一元二次方程的根与系数的关系

1、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系教材分析：中学阶段涉及的一元二次内容有函数的二次函数，研究几何图形中的有二次曲线，一元二次方程的求根公式向我们揭示了两根与系数间的的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上，根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值，学生在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础学情分析:1学生已学习用求根公式法解一元二次方程，自主探究根与系数的关系是完全可能的。2.学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3.向学生渗透

2、认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神教学目标 知识目标： 1.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程培养学生的观察思考，归纳概括能力 2.掌握一元二次方程的根与系数的关系 能力目标： 通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。 情感目标: 1渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2.经历观察、探索、猜想、证明的过程，得出一元二次方程根与系数的关系，让学生经历合情推理到演绎推理的认识事物的模式，培养学生用辨证思想认识事物.教学重

3、点和难点重点：一元二次方程根与系数的关系;难点：如何通过求根公式发现韦达定理，正确理解根与系数的关系. 教学关键:1.激发学生对根与系数关系的求知欲望; 2.引导启发学生来发现如何推导根与系数的关系教学过程 一、课前游戏环节：你知道陈老师今年多大吗？猜猜，。，对于我来说年龄绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我们现在在学习一元二次方程，我的年龄是的两根之和，你们猜一猜，不解方程，能不能求出陈老师的年龄。由求根公式可知，一元二次方程的根仅仅由系数、确定，换句话,就是说根与系数有密切的关系，当然这种根与系数的关系不容易立刻被发现。我们用配方法、因式分解法等措施求出根。除此之外，一元二次方程的两个根与系

4、数到底还有没有其他关系？ 二、探索发现 活动任务：全班同学在课本中找出已经整理成一般式的一元二次方程，并且最好是已经确定两根的方程。一般来说，学生会优先选取一元二次方程系数、为整数的并且跟也为整数的方程，教师在此进行引导，要求尽可能的找出各种类型的例子，例子包括系数、为正数、负数、0；根为正数、负数顿好的。学生若没有提出，老师在表格中补充。小组讨论前后间四人小组合作，老师思路引导：代数学科中数与式的结构编排，让我们想到了两根运算上的最简单的组合：和差积商。刚才所列举的数中，观察这两数的和差积商，思考根与系数还有什么密切关系？一元二次方程两根同号两根异号有一根为0根为无理数 初步感知：学生很容易

5、发现两个之和与两根之积关系很明显，但是两根之差和两根只商可以看出有关系，不过没有办法具体确定、分别等于几，因此差商不在本节课的谈论范围中。学生的猜想可能是：两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项。当然会有学生质疑，他们提出二次项系数不为1的一元二次方程。教师顺势说明当系数为1的情况是什么，再讨论系数不为1的情况。知识初探：问题（1）关于的方程的两根，与系数之间有什么关系？怎么表示两根？学生探索得到：关于的方程的两根，与系数的关系是：， 。反问学生你是怎么发现的？这个关系合理吗？你能试着证明吗？设计目的是训练学生从合情推理到演绎推理。学生讲证明思路。（用求根公式直接的两根，或配方法得到均

6、可），推导出，引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？知识再探：问题（2）关于的方程的两根，与系数之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？形如的方程，如果，两根为，引导学生利用上面的结论猜想，与各项系数a、b、c之间有何关系。放手给学生做，最后总结为两种做法：可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程 ，利用求根公式给出证明。（思路点拨即可）证明：，当时根为：设，则介绍韦达：练习：1.下列方程你能得出他们的两根之和与两根之积吗？ 首尾呼应：现在你知道陈老师的年龄是多少了吗？，两根之和等于27. 学生思考、归纳并回答下列问题： (1)小结根与系数的关系？根与系数的关