相似三角形典型综合题

1、一、相似三角形中的动点问题1. 如图，在Rt ABC 中， ACB=90 ，AC=3 ，BC=4 ， 过点 B 作射线 BB1 AC 动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动， 同时动点 E 从点 C 沿 射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动 过点 D 作 DH AB 于 H，过点 E 作 EFAC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连接 DG 设点 D 运动的时间为 t 秒（1 ）当 t 为何值时， AD=AB ，并求出此时 DE 的长度； （2）当 DEG 与 ACB 相似时，求 t 的值30cm ，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒

2、 4cm 的 速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以 每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时， Q 点随之停止运动设运动的时间为 x （1）当 x 为何值时， PQ BC ？（2 ） APQ 与CQB 能否相似？若能， 求出 AP 的 长；若不能说明理由2. 如图，在 ABC 中，ABC 90 ，AB=6m ，BC=8m ， 动点P以2m/s 的速度从 A点出发，沿AC 向点 C移动同 时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点出发， 沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设 移动的时间为 t 秒（1 ）当 t=2.5s 时

3、，求 CPQ 的面积；求 CPQ 的面积 S（平方米） 关于时间 t（秒） 的函数 解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中， 当 CPQ 为等腰三角形时， 求出 t 的值5. 如图，在矩形 ABCD 中， AB=12cm ，BC=6cm ， 点 P 沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动； 点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度 移动如果 P、Q 同时出发，用 t（ s）表示移动的时 间（ 0t 时，DE=5t-（3t+3）=2t-3 若 DEG 与 ACB 相似，有两种情况： DEG ACB ，此时， 即：，求得： t= ；DEG BCA ，

4、此时， 即：，求得： t= 综上， t 的值为或或或3. 答案： 解：（1 ）证明： AD=CD A= ACDDE 平分 CDB 交边 BC 于点 E CDE= BDECDB 为 CDB 的一个外角 CDB= A+ ACD=2 ACD CDB= CDE+ BDE=2 CDE ACD= CDEDE AC（2 ） NCE= MBE EM BD ，EN CD ， BME CNE ，如图 NCE= MBEBD=CD又 NCE+ ACD= MBE+ A=90 ACD= AAD=CDAD=BD=AB在 RtABC 中， ACB 90，AC6，BC8 AB=10AD=5 NCE= MEB EM BD ，EN

5、 CD ， BME ENC ，如图 NCE= MEBEM CDCD AB在 RtABC 中， ACB 90，AC6，BC8 AB=10 A= A， ADC= ACBACD ABC综上： AD=5 或时， BME 与 CNE 相似4. 答案：解（ 1）由题意：AP=4x ，CQ=3x ，AQ=30-3x ， 当 PQ BC 时，即：解得：（2 ）能， AP=cm 或 AP=20cm APQ CBQ ，则，即 解得：或（舍） 此时： AP=cm APQ CQB ，则，即 解得：（符合题意） 此时： AP=cm故 AP=cm 或 20cm 时， APQ 与 CQB 能相似5. 答案： 解：设运动时间

6、为 t，则 DQ=t ，AQ=6-t ， AP=2t ， BP=12-2t （1 ）若 QAP 为等腰直角三角形，则 AQ=AP ，即： 6-t=2t ， t=2 （符合题意）t=2 时， QAP 为等腰直角三角形（2） B= QAP=90 当 QAP ABC 时，即：， 解得：（符合题意） ；当 PAQ ABC 时，即：， 解得：（符合题意） 当或时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与 ABC 相 似6. 答案： 解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限7. 答案： 解：情形一：过点 A 作 AB OA ，交待求直线于点 B，过点 A 作平行 于y轴的直线交 x轴于点 C，过点 B

