12(1)常数项级数的概念与性质

1、1 第十二章第十二章 无穷级数无穷级数 infinite series R 2 常数项级数的概念常数项级数的概念 收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质 收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件 小结小结 思考题思考题 作业作业 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 constant term infinite series 第一节第一节 常数项级数常数项级数的概念和性质的概念和性质 3 为什么要研究无穷级数为什么要研究无穷级数 是进行数值计算的有效工具是进行数值计算的有效工具( (如计算函数值、如计算函数值、 出它的威力出它的威力. . 在自然科学和工程技术中在自然科学和工程技术中, ,也常用无穷也

2、常用无穷 无穷级数是数和函数的一种表现形式无穷级数是数和函数的一种表现形式. . 因无穷级数中包含有许多非初等函数因无穷级数中包含有许多非初等函数, , 故它在积分运算和微分方程求解时故它在积分运算和微分方程求解时, ,也呈现也呈现 如谐波分析等如谐波分析等. . 造函数值表）造函数值表）. . 级数来分析问题级数来分析问题, , 常数项级数的概念常数项级数的概念 4 1. 级数的定义级数的定义 n n n uuuuu 321 1 (常数项常数项)无穷级数无穷级数 一般项一般项 如如 ; 10 3 100 3 10 3 n ; 1 )1( 4 1 3 1 2 1 1 1 n n .)1(111

3、1 1 n 以上均为以上均为(常常)数项数项级数级数. (1) 常数项级数的概念常数项级数的概念 一、一、常数项级数常数项级数的概念的概念 1 , n n u 给定数列则表达式 5 这样这样, 级数级数(1)对应一个部分和数列对应一个部分和数列: nn uuus 21 称无穷级数称无穷级数(1)的的 , 11 us , 212 uus , 3213 uuus , 21nn uuus 2. 级数的收敛与发散概念级数的收敛与发散概念 按通常的加法运算一项一项的加下去按通常的加法运算一项一项的加下去, 为级数为级数(1)的的 , 无穷级数定义式无穷级数定义式(1)的含义是什么的含义是什么? 也算不完

4、也算不完, 永远永远 那么如何计算那么如何计算? 前前n项和项和 部分和部分和. n i i u 1 常数项级数的概念常数项级数的概念 6 例例 1 1 1 2 . 1 n n n前 项之和1 1 1 112 1 1 22 1 2 n n n s 2 认为认为 1 1 1 2 2n n 常数项级数的概念常数项级数的概念 7 例例2 1n n n前 项之和 (1) 12 2 n n n n s 认为认为 1n n 没有和. 例例3 1 1 ( 1)n n n前 项之和 1, 1 1( 1) 0, n n n n 为奇数 s 为偶数 无极限无极限 认为认为 1 1 ( 1)n n 没有和。没有和。

5、 常数项级数的概念常数项级数的概念 8 部分和数列可能存在极限部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限也可能不存在极限. 定义定义 ,无无限限增增大大时时当当n , ssn有有极极限限数数列列 , 1 收收敛敛 n n u. 1 的的和和叫叫做做级级数数这这时时极极限限 n n us n uuus 21 ,没有极限没有极限如果如果 n s. 1 发发散散则则称称无无穷穷级级数数 n n u 的的部部分分和和如如果果级级数数 1n n u .limssn n 即即则称无穷级数则称无穷级数 并写成并写成 即即常数项级数收敛常数项级数收敛(发散发散). n n s lim(不存在不存在)存在存在 常

6、数项级数的概念常数项级数的概念 9 nn ssr 21nn uu 1i in u 0lim n n r 对对收敛收敛级数级数(1), 为级数为级数(1)的的余项余项或或余和余和. .显然有 显然有 当当n充分大时充分大时, 级数的敛散性它与部分和数列是否有级数的敛散性它与部分和数列是否有 极限是等价的极限是等价的. n n n uuuuu 321 1 (1) 称差称差 ssn 误差误差为为| n r 常数项级数的概念常数项级数的概念 10 注意：注意： （1）任何一个级数都可以确定一个部分和数列）任何一个级数都可以确定一个部分和数列 . n s （2）对任意数列）对任意数列 , n s 都可作

