博弈论基础作业及答案

1、博弈论基础作业一、名词解释纳什均衡 占优战略均衡 纯战略 混合战略 子博弈精炼纳什均衡贝叶斯纳什均衡 精炼贝叶斯纳什均衡 共同知识见 PPT二、问答题1. 举出囚徒困境和智猪博弈的现实例子并进行分析。囚徒困境的例子：军备竞赛；中小学生减负；几个大企业之间的争相杀价等等；以中小学生减负为例：在当前的高考制度下，给定其他学校对学生进行减负，一个学校最好不减负，因为这样做，可以带来比其他学校更高的升学率。给定其他学校不减负，这个学校的最佳应对也是不减负。否则自己的升学率就比其他学校低。因此，不论其他学 校如何选择，这个学校的最佳选择都是不减负。每个学校都这样想，所以每个学校的最佳 选择都是不减负，因

2、此学生的负担越来越重。请用同样的方法分析其他例子。智猪博弈的例子：大企业开发新产品；小企业模仿；股市中，大户搜集分析信息，散 户跟随大户的操作策略以股市为例：给定散户搜集资料进行分析，大户的最佳选择是跟随。而给定散户跟随，大户的最佳选择是自己搜集资料进行分析。但是不论大户是选择分析还是跟随，散户的最佳选择都是跟随。因此如果大户和散户是聪明的，并且大户知道散户也是聪明的，那么大户就会预见到散户会跟随，而给定散户跟随，大户只有自己分析请用同样的方法分析其他例子。2. 请用博弈论来说明“破釜沉舟”和“穷寇勿追”的道理。破釜沉舟是一个承诺行动。目的是要断绝自己的退路，让自己无路可退，让自己决一 死战变

3、得可以置信。也就是说与敌人对决时，只有决一死战，这样才可以取得胜利。否则， 如果不破釜沉舟，那么遇到困难时，就很有可能退却，也就无法取得胜利。穷寇勿追就是 要给对方一个退路，由于有退路，对方就不会殊死抵抗。否则，对方退无可退，只有坚决 抵抗一条路，因而必然决一死战。自己也会付出更大的代价。3. 当求职者向企业声明自己能力强时，企业未必相信。但如果求职者拿出自己的各种 获奖证书时，却能在一定程度上传递自己能力强的信息。这是为什么？由于口头声明几乎没有成本， 因此即便是能力差的求职者也会向企业声明自己能力强。 当然能力强的人也会声明自己的能力强。也就是说不同类型的求职者为了赢得职位会做出 同样的声

4、明。这样口头声明就不能有效的传递信息，因此企业不会轻易相信。而求职者拿 出获奖证书就成了一个信号博弈。由于获得证书是要付出代价的，但代价却引人而异。能 力强的个人可以相对轻易获得证书，而能力弱的个人却很难获得证书，以至于能力弱的人 认为化巨大的代价获得证书， 从而获得企业的职位是不划算的， 因此干脆就不要获奖证书。 因此获奖证书就成为个人能力的信号。4. 五个海盗抢得 100 颗钻石,他们为分赃发生了争议 ,最后达成协议 ,由抓阄确定出分 赃顺序，然后按照民主程序进行分赃。首先由 1号海盗提出分赃方案 , 五人共同举手表决。 若赞成的占一半以上（不包括一半的情况） ,就按 1号提出的方案分赃

5、, 否则 1 号将被扔到 海里喂鲨鱼。接着由 2 号提出方案 , 四人共同举手表决。若赞成的占一半以上（不包括一半的情况），就按2号提出的方案分赃，否则2号将被扔到海里喂鲨鱼，依此类推。如果你是 1号海盗，你该提什么样的方案？说明理由。假设（1）五个强盗都很聪明，而且大家知道大家很聪明，大家知道大家知道大家很聪明，如此等等。（2）每个海盗都很贪婪，希望获得尽可能多的钻石，但是又不想为了钻石丢掉性命。（3）给定一个方案，只有该方案大于他的备选方案所获的钻石时，海盗才选择赞成。第一个海盗的提议应该是：五个海盗分别获得的钻石数目为97, 0，1，0，2,或者97， 0， 1， 2， 0。具体理由自己

6、思考，方法是倒推法。三、计算题1.试计算表1中的战略式博弈的重复剔除劣战略均衡对B而言，战略M严格劣于1 一个战略式表述博弈1,23,12,45,67,12,63,12,07,8LMRDR;（因为14, 16,08），因此剔除B的战略M构成新UAM的博弈如下BLRU1,22,4AM5,62,6D3,17,8在新的博弈中,对于A而言，战略U严格劣于D（因为13,27），因此剔除A的战略U,构成新的博弈如下：5,62,63,17,8LRMAD对于新的博弈中，已经没有 严格的劣战略，因此没有严格的劣战略可以剔除。所以该 博弈不是重复剔除 严格劣战略可解的但是存在弱劣战略。对于B而言，战略L弱劣于R