7、作 BDAC 则由上可知： 90 由双垂直模型知： OCA ADBA（2，1），45 OC 2，AC1，AO ABADOC2，BD AC1D 点坐标为（ 2， 3）B 点坐标为（ 1，3 ）此时正比例函数表达式为： y 3x 第二种情况，图象经过第二、四象限情形二：过点 A 作 AB OA ，交待求直线于点 B，过点 A 作平行 于x轴的直线交 y轴于点 C，过点 B 作 BDAC 则由上可知： 90 由双垂直模型知： OCA ADBA（2，1），45 OC 1，AC2，AO ABADOC1，BD AC2D 点坐标为（ 3， 1）B 点坐标为（ 3， 1 ） 此时正比例函数表达式为： y x情

8、形三：8. 答案： 证明：方法一： 连接 PC，过点 P作 PDAC 于 D，则 PD/BC 根据折叠可知 MN CP 2+ PCN=90 ， PCN+ CNM=90 2= CNM CDP= NCM=90 PDC MCNMC ：CN=PD ： DCPD=DAMC ：CN=DA ： DCPD/BCDA ： DC=PA ：PB MC ：CN=PA ：PB 方法二：如图， 过M作MDAB 于D，过N作NE AB 于E 由双垂直模型，可以推知 PMD NPE ，则， 根据等比性质可知，而 MD=DA ，NE=EB ，PM=CM ， PN=CN ， MC ：CN=PA ：PB9. 答案： A 解题思路：

9、 如图 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延长线于点 M ，交 x 轴 于点 N，则 M= DNA=90 ， 由于折叠，可以得到 ABC ADC ， 又由 B （1，3）BC=DC=1 ，AB=AD=MN=3 ， CDA= B=90 1+ 2=90 DNA=90 3+ 2=90 1= 3 DMC AND ，设 CM=x ，则 DN=3x ，AN=1 x ，DM 3x 3 x，则。答案为 A10. 答案： 解：过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G，过点 D 作 y 轴 的平行线交 x 轴于 F ，交 GC 的延长线于 E。直线 y= 2x 2 与坐标轴交于 A、B 两点 A（1,0

10、 ），B （0,2 ）OA=1 ， OB=2 ，AB=AB ： BC=1:2BC=AD= ABO+ CBG=90 ， ABO+ BAO=90 CBG= BAO又 CGB= BOA=90 OAB GBCGB=2 ， GC=4GO=4C（4,4）同理可得 ADF BAO ，得DF=2 ，AF=4 OF=5 D（5,2 ）11. 答案： 证明：（方法一）如图延长 AE 到 M 使得 EM=AE ，连接 CMBE=CE ， AEB= MEC BEA CEMCM=AB ， 1= BAB CMM= MAD ， MCF= ADFMCF ADFCM=AB ， AD=AC（方法二）过D作DGBC 交AE于G 则

11、ABE ADG ， CEF DGF ，AD=AC ， BE=CE12. 答案： 证明：过点D 作DFAB 交AC 的延长线于点 F，则 2= 3AC 平分 DAB 1=2 1=3AD=DF DEF= BEA ， 2=3BEA DEFAD=DFAC 为 AB 、AD 的比例中项即又 1= 2ACD ABC过点 E 作 PQ BC 分别交 BA 延长线和 DC 于点 P 和点 QAB CD ，PQBC四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形 PBEFCQ ， 又AB b，CD aAPPB-AB EF-b ，DQ DC-QC a-EFAN：MF3:2BN：NM1:1 ，NQ ：QM 3:2

12、 BN ：NQ：QM 5:3:2如图 1，AD、BE 为ABC 的中线，且 AD 、BE 交 于点 O过点 C 作 CFBE ，交 AD 的延长线于点 FCF BE 且 E 为 AC 中点 AEO ACF ， OBD FCD，AC2AE EAO CAFAEO ACFD 为 BC 的中点， ODB FDC BOD CFDBO CF同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线连接 MFM 是 AC 的中点， EF FCMFAE 且 MF AE BEN BFM BN：BM BE：BFNE：MFBEEFBN：BM NE：MF 1:2 BN：NM1:1 设 NE x，则 MF2x，A

