1、c1c、cd、 d1d、a

4、d、b1c1 探究探究: h g ca db e f g h e f(b) (c) d a ab,cd,ef,gh这四条线段所在的这四条线段所在的 直线是异面直线的有几对直线是异面直线的有几对? 相交直线有几对相交直线有几对? 平行直线有几对平行直线有几对? 2对 3对 1对 a b c e d 我们知道我们知道,在同一平面内在同一平面内, 如果两条直线都和第三条如果两条直线都和第三条 直线平行直线平行,那么这两条直线互相平行那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是在空间这一规律是 否还成立呢否还成立呢? 观察观察 : 将一张纸如图进行折叠将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边则各折痕及边 a

5、, b, c, d, e, 之间有何关系？之间有何关系？ ab c d e 公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平在空间平行于同一条直线的两条直线互相平 行行平行线的传递性平行线的传递性 推广推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平 行行 空间四边形：空间四边形： 如图，顺次连结不共面的四点如图，顺次连结不共面的四点a、b、c、 d所组成的四边形叫做空间四边形所组成的四边形叫做空间四边形abcd. a b c d 相对顶点相对顶点a与与c，b与与d的的 连线连线ac、bd叫做这个空叫做这个空 间四边形的对角线间四边形的对角线. 例

6、例1：已知：已知abcd是四个顶点不在同一个平面内是四个顶点不在同一个平面内 的空间四边形，的空间四边形，e，f，g，h分别是分别是ab，bc， cd，da的中点，连结的中点，连结ef，fg，gh，he， 求证求证efgh是是一个平行四边形。一个平行四边形。 解题思想：解题思想： eh是是abd的中位线的中位线 eh bd且且eh = bd 同理，同理，fg bd且且fg = bd eh fg且且eh =fg efgh是一个平行四边形是一个平行四边形 证明：证明： 连结连结bd 2 1 2 1 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题 解立体几何时最

7、主要、最常用的一种方法。解立体几何时最主要、最常用的一种方法。 a b d e f g h c a b b a c c /, /caacbaab cabbac 在平面内在平面内, 我们可以证明我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”空间中这一结空间中这一结 论是否仍然成立呢？论是否仍然成立呢？ 观察观察 :如图所示如图所示,长方体长方体abcd-a1b1c1d1中中, adc与与a1d1c1 , adc与与a1b1c1两边分别对应平行两边分别对应平行,这两组角的大小这两组角的大小 关

8、系如何关系如何? 答答:从图中可看出从图中可看出, adc=a1d1c1, adc +a1b1c1=180 o d1 c1 b1 a1 c a b d 问题：在空间中，如果一个角的两边问题：在空间中，如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行，那么这和另一个角的两边分别平行，那么这 两个角相等吗？两个角相等吗？ 方向相同或相反，结果如何？方向相同或相反，结果如何？ 一组边的方向相同，而另一组边的一组边的方向相同，而另一组边的 方向相反，又如何？方向相反，又如何？ 互补， 三、等角定理三、等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补平行，

9、那么这两个角相等或互补. 注意：（注意：（1）定理中的）定理中的“方向相同方向相同”若改成若改成“方方 向相反向相反”，则这两个角也相等。，则这两个角也相等。 （2）若改成）若改成“一边方向相同，而另一边方向相一边方向相同，而另一边方向相 反反”，则这两个角互补。，则这两个角互补。 a a o o b b 三、异面直线所成角的定义：三、异面直线所成角的定义： 直线直线a、b是异面直线是异面直线,经过空间任意一点经过空间任意一点o, 分别引直线分别引直线a1a,b1b,把直线把直线a1和和b1所成的所成的 锐角锐角(或直角或直角)叫做叫做异面直线异面直线a和和b所成的角所成的角。 平平 移移 法

10、法 如果两条异面直线所成的角为直角，如果两条异面直线所成的角为直角， 那么就称这两条异面直线垂直。那么就称这两条异面直线垂直。 b a a o ba o 900异面直线异面直线a和和b所成的角的范围：所成的角的范围： 强调强调:1)范围范围 2)与与0的位置无关的位置无关 ； 3)为了方便点为了方便点o选取应有利于解选取应有利于解 决问题，可取特殊点决问题，可取特殊点(如如a 或或 b上上)； 4)找两条异面直线所成的角，找两条异面直线所成的角， 要作平行移动要作平行移动(平行线平行线)，把两条异面，把两条异面 直线所成的角，直线所成的角，转化转化为两条相交直为两条相交直 线所成的角线所成的角

11、. 90, 0( 0 45o 例例2:(1)求直线求直线ba1和和cc1所成角的度数。所成角的度数。 ab c 1 d 1 c 1 b 1 a d 例例2:(2)哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线aa1垂直？垂直？ ab c 1 d 1 c 1 b 1 a d , , ab bc cd da a b b c c d d a (3) 直线直线 与直线与直线 都垂直都垂直. aa nextback 求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是: 一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。面直线所成的

12、角。 三求：在一恰当的三角形中求出三求：在一恰当的三角形中求出 角角 四、异面直线所成角的求法：四、异面直线所成角的求法： 例例3:在正方体在正方体abcd-abcd中，棱长为中，棱长为a， e、f分别是棱分别是棱ab，bc的的中点，求：中点，求： 异面直线异面直线 ad与与 ef所成角的大小；所成角的大小； 异面直线异面直线 bc与与 ef所成角的大小；所成角的大小； 异面直线异面直线 bd与与 ef 所成角的大小所成角的大小. 45 60 平平 移移 法法 o g 90 ac ac ef, og bd bd 与与ef所成的角所成的角 即为即为ac与与og所成的角所成的角, 即为即为aog或

13、其补角或其补角. 如图如图,已知长方体已知长方体abcd-efgh中中, ab = , ad = , ae = 2 (1)求求bc 和和eg 所成的角是多少度所成的角是多少度? (2)求求ae 和和bg 所成的角是多少度所成的角是多少度? 3232 解答：解答： (1)gfbc egf（或其补角）为所求（或其补角）为所求. rtefg中，求得中，求得egf = 45 o (2) bfae fbg（或其补角）为所求（或其补角）为所求, rtbfg中，求得中，求得fbg = 60 o 5.5.课堂练习课堂练习 a b g f h e d c 32 32 2 不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义异面直线的定义: 相交直线相交直线 平行直线平行直线 异面直线异面直线 空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系 6.课堂小结课堂小结 公理：公理： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间