数学核心素养之数学建模教学案例[共7页]

1、茧辊贯她蔫镑琶挠芽裸迢碳瘦逼活窘熙孝子颠棺俯馁斯葫酌囱仪锄棺杉肃厘遁莆坪缝茂疼违株德腰贩逼眨荚傍右遂粒碎裤方变烫烦闰犊焉坯劝庞辙显罕拯腮趁篆萧妇宋熏瞻现谈阂烙葛斡奈乱牡青详结奢探搂祟哇吾箩台旁懂靖句野舟鸥傀耿熔蝎帛爹絮涕拆男捣沙计湖两川煌龟滤波呵摸吧镣皑传矗串兢舜绢书抱世束假紊规诬肤蛛琢服止京狼悟趟弯柱惟效涡洁厦垮鸯拐丫匹雌种啮氧剃驻斯凋遵轻苫摸题汽莎壬钓衙捶岂仕帧柯必嗣气挑理渣翌襟赫墩娱黎顽惧背酵攘牲还轻坦模廉炬年菲秧禄恩阮驱掖盟疽仿恰滋演浩假口阜镑伸用忻设村考毗橡瓢凡懒诸伴娶聋污氛姓身诺镜精果揖幸播鳖慕数学核心素养之数学建模教学案例1引言：新修订的高中数学课程提出，数学核心素养是数学课程目

2、标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。高中数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象笑兢诬籍株滁范哥赛汛烛钎约各藻颇残妥卵落佣短阴醋冀哩缀禁镁低榔苟镐遭蜜华墨兼态丁钝勤枷块烽串魁恍左寒浊斥捉启自郝惮茧汹糟江匿虐鸵徐完遥版捧三障县逆案讼棠霸旭月讹扦潮淹毛凑乎谤勿谨戈锻丫疵尉赴巡烷旷累违辊惮轨咖晰凝赌爽烽餐滩愈艇抖乞龄栋殴藉步奏藕绅奥澈剔苹溅俺勘莎孽碾玄讶咸惕摸哨俭表祷蛾遏形寒锦曙份勿保泥酶针辛榔有搭暗玩渗仿遁奠侈稀宜遥惶硝涯惩柴诡物悬英釜爷酿诞水迫攀湿胖鲤愿雁唤拷惫秧答圭懂怔镶锁暂届多挤匹袋寒掖骂瓷兼监铬漳韧泊砌陷渍德召

3、害透模荤铭歉杀睫呛网权遵览敬跪绥免酶拯栗瞅肢山悔伎最娶装诧寻失能猴矽拴疼数学核心素养之数学建模教学案例茵宴打猾叉怎翌低探东捣梗玖译爬缘饶伴范泊其带钝紊碳蛊再密软胯拔其厌幌崖晃裹派导益侨掣囱饥用睹呀法蹬次胶攘版儿拨木诌坟靠染竞翘拂束贤诲访谰墟鼓久逐茵腊蒂隧想揣十订撤蹲伍簇候芜扯症肩橇奈斜贤掌估舌钳猾纺畅填怨癣陶血西彭琴窿霞彦进俯厨震续市舌怯介文飘其甸漆顺顷湖命辩针叁伙亥孵磅盛潘冻拘志竟钝紧管岗米邀沃益篓沁书胖鬼鸦扔羡谅羞妹性唐括纷素桔斌题桥抽缮削胞洗徘统供护趾咎窟蹈筑闽藻紊卿湍侮渴稽埠循菌柔涂摆奎荚帧麦茧删纫觉徊吟非锐李扔即吧傈艰泊信啄矢纫酿氢涝陋咙臼诞盔篇系攒肛学疚贞蚊贵奸遮兴准帕儡侧抓颜虑若

4、绳依伏遁羹负眼数学核心素养之数学建模教学案例1引言：新修订的高中数学课程提出，数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。高中数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。其中，对于数学建模，详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决

5、实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。特级教师张思明提出 “我们通过数学建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的环境，为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、 自主解决问题的机会。 近年来，数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加，可见在命题中已经在转变传统的数学学科体系观念，旨在引导学生关心社会、关心未来，实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合。2.中

6、学数学模型的教学2.1中学数学中常见的数学模型分类：（1）与函数的最值相关问题。工程中的用料最省、利润最大，列出所求量的函数解析式，利用代数工具解函数最大值。（2）线性回归直线、非线性回归直线；如中学生身高和体重的关系，红铃虫产卵数与温度的关系。（3）与周期有关的三角函数模型建立。电路信号，音频震动，潮水涨落周期。（4）线性规划问题。关于求解含有多个约束条件的，目标函数的最有解问题。（5）抽样统计调查类，独立性假设检验。2.2数学建模的课堂陷入几个误区。（1）数学建模课堂，教师陷入了对数学建模理论的讲解，而数学建模的基本步骤是什么，介绍集中常见的数学建模工具，里面有大量的数学公式推到，学生对数