7、（因为6=6，18）,因此剔除B的弱劣战略L,构成新的博弈如下：2,6D 7,8在新的博弈中，对于 A而言，战略M严格劣于D （因为27）,因此剔除A的战略M 构成新的博弈如下:D 7,8A因此，重复剔除（弱）劣战略均衡为（D, R）（ps:如果同学们用划线的方法求纳什均衡，就可以发现纯战略nash均衡有两个:（皿丄）和（D,R）但采用剔除弱劣战略的方法，把其中一个纳什均衡剔除掉了）2试给出下述战略式表述博弈的所有纳什均衡。2给定1选择U,2的最佳选择是R（因为22），在相应位置划线D （理由自己写），在相应位置划线2,23,34,41,2LRU1D给定2选择R, 1的最佳选择是U （理由自己

8、写），在相应位置划线找两个数字下都划线的，显然有两个纯战略纳什均衡：(U，R)和(D，L)据 Wilson 的奇数定理，可能有一个混合战略均衡。设1选U的概率为，那么选D的概率为1设2选L的概率为，那么选R的概率为1，如果存在混合战略，那么 2 选战略 L 和 R 的期望收益应该应该相等，因此应有U L 24(1) U R 32(1)? 自己求解( 2 分)同样，1选战略U和D的期望收益应该应该相等得混合均衡： ?3. 市场里有两个企业 1 和 2。每个企业的成本都为 0。市场的逆需求函数为 P=16-Q。 其中P是市场价格，Q为市场总产量。(1 )求古诺( Cournot )均衡产量和利润。

9、(2)求斯坦克尔伯格( Stackelberg )均衡产量和利润。(1)设两个企业的产量分别为q1，q2，有Q q1 q?，因此利润函数分别为：利润最大化的一阶条件分别为：因此企业 1 和企业 2的反应函数分别为：联立，得到 q1 q2?。自己求解（2）设企业1先行，企业2跟进。两个企业的产量分别为 q , q2，因此利润函数分别为:由逆向归纳法，在第二阶段，企业 2在已知企业1的产量的情况下，最优化自己的产量,从而得到企业2的反应函数：因此企业2的反应函数为：q22在第一阶段，企业1考虑到企业2的反应，从而自己的利润函数为：i （16 qi q2）qi 16q! q；16q q； q,16

10、里）（2 分）2要使企业1的利润最大，应满足一阶条件：0q1得到q1?。所以q2?。（PS:古诺模型是完全信息静态博弈，求的是纳什均衡；斯坦伯格模型是完全信息动态博弈，求的是子博弈精炼纳什均衡）4. （ 1）试给出图1中的完全信息动态博弈的子博弈精炼均衡和均衡结果。 （2）倘若2 告诉1： 2的战略是（c,i,j），问此时1的最优战略是什么？ （ 3）在（2）中，1和2的战略 组合构成一个纳什均衡吗？均衡结果是什么？ （ 4）（3）中的纳什均衡不是子博弈精炼的， 原因是什么?1ab答:(1,2)(2,1)(3,2)(4,6)(0,2)(6,3)(1)(1,2)li(4,6)(0,2)由逆向归纳

11、法，子博弈精炼均衡为（b,g）,（c,e,l），均衡结果为（4, 6）(2)若2的战略为(c,i, j)，则1的最优战略为(b, f)(3)给定2的战略为(c,i, j) , 1的最优战略为(b, f)；反之，给定1的战略(b, f)，战略(c,i,j)是2的一个最优战略。所以它们构成一个纳什均衡，均衡结果为(6,3 )。(4)因为2的战略(c,i, j)中含有不可置信的威胁i，使1在f和g之间不敢选g。当 博弈进行到2在I与i之间进行选择的时候，2必会选l，给定如此，1选g而不是f，此时 2会选e,这就是子博弈精炼均衡。5、试解出下述不完美信息动态博弈的精炼贝叶斯均衡。(2,4)(0,1)(3,1)(7,2)T选L的概率为1当“ 2”看见“ 1”未选R时，设他认为“ 1”选L的概率为P, P,则“2”选I的期望支付为:“2”选r的期望支付为当1 3P 2 P，即P -时，“2”选I，而给定“2”选I，“ 1 ”选L收益为2,选L的4收益为3,选R的收益为1,因此“ 1”会选L。而给定“ 1”选L , “2”认为P 0 1 (注411意：P是“ 1”选L的概率)，与P -矛盾。故P -不会有均衡；44当1 3P 2 P，即P 1时，“2”选r，给定“2”