13、E 4xAN3xMFAENAQMFQ NQ ：QM 如图 2，AD 为 ABC 的角平分线过点 C 作 AB 的平行线 CE 交 AD 的延长线于 E 则 BAD= EAD 为 ABC 的角平分线 BAD= CADE= CADAC CECE ABBAD CED16. 答案： 证明：如图，作 DPAB，DQ AC则四边形 MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且 DPQ 是等边三角形BP+CQ MN ，DPDQ PQM、N 分别是边 AB，AC 的中点MN BC PQDPAB，DQ AC CDP CFB ， BDQ BECDPDQPQBC ABAB （）17. 答案： 证明： EF/AB

14、， AB/DC EF/DC AOE ACD ，DOE DBA21. 答案：证明:AB AC，AD 是中线，AD BC,BP=CP 1=2又 ABC= ACB 3=4CF AB18.答案： 证明： EFCD，EH AB 3= F, 4=F 又 EPC= CPF AFE ADC ， CEH CABEF EHEPC CPF BP 2PE PF 即证所求22. 答案： 证明： DE AB 90 9019.答案： 证明： EF AC ， DE BC ADE DBEEFDE a20.答案：（ 1 ）证明：在平行四边形 ABCD 中，AD BC ， DRP= S，RDB= DBSDRP BSP同理由 AB

15、CD 可证 PTD PQB BFE BCA ， AED ABC（2）证明：成立，理由如下： 在平行四边形 ABCD 中， AD BC ， PRD= S，RDP= DBS DRP BSPDE2= BF AC 90 90 且 BEG HEA DE2=EG•EH23. 答案： 证明：四边形 ABCD 为平行四边形AB CD ，ADBC 1= 2 ， G= H ， 5= 6 PAH PCG 又 3= 4 APE CPF同理由 AB CD 可证 PTD PQB24. 答案： 证明：如图，连接 BH 交 AC 于点 E ， H 为垂心BE AC EBC+ BCA=90 AD BC 于 D DAC

16、+ BCA=90 EBC= DAC又 BDH= ADC=90 BDH ADC，即BPC 为直角，AD BC PD2 BD·DC PD2 AD·DH25. 答案： 证明： CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高， E 为 BC 的中点CE=EB=DE B= BDE= FDA B+ CAB=90 ， ACD+ CAB=90 B= ACD FDA= ACD F= FFDA FCD ADC= CDB=90 ， B= ACDACD CBD即26. 答案： 证明：（1） ACB ADC 90 A ACD 90 BCM ACD 90 A BCM同理可得： MDH MBDCMB

17、 CDB MBD 90 MBDADE ADC MDH 90 MDHADE CMBAED CBM（2 ）由上问可知： ，即故只需证明即可 A A， ACD ABCACD ABC，即27. 答案：（ 1 ）将结论写成比例的形式， ，可以考虑证 明FDB FCD （已经有一个公共角 F） Rt ACD 中， E 是 AC 的中点 DE=AE A= ADE ADE= FDB A= FDB 而 A+ ACD=90 FCD+ ACD=90 A= FCD FCD= FDB 而 F=F FBD FDC（ 2）判断： GD 与 EF 垂直 Rt CDB 中， G 是 BC 的中点， GD GB GDB= GBD

18、 而 GBD+ FCD=90 又 FCD= FDB（1 的结论） GDB+ FDB=90 GD EF28. 答案： 证明：由四边形 ABCD 、 DEFG 都是正方 形可知，ADC= GDE=90 ，则 CDG= ADE= ADG+90 在和中 则 DAM= DCN 又 ANM= CND ANM CND 则29. 答案： 证明：找模型。（1） BCD 、BDG ，CDG 构成母子型相似。 BDG DCGDG2 BG·CG （2）分析：将等积式转化为比例式。 BG·CG GF·GH GFC= EFH ，而 EFH+ H=90 ， GFC+ FCG=90 H= FCG 而 HGB= CGF=90 HBG CFG BG·CG GF·GH 30. 答案：（1 ）证明： MEB NEC 180 45 135 MEB EMB NEC EMB 又 B= C