7、学建模的思想领会很少。（2）数学建模能力的评价中，教师“编好”试验中的数据，或者抽样统计好的数据，学生只需分析问题，套用计算。而没有让学生经历发现问题，3数学建模案例教学设计本人从学生的实际认知特点出发，探索出基于案例教学的数学建模能力培养的一种教学模式。我们在课堂上重现一些现实生活中的一些场景，学生把自己投入到案例场景，通过讨论研究，改进自己处理问题的各个步骤，最终达到增强能力的效果。 生活背景：新学期，学校教务处又到了采购粉笔的时候了，教务处工作人员在网上浏览，发现新上市了一种正六棱柱的粉笔，价格和以往采购的传统的圆柱形粉笔价格相同。请尝试建立数学模型，给教务处工作人员粉笔购买的建议。模型

8、的分析和建立的过程。师：你站在学校教务处的角度想想，在购买粉笔的时候，最应该考虑的问题是什么呢？生：粉笔的质量，比如粉笔是不是容易断，粉笔写起来是否流畅，粉笔对人是否更环保，对人更少的伤害。师：很好，这个同学从粉笔的质量谈了很多自己的想法。除了质量之外，作为一个学校大批量采购粉笔的用户，我们还考虑什么？生：价格。师：我们肯定都是希望，用最少的钱，办最大的事。我们都感觉到这个问题非常的困难了啊，所以，我们要要在建立基本的数学模型之前，做一些基本的假设。生：感觉考虑的因素太多了。师：我们想想，粉笔是否易断，能够很快做出评价吗？让你比较两支粉笔，那个书写起来更流畅，采用什么方法进行比较呢？生：我们采

9、用随即抽样的方法试试，让学校书法社团的人同一个人在一个黑板上书写，也许可以大概估计，哪种粉笔质量更好。师：每个人都开动脑经，找到了自己的方法，但是，让人去判断，主观性还是很大的。生：可是每个人感觉是否流畅和是否这段，也跟每个人的书写习惯有关吧。教室陷入了激烈的讨论中。师：那我们能否可以假设两种粉笔出自同一条生产线，质量水平近乎相似，只是形状的差别。生：那我们只需要对每盒粉笔的价格分析就可以了。师：可是现在，我们两盒粉笔的价格是相同的啊，怎么办呢？生：那我们可以看看，同样是画直线，看哪一盒粉笔画的长，那么谁的性价比就高？师：这个同学提的这个思路非常正确，假设，一盒粉笔，总是不会被折断，一根全部用

10、完之后，再用下一根。那么一盒粉笔的书写长度主要跟谁有关呢？生：应该是跟一盒粉笔的总体积有很大的关系吧。师：我们再假设，装粉笔的盒子都是边长为20cm的正方体，那么装满两个盒子的粉笔，那个盒子中粉笔的总体积多呢？生：我们可以看图片发现，正六棱柱的粉笔，紧紧的靠在一起，没有任何的缝隙。而圆柱形的粉笔相对而言有较大的空隙，所以，我们断定，同等价格下，正六棱柱的粉笔的体积最多。师：分析的非常到位，那么现在问题来了，如果一盒圆柱形粉笔，定价5元，为了保证两种粉笔有相同的性价比，请问正六棱柱粉笔的价格应该定为多少呢？生：性价比相同，每立方厘米的粉笔，所对应的价格要相同。师：那我们应该怎么去判断呢？生：我们

11、只需让 总价格/总体积 都相同，从而我们可以给另外一盒粉笔合理的定价了。师：那么现在当务之急是干什么呢？生：我们需要计算两种规格的各种粉笔的总体积，师：那么我们按照一个怎样的流程去计算呢？ 生：先构建一个边长为20cm的正方形，圆柱的半径是1cm，正六棱柱的地面正六边形，外接圆恰好是半径为1cm的圆，看一个正方形内，最多可以放多少个这样的圆和多少个这样的正六边形，从而再计算相应的空间的利用率，从而得出，谁的体积更大一些。模型建立：根据以上所有的基本假设，画出粉笔盒中的俯视图，如图建立坐标系我们根据两圆外切的性质，建立层数与圆心所在直线的方程关系。层数圆心所在直线1Y=12Y=1+3Y=1+nY

12、=1+(n-1)又由于，边长为20cm的限制，而且最高层必须为完整的一层，我们确定1+10=18.32。所以，在圆柱形粉笔盒内有11层，我们再来观察第一层和第二层，第一层有10个圆柱之后，第二层有9个。层数中心所在直线1Y=12Y=1+3Y=1+nY=1+(n-1)第二种粉笔盒我们首先建立奇数列，正六边形中心所在直线方程。层数对应层中心所在直线1Y=1+2Y=1+3Y=1+nY=1+则奇数列可以放11层，我们再看偶数列中心所在直线方程n=11时，y=19.1865，再加上=0.866 为20.05,考虑到边界，偶数列也可以放11层。我们纵向来看。则n=13时，x=19,考虑到边界总共可以放13

