12.1实数的概念

1、4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 12.1 实数的概念 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 认识过程 人类对于宇宙的认识过程 （地心说日心说日心地动学说太阳系 银河系仙女星系） 人类对数的认识也经历了一个逐步扩展的过程： 自然数 0、1、2、 3 分数、小数 4/5、0.45、 0.3 负数 -2、-3/7、 -0.53 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

2、 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1、把下列的数字填入适当的位置 111 3,0.3 0, 3, 0.101001., 0.5 212 ,， - 整数整数分数分数 注意：注意：1、有限小数有限小数和和无限循环小数无限循环小数也是分数也是分数. 30 0.3 1 2 11 3 12 0.5 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 回顾有理数的定义和分类 定义：整数和分数统称为有理数。 分类： 如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用 两个整数之比表示的分数： 负分数 正分数 分数 负

3、整数 零 正整数 整数 有有 理理 数数 )0,(qqp q p 都是整数，且 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 质 疑 数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是 够用了？还有没有不是有理数的数呢？ 早在公元前400多年，就有一位古希腊数学家 希帕斯，他通过逻辑推演发现了这样的数。这 一发现引发了数学史上的第一次危机。（详见 无理数的发现） 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 发发 现现 问题问题1：面

4、积为：面积为2的正方形存在吗？的正方形存在吗？ （小组讨论，通过动手操 作，剪拼正方形） 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 提提 示示 方法一：两个边长为1的正方形，沿对角线剪开，得 到四个一样的直角三角形，他们的面积都是0.5，再 把这四个直角三角形拼成一个四边形，该四边形就是 面积为2的正方形。 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0

5、1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 发发 现现 问题问题2：正方形：正方形ABCD的边长怎样表示？的边长怎样表示？ 分析：设正方形ABCD的边长为x， 那么 x2 = 2 这个数x表示面积为2的正方形的 边长，是现实世界中真实存在的 线段长度。由于这个数和2有关， 我们现在用 （读作“根号根号2”）来 表示。 2 x x 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 发发 现现 追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表 示？若面积为5呢？ 类似的，分别用 （读作“根号3”）、 （读

6、作“根号5”）来表示。 3 5 发发 现现 问题问题3： 是有理数吗？是有理数吗？ 2 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 发发 现现 问题问题4：无限不循环小数还有吗？：无限不循环小数还有吗？ （请你再举出几个无限不循环小数的例子）（请你再举出几个无限不循环小数的例子） 圆周率 我们还可以构造几个无限不循环小数， 如：0.202002000200002、 0.1234567891011121314151617等. 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

7、0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 归归 纳纳 无理数无理数 无限不循环小数叫做无理数(irrational number)。 无理数包括正无理数和负无理数。 只有符号不同的两个无理数， 它们互为相反数。 22 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 归归 纳纳 无理数无理数 实数实数 有理数和无理数统称为实数。 实数可以这样分类： 有限小数或有限小数或 无限循环小数无限循环小数 无限不循环小数无限不循环小数 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

8、 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 例题1将下列各数填入适当的图内： 22 0 3 2 6 3.14159 0.2 3 7 5 0.3737737773. 、 、 实数实数 有理数有理数 无理数无理数 整数整数 正整数正整数 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 练习练习 3请构造几个大小在3和4之间的无理数。 3.1010010001000013.101001000100001（它的位数无限且相邻的两个（它的位数无限且相邻的两个“1 1” 之间之间“0 0”的各数依次加的各数依次加1

9、1个）个） 10 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 例题2是非题 无限小数都是无理数； （ ） 无理数都是无限小数； （ ） 正实数包括正有理数和正无理数； （ ） 实数可以分为正实数和负实数两类； （ ） 带根号的数都是无理数； （ ） 不含根号的数不一定是有理数； （ ） 实数不是有理数就是无理数； （ ） 无限小数不能化为分数； （ ） 4 2 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 练习练习 4用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、 “叫做”填空，并体会这些词的含义： (1) 分数。 (2) 0 有理数。 (3) 无限不循环小数 无理数。 (4) 实数 有理数和无理数。 (5) 正整数、