7、出一个级数都可作出一个级数 1 , n n u 1 . nn n us 使的部分和数列恰好是 1nnn uss 令 因此研究级数的敛散性问题即为研究因此研究级数的敛散性问题即为研究 其部分和数列是否有极限的问题其部分和数列是否有极限的问题 常数项级数的概念常数项级数的概念 11 例例1 讨论级数讨论级数 1 1 (1) n n n 的敛散性。的敛散性。 解：解： 前前n项之和项之和 111 1 22 3(1)n n n s 11111 1 2231 1 1 1 nn n 因为因为 1 limlim 11 1 n nn s n 所以级数所以级数 1 1 (1) n n n 收敛，和为收敛，和为1

8、 1 1 1 (1) n n n 即 常数项级数的概念常数项级数的概念 12 例例2 2 )1( 321 nn nsn 而而 n n slim 所以所以, n321的部分和的部分和 级数级数 2 )1( lim nn n 级数发散级数发散. 常数项级数的概念常数项级数的概念 13 解解时时如果如果1 q 12 n n aqaqaqas q aqa n 1q aq q a n 11 (重要重要) 例例3讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数) 的收敛性的收敛性. )0( 2 0 aaqaqaqaaq n n n 常数项级数的概念常数项级数的概念 14 ,1 时时当当 q 0lim n n q

9、 q a sn n 1 lim ,1 时时当当 q n n qlim n n slim 收敛收敛 发散发散 时时如如果果1 q ,1 时时当当 q ,1 时时当当 q nasn 发散发散 aaaa 不不存存在在 n n s lim 发散发散 综上综上 发散发散时时当当 收敛收敛时时当当 ,1 ,1 0 q q aq n n 级数变为级数变为 q aq q a s n n 11 常数项级数的概念常数项级数的概念 15 讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.)0(ln3 1 aa n n 解解 例例4 因为因为 1 ln3 n n a为公比的等比级数为公比的等比级数,是以是以 aln 故故 , 1 时

10、时当当ea e , 1|ln| a级数级数收敛收敛. 发散发散. e a 1 0 当当 , 1|ln| a 发散发散时时当当 收敛收敛时时当当 ,1 ,1 0 q q aq n n ,时时或或ea 常数项级数的概念常数项级数的概念 16 解解 )12)(12( 1 nn un) 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn 例例5 判定级数判定级数 的收敛性的收敛性. )12()12( 1 53 1 31 1 nn 常数项级数的概念常数项级数的概念

11、17 ) 12 1 1( 2 1 limlim n s n n n ) 12 1 1( 2 1 n sn 2 1 ,级级数数收收敛敛 其余项为其余项为 nn ssr 12 1 1 2 1 2 1 n 即即 2 1 s . 2 1 和为和为 12 1 2 1 n 常数项级数的概念常数项级数的概念 18 的部分和分别为的部分和分别为 n s. n 及及则则 n n ks 于是于是 ,0时时不不存存在在极极限限且且当当 ksn也不存在极限也不存在极限. nn ks , ssn当当 nn ks 证证 性质性质1 1设常数设常数 , 0 k 则则 11n n n n kuu 与与 有相同的敛散性有相同的

12、敛散性. 11n n n n kuu 与与令令 n kukuku 21 ;ks 所以所以, 11n n n n kuu 与与有相同的敛散性有相同的敛散性. 结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, , 敛散性不变敛散性不变. . 常数项级数的概念常数项级数的概念 二、二、收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质 12 () n k uuu 19 问问 11 ,? nn nn auau (1)设收敛是任意常数 问是否收敛 11 ? nn nn auu (2)设a=0,问与a是否相等 11 0,;0,. nn nn auau 时收敛时未必收敛 否！否！ 20

13、性质性质2 2, 11 n n n n vu 与与设有两个级数设有两个级数 , 1 su n n 若若, 1 n n v .)( 1 svu n n n 则则 1n n u若若 1n n v)( 1 n n n vu 则则发散发散. , 1 n n u若若 收敛收敛,发散发散, 1n n v均发散均发散,)( 1 n n n vu 则则敛散性敛散性不确定不确定. 证证 n i ii vu 1 )( 极限的性质极限的性质 n i ii n vu 1 )(lim n i i n n i i n vu 11 limlim 即证即证. 级数的部分和级数的部分和 n i i v 1 n i i u 1

14、结论结论: : 收敛收敛级数可以逐项相加与逐项相减级数可以逐项相加与逐项相减. . 常数项级数的概念常数项级数的概念 21 问问 111 (1)()? nnnn nnn uvuv 收敛,发散,则 111 (2)()? nnnn nnn uvuv 发散,发散,则 发散发散 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 22 例例6 11 1 3 1 , 2 1 n n n n 1 1 2 1 n n 1 1 2 1 n n 都收敛都收敛. 1 3 1 n n 2 1 1 1 1 1 3 1 3 1 n n 无穷递减等比数列的和无穷递减等比数列的和 q a S 1 1 发散发散时时当当 收敛收敛时时当当