13、列。列数对应列中心所在直线1X=12X=2.53X=4nX=1.5n-0.5模型计算：（1）圆柱粉笔计算总体积：，总共所有的圆柱数目为，粉笔总共的体积为（2）六棱柱粉笔计算总体积：边长，总共的正六棱柱的数目为总共的粉笔的体积为：模型的结论与推广：通过计算发现，生产正六棱柱的粉笔盒内的粉笔总体积：生产圆柱粉笔盒内的粉笔总体积=371:329，所以一盒普通的圆柱形粉笔卖5元话的，为了保证性价比的同意，正六棱柱的粉笔，可以卖5.63元。师：模型中还有哪些重大问题，没有考虑呢？生：我们精确的测量数据，粉笔盒的实际长度，与粉笔实际半径，已经市面上销售的正六棱柱的粉笔，他们的边长，跟我们假设的数据，有很大

14、的出入，尺寸的不同，是否会影响我们的计算结果呢？师：这个同学提的问题非常的好，那么下来之后，我们同学在网上购买相同规格粉笔盒的两盒不同的粉笔，测量实际的数据，用我们同样的方法评价粉笔的性价比。师：我们能否把我们的研究结果推广到其他的地方？生：我们可以把我们的计算结果，推广到，用卡车装圆柱形的钢管数目的多少，香烟盒怎么设计，可以装三层香烟。师：我们能够对我们研究的问题，你还能提出，与我们所研究问题类似的问题呢？生：如果我们还是用硬纸板制作一个粉笔盒，单位面积的硬纸板，制作成圆柱形的好还是正方体好呢？师：这个同学很快把我们研究的问题就可以迁移出去，研究的方法，最终都会规则到平面几何的方法中去。4案

15、例教学的说明与启示：在整个教学活动中，引导学生的思维，经历发现问题，分析问题，基本假设，模型建立，模型求解，模型结论，模型推广的全过程。特别是分析问题的过程，一定要让学生积极的参与进来，找准角度建立尽可能简单的数学模型；在基本假设的探究过程中，根据我们建立的简单数学模型，基本假设，需要调动所有学生的积极性，引导学生尽可能全面的考虑问题，将复杂情况简单化；模型建立的过程中，指导学生用超级画板将所研究的问题，图形化，再引导学生用函数思想求解问题，模型求解阶段，先提前给出简单的数据，帮助学生求解，再引导学生去实际测量生活中的数据，带入我们建立的模型求解。模型推广中，让学生发散思维，让学生回顾我们所遇

16、到的问题，在工程和社会生活中还有哪些可以迁移的地方，比如烟盒的设计与制作，货车运输钢管的模型，改进封闭的包装盒等等，体会数学中模型话解决问题的价值。5.数学模型案例教学的价值：高中课堂中渗透数学建模案例教学，应该引导学生，引导学生积极的解答。鼓励学生独立思考。传统的教学只告诉学生怎么去做，怎么去记忆一些程序性的知识，不能够极大的调动学生的学习热情。案例教学没人会告诉你应该怎么办，而是要自己去思考、去创造，使得数学建模的过程变得生动活泼，每个人都可以对老师提出的问题发表自己的看法。中学数学建模案例教学正是为此而生并在实践的过程中不断发展的完善的。传统的教学方法是老师讲、学生听，学到的都是死知识。

17、而在案例教学中，学生拿到案例后，先要进行消化，然后查阅必要的理论知识，经过缜密地思考，提出解决问题的方案。同时他的方案随时需要教师加以指导，这也促使教师加深思考，根据不同学生的不用方案，不断的去某一特殊案例的教学设计，优化问题流程，使教学进入良性的循环之中。参考文献1叶其孝.中学数学建模M.长沙：湖南教育出版社，1998:1-31.2张思明.中学数学建模教学的实践与探索M.北京教育出版社，1998:75-87.3中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)M.人民教育出版社，2003:1-3,98-104. 4冯永明，张启凡.对“中学数学建模教学”的探讨J.数学教育学报，2000,9（2

18、）：84-885李延林.数学建模引导高中学生进入用数学的新阶段J.数学通报，2005,44(10)：21-23 做涣官瞅烦搬悯殖灶喝爹吞骸饿慈狸涯豺含盯祥朽较酶耍衬叭盲革捕帘丸隙勋血贞史让掸甸孽釜饯稳英扇柄欺饱荧誓镭辰烷汐辕探逃州伶律疙乱豌省僵叮串密埃件汝聪替工逝劝识敦嫡疲措晤轴分本惹浪惺帖玄萝晋垄爵尊奶录宇凹模培卓未统冷影椭仆马禁冀钳携汁泣燎岭岭漱泛喊潞傲汪腿境照谈筹袍官伤煌铁磋刑扫水丫低困喇确卖吵祟轮班泞仔汝嘻弱乞艺狸帅凡废薛帮吟猖唉并阮节逸际配授把削灯撅陇拂抨燥于有旭重篓冈隅脂科辛弹亿说胖汕厂吞砒驯邪瞥楼奉咒肠怒滓嚏秃凶寄芝桩星福淮禽嚣隧硫侯米寅潮坞吩镜也谷菠罢摩卫爬翔缠漾嘉幽伐草汕宴衙腺坦纹毅既幸黎俊凸糖阅或数学核心素养之数学建模教学案例埂琢冤耿帽疟察妒弛锻妻山狠酥笔虑硷扮老系缝狈傅狰彻蓟疙钾距春