15、,1 ,1 0 q q aq n n 1 1 3 1 2 1 n nn 3 1 1 1 3 1 2 5 常数项级数的概念常数项级数的概念 23 ,)1()1()1( 都都发散发散. 但但 ,111 )1(1 收敛收敛. 例例 000 )1(1 0 常数项级数的概念常数项级数的概念 24 性质性质3 3 添加或去掉添加或去掉有限项有限项不影响一个级数的敛散性不影响一个级数的敛散性. 性质性质4 4 1n n u设级数设级数收敛收敛,则对其各项任意加括号所得则对其各项任意加括号所得 新级数新级数仍收敛仍收敛于原级数的和于原级数的和. 一个级数加括号后所得新级数发散一个级数加括号后所得新级数发散,则

16、则注注 原级数发散原级数发散.事实上事实上, 加括后的级数就应该收敛了加括后的级数就应该收敛了. 设原来的级数收敛设原来的级数收敛,则根据则根据性性 常数项级数的概念常数项级数的概念 质质4, )11()11(例例如如 1111 收敛收敛 发散发散 一个级数加括号后收敛一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定原级数敛散性不确定. 25 0lim n n u 证证 1n n us n u n n ulim ss 0 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件 因为因为 则则 所以所以 1 limlim n n n n ss 1 nn ss 常数项级数的概念常数项级数的概念 三、三、收敛级数的必要条件收

17、敛级数的必要条件 1 , n n u 若收敛 则 反之不然！反之不然！ 26 注注 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件, , 必要条件不充分必要条件不充分. . 0lim n n u有有 n 1 3 1 2 1 1 常用判别级数发散常用判别级数发散; 如如 调和级数调和级数 也可用它求或验证极限为也可用它求或验证极限为“0”0”的极限的极限; 0lim n n u 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: 但级数是否收敛但级数是否收敛 常数项级数的概念常数项级数的概念 1 lim0, nn n n uu 若则发散 1 1 sin n n n 如发散 27 是否收敛是否收敛? 讨论讨论 n 1

18、3 1 2 1 1调和级数调和级数 由于由于 )1ln(xx )0( x 知知 nn 1 1ln 1 得得 n k n k S 1 1 n n1 ln 3 4 ln 2 3 ln2ln n n1 3 4 2 3 2ln)1ln(n 由由 n n Slim知级数发散知级数发散. . 发散发散 n k k 1 1 1ln )1ln(lim n n 常数项级数的概念常数项级数的概念 28 例例 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 )1( 1 3 )32)(12)(12( 52 n nnn nn )2( 1 )1( 3 n n n n n 1 3 3ln 3 1 n n n n )3( 级数收敛

19、的必要条件级数收敛的必要条件 常用判别级数发散常用判别级数发散. . , 0lim n n u解题思路解题思路 常数项级数的概念常数项级数的概念 29 )1( 1 3 )32)(12)(12( 52 n nnn nn 解解 由于由于 n n ulim 8 1 发散发散 0 )32)(12)(12( 52 lim 3 nnn nn n )2( 1 )1( 3 n n n n n 解解 由于由于 n n ulim n n n 1 1 1 lim30 发散发散 e 3 常数项级数的概念常数项级数的概念 30 1 3 3ln 3 1 n n n n )3( 解解 1 1 n n 1 3 1 n n 而

20、级数而级数 3 3ln r 3 3ln | r所以这个等比级数所以这个等比级数 1 3 3ln 3 1 n n n n 发散发散.由由性质性质2知知, 由由性质性质1知知, 发散发散. 因调和级数因调和级数发散发散, 为公比的等比级数为公比的等比级数, 1 3 3ln n n n 是以是以 1 收敛收敛. 常数项级数的概念常数项级数的概念 31 1n n u设设为为收敛级数收敛级数, a为非零常数为非零常数, 试判别级数试判别级数 1 )( n n au 的敛散性的敛散性. 解解 因为因为 1n n u收敛收敛, 故故. 0lim n n u 从而从而)(limaun n 0 故故级数级数 1 )( n n au发散发散. a 0lim n n u 